全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—12.计数原理与概率初步（解析版）

这是一份全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—12.计数原理与概率初步（解析版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
解析：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C．
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解．
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)的展开式中x3y3的系数为( )
A．5B．10C．15D．20
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题．
3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中的系数为( )
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【解析】因为，所以的系数为，故选A．
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的展开式中的系数为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：展开式的通项公式为，令，解得，故含的系数为，故选C．
5．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)展开式中的系数为( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】因为,则展开式中含的项为,展开式中含的项为,故前系数为,选C．
【考点】二项式定理
【点评】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好的项共有几项,进行加和．这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项式展开式中的不同．
6．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中的系数为( )
A．B．C．40D．80
【答案】 C
【解析】,
由 展开式的通项公式: 可得:
当 时, 展开式中 的系数为 ,
当 时, 展开式中 的系数为 ,
则 的系数为．
故选C．
【考点】二项式展开式的通项公式
【点评】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】 D
【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力
为主．
【解析】解法一：分组分配之分人
首先 分组
将三人分成两组，一组为三个人，有种可能，另外一组从三人在选调一人，有种可
能；
其次 排序
两组前后在排序，在对位找工作即可，有种可能；共计有36种可能．
解法二：分组分配之分工作
工作分成三份有种可能，在把三组工作分给3个人有可能，共计有36种可能．
解法三：分组分配之人与工作互动
先让先个人个完成一项工作，有种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有
种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以，共计有36种可能．
解法四：占位法
其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有中可能；剩下的两项工作
由剩下的两个人去完成，即有种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能．
解法五：隔板法和环桌排列
首先让其环桌排列，在插两个隔板，有种可能，在分配给3人工作有种可能，按分
步计数原理求得结果为36种可能．
【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1．排列组合；2．二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出．
8．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
( )
A．24B．18C．12D．9
【答案】B
【解析】有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法
故选B．
9．(2015高考数学新课标1理科)的展开式中，的系数为( )
A．10B．20C．30D．60
【答案】C
解析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C．
考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数．
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解．
10．(2013高考数学新课标2理科)已知的展开式中的系数为5，则等于( )
A．－4B．－3C．－2D．－1
【答案】D
解析：中含的项为：，即
考点：（1）10．7．1求二项展开式的指定项或指定项系数；
难度：B
备注：高频考点
11．(2013高考数学新课标1理科)设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则＝( )
A．5B．6 QUOTE C．7D．8
【答案】Ｂ
解析：由题知=，=，∴13=7，即=，
解得=6，故选B．
考点: （1）10．7．2求最大系数或系数最大的项；（2）13．1．1函数与方程思想．
难度：Ａ
备注：高频考点
12．(2012高考数学新课标理科)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组
由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种B．10种C．9种D．8种
【答案】A
解析：第一步，为甲地选一名老师和两个学生，，有=12种选法；
第二步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
考点：（1）10．6．2分步乘法计数原理的应用；（2）10．6．5组合问题．
难度：A
备注：高频考点
二、填空题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
解析：
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有
根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，
方法二，间接法：种．
15．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)的展开式中，的系数是 ．(用数字填写答案)
【答案】10
【解析】设展开式的第项为，∴．
当时，，即．故答案为10．
16．(2015高考数学新课标2理科)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．
【答案】
分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
考点：二项式定理．
17．(2014高考数学课标2理科)的展开式中，的系数为15，则=________．(用数字填写答案)
【答案】
解析：故
考点：（1）求二项展开式的指定项或指定项系数；（2）组合数的运算。
难度：B
备注：常考题
18．(2014高考数学课标1理科)的展开式中的系数为________．(用数字填写答案)
【答案】 20
解析:展开式的通项为,
∴,
∴的展开式中的项为,故系数为20．
考点:(1)求二项式展开式的指定项系数(2)二项式的通项公式(3)函数与方程的思想
难度:B