高考专题16 直线与圆

这是一份高考专题16 直线与圆，共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022·江苏如东·高三期末）已知A，B是圆的一条直径上的两个端点，则（ ）
A．0B．19C．D．1
【答案】B
【分析】
设，则，利用数量积公式以及圆的方程得出答案.
【详解】
圆心坐标为，设，则，.
故选：B
2．（2022·江苏苏州·高三期末）若斜率为的直线与抛物线和圆分别交于和两点，且，则当面积最大时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由条件可得的中点与的中点重合，设此点为，则，求出当面积最大时的长，结合此时列出不等式，解出，得出答案.
【详解】
，则的中点与的中点重合，设此点为，
当时，取最大值，，
令，，，
由,得
由,得
，
故选：D．
3．（2022·广东罗湖·高三期末）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.
【详解】
依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，
由圆的性质得：，解得，，
所以C的长度为.
故选：B
4．（2022·广东清远·高三期末）直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先求圆C的圆心为，半径为4，再计算圆心到定点的距离，最后根据垂径定理可求解.
【详解】
将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4，
因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为．
故选：D
5．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
动直线过定点，动直线过定点，且此两条直线垂直，因此点P在以AB为直径的圆上，设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]，代入中利用正弦函数的性质可得结果.
【详解】
动直线过定点，动直线
即过定点，且此两条直线垂直．
∴点P在以AB为直径的圆上，，
设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]
，
∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，
∴sin（θ+）∈[，1]，
∴∈[，2]，
故选：D．
【点睛】
本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（2022·湖北襄阳·高三期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a, b的关系，即可求解.
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线为，
圆的圆心为，半径，
则圆心到渐近线的距离为
所以弦长，
化简得：，
即，
解得，
所以 .
故选：B
7．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【详解】
圆：中，圆心，半径
设，则，即
则
（当且仅当时等号成立）
故选：A
8．（2022·湖北·高三期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，结合符号函数，讨论时排除A，讨论时排除BD，进而得答案.
【详解】
解：对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；
当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故正确；
对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故错误；
故选：C
9．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）“ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据直线垂直求出的范围即可得出.
【详解】
由直线垂直可得，解得或1，
所以“ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的充分不必要条件.
故选：A.
10．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
求出当两直线平行时实数的值，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
若直线与直线平行，则，解得或，
因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
11．（2022·山东青岛·高三期末）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题求出圆心和半径，再根据几何关系即求.
【详解】
由题知圆的标准方程为，
则圆心坐标为，半径，
圆截直线所得弦的长度为4，
，
解得.
故选：C.
12．（2022·山东莱西·高三期末）如果两条直线与平行，则实数m的值为（ ）
A．2B．﹣3C．﹣3或2D．3或2
【答案】D
【分析】
由题意利用两条直线平行的性质，求出的值．
【详解】
∵两条直线与平行，
∴，即，
解得或3，
当时，，，满足题意；
当时，，，满足题意；
故选：D
13．（2022·山东德州·高三期末）已知圆O：，直线l：与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题可得直线恒过定点，结合圆的性质可得直线时，直线l被圆O截得的弦长最小，进而可得，再结合直线方程可得M，N的坐标，即得.
【详解】
∵直线l：，即，
∴直线恒过定点，又圆O：，
∴由圆的性质可知直线时，直线l被圆O截得的弦长最小，此时，，即，
由直线l：，令，可得，即，
令，可得，即，
∴.
故选：C.
14．（2022·山东烟台·高三期末）若直线将圆分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣4或2C．2D．﹣2或4
【答案】D
【分析】
设直线和圆相交于AB，则根据较短弧长与较长弧长之比为1：3得到对应三角形为直角三角形，利用点与直线的距离建立条件关系即可.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径，
设直线和圆相交于AB，
由较短弧长与较长弧长之比为1：3，则，故，
则圆心到直线的距离，
即，解得或4，
故选：D.
15．（2022·河北保定·高三期末）若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由得出直线的斜率，进而写出直线方程.
【详解】
圆的圆心为，则.因为，所以，故直线的方程为.
故选：A
16．（2022·河北张家口·高三期末）直线与圆交于、两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.
【详解】
圆心到直线的距离为，
圆的半径为，
又，故，
故选：B.
二、多选题
17．（2022·江苏通州·高三期末）已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足，则（ ）
A．直线BC的斜率为B．∠AOC＝60°
C．△ABC的面积为D．B、C两点在同一象限
【答案】ABD
【分析】
由向量相等得直线平行，线段相等，同时得出的方向，从而由斜率判断A，由四边形的形状判断B，求出三角形面积判断C，确定与的夹角的大小判断D．
【详解】
，则平行且相等，，A正确；
而，所以是菱形，且都是正三角形，即，B正确，
，
，C错误，
设的倾斜角为，由且，
若直线在直线上方，则，，均在第二象限，
若直线在直线下方，由于，，因此点在第四象限，
则（取较小角），在第四象限，
综上，在同一象限，D正确．
故选：ABD．
18．（2022·江苏海安·高三期末）关于直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A．若与圆相切，则为定值
B．若，则被圆截得的弦长为定值
C．若与圆有公共点，则
D．若，则与圆相交
【答案】BCD
【分析】
计算圆心到直线的距离，利用几何法可判断ACD选项的正误，求出弦长可判断B选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为.
对于A选项，若与圆相切，则，可得，A错；
对于B选项，若，圆心到直线的距离为，
此时被圆截得的弦长为，B对；
对于C选项， 若与圆有公共点，则，可得，可得，C对；
对于D选项，当时，直线的方程为，即，
由，可得，即直线过定点，
，即点在圆内，故直线与圆相交，D对.
故选：BCD.
19．（2022·江苏如皋·高三期末）瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC的外心为(－1，1)B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)
C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0)D．△ABC的重心坐标可能为
【答案】ACD
【分析】
求出直线AB的垂直分线方程，联立欧拉方程可求得外心坐标，判断A;求出外接圆方程，表示出重心，坐标，代入到外接圆方程中，可求得C的坐标，进而判断B,D的对错；写出过C和直线AB垂直的可能的方程，和欧拉方程联立求得垂心坐标，可判断C.
【详解】
由顶点A(－4，0)，B(0，4)，可知直线AB的垂直分线方程为 ，
的外心在直线x－y＋2＝0上，
联立 ，可得外心坐标为(－1，1)，故A正确；
设外心为G,则G(－1，1)，故 ,
所以外接圆方程为 ，
设 ，则的重心为 ，代入欧拉线方程为x－y＋2＝0中，
得： ，和联立，解得或，
即C点坐标可以为 ，故B错误；
由C点坐标为，可知重心可能为，故D正确；
当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为 ，
联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为；
当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为 ，
联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为，故C正确，
故选：ACD.
20．（2022·江苏无锡·高三期末）已知平面直角坐标系中两点和，用以下方式度量两点距离：，则下列说法正确的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，，，满足的点的横坐标范围为
B．在平面直角坐标系中，任意取三点，恒成立
C．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，则满足的点所形成的图形是圆
D．在平面直角坐标系中，点在上，，则满足的点共有个
【答案】ABD
【分析】
设，由已知得，由此可判断A选项；
令，，，由绝对值不等式可判断B选项；
设，则有不是圆，可判断C选项；
设，有，分，，，讨论求解可判断D选项.
【详解】
解： 对于A，设，因为 ，
，所以，故A正确.
因为，，
对于B，令，，，，故B正确.
对于C，设，不是圆，故C不正确.
对于D，设，，，
①时，，，
②时，，，
③时，时，，
④时，，，故D正确，
故选：ABD.
21．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知圆，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形PAMB周长的最小值为B．的最大值为2
C．直线AB过定点D．存在点N使为定值
【答案】ACD
【分析】
设，由此据圆的切线性质表示出，则即可表示出四边形PAMB周长，进而求得其最小值，从而判断A的对错；利用表示出
,由此可判断B的对错；根据圆的切线性质表示出切线方程，进而求出AB的直线方程，求其过的定点坐标，可判断C对错；判断C点位于某个圆上，可知出其圆心和C点距离为定值，从而判断D的对错.
【详解】
如图示：
设 ，则，
所以四边形PAMB周长为 ，
当P点位于原点时，t 取值最小2，
故当t取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值为，故A正确；
由 可得： ，
则 ，而 ，则 ,故B错误；
设 ，
则 方程为： ，
的方程为，
而在切线，上，故，，
故AB的直线方程为，
当时，，即AB过定点 ，故C正确；
由圆的切线性质可知 ,设AB过定点为D,
则D点位于以MD为直径的圆上，设MD的中点为N，则 ,
则为定值，即D正确，
故选：ACD.
22．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在平面直角坐标系中，过直线上任一点做圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形为正方形时，点的坐标为
B．四边形面积的最小值为1
C．不可能为钝角
D．当为等边三角形时，点的坐标为
【答案】ABC
【分析】
对A：四边形为正方形时，由即可求解；对B：由，求出即可判断；对C：由，在直角三角形中，分析知，从而即可判断；对D：当为等边三角形时，，则从而即可求解.
【详解】
解：对A：设，由题意，四边形为正方形时， ，解得，所以点的坐标为，选项A正确；
对B：四边形面积，
因为，所以，故选项B正确；
对C：由题意，，在直角三角形中，，
由选项B知，所以，
因为为锐角，所以，所以，故选项C正确；
对D：当为等边三角形时，，所以，则，解得或，此时点的坐标为或，故选项D错误；
故选：ABC.
23．（2022·山东日照·高三期末）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为是圆与轴的交点，是坐标原点，则下列正确的是（ ）
A．给定，对于任意，圆弧所对的圆心角
B．对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角
C．对于任意，该曲线有且仅有一个内接正
D．当时，存在面积大于2022的内接正
【答案】BC
【分析】
由题设抛物线与圆的方程可得交点横坐标与圆半径的关系为，结合各项条件，应用特殊值法判断AB的正误，由于随着圆半径的增大，直线与的交点从圆上会变化，直到时交点刚好为抛物线与圆的交点上，此后再增大位置不变，即可判断CD的正误.
【详解】
解：对于A选项，联立抛物线与圆的方程，消去y得，即，而且，
∴，即横坐标与半径 的关系，
∵抛物线与圆有两个交点，即，
∴当时，，故A选项错误；
对于B选项，∵由题意知：关于x轴对称，则对于给定的角，存在使得圆弧所对的圆心角，即只需存在使即可.
∴令，则，解得或，
当时，在如下图阴影部分变化，有，
当时，若趋近于时,趋近于，故在如下图阴影部分变化，有
∴或时，有，即，
所以对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角，故B正确；
对于C选项，由，于是轴，直线：，同理，
∴与分别都只有一个交点，即对于任意，该曲线有且仅有一个内接正△，故C正确；
对于D选项，当时，如下图示，抛物线与圆只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时，
∴当时，与的交点在圆上，会一直增大，如下图示，直到，即与、重合分别为、，此时，

∴.
当时，与的交点在抛物线上，的变化对没有影响，如下图示，，
∴D选项错误.
故选：BC
24．（2022·山东青岛·高三期末）已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆恒过原点
B．圆与圆内切
C．直线被圆所截得弦长的最大值为
D．直线与圆相离
【答案】ABC
【分析】
A.代入点可判断；B.计算圆心距离与半径差的大小关系；C.利用垂径定理求弦长然后求最值；D.求圆心到直线的距离来判断.
【详解】
A.代入点得恒成立，A正确；
B.，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确；
C. 直线被圆所截得弦长为
，
，
即直线被圆所截得弦长的最大值为，C正确；
D.圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，D错误；
故选：ABC.
25．（2022·山东临沂·高三期末）已知圆：，圆：，在圆上，在圆上，则（ ）
A．的取值范围是B．直线是圆在点处的切线
C．直线与圆相交D．直线与圆相切
【答案】ABD
【分析】
结合图象确定的取值范围，判断A，根据直线与圆的位置关系判断B，C，D选项.
【详解】
圆：的圆心为，半径为1，圆：的圆心为，半径为2，
观察图象可得，所以的取值范围是，A对，
∵，∴ 点在直线上，
又到直线的距离，又圆的半径为1，
∴直线是圆在点处的切线，B对，
∵ 点在圆上， ∴，
∴ 到直线的距离，又圆的半径为2，
∴直线与圆相离，C错，
圆的圆心为，半径为，
点到直线的距离，
∴直线与圆相切，D对，
故选：ABD.
26．（2022·河北唐山·高三期末）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程为B．以PM为直径的圆过定点
C．的最小值为6D．若直线PA与圆M切于点A，则
【答案】ABD
【分析】
由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果.
【详解】
圆M：配方得： ，
圆M关于直线对称，
直线过圆心.
,即
点P的轨迹方程为，A正确.
由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确.
的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误.
由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确.
故选：ABD
三、双空题
27．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点为抛物线 上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______.
【答案】；
【分析】
设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；
由，，代入中，即可取出最小值.
【详解】
设点，，
.
抛物线的焦点为点，由题意知，，
，.
故答案为：；.
四、填空题
28．（2022·江苏海门·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，动直线kx－y+2k＝0，x＋ky－2＝0(k∈R)的交点P的轨迹为C．若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足＝1，则点O到直线l的距离的平方的取值范围为________．
【答案】
【分析】
根据条件先得到交点P的轨迹为C，设出直线与，结合条件得到关系式，再求O到直线l的距离即可求其平方的取值范围.
【详解】
当时，则，得，代入中，有，
整理为，经检验不是两动直线的交点，故交点P的轨迹为，且.
由对称性，设直线l：，与联立，
得，设，
，
则，
则，
所以有，化简整理得，
O到直线l的距离的平方为，
若，则，矛盾，故，
设，则，故，
故，故，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：求两条动曲线的交点的轨迹，可通过交轨法求交点的轨迹，直线与圆的位置关系的处理，一般用几何法来处理，也可以利用韦达定理来处理.
29．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】
联立直线与圆，再运用韦达定理即可求解．
【详解】
联立，设，
则，
因为，
所以有，解得.
故答案为：
30．（2022·湖南常德·高三期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则______．
【答案】3
【分析】
设出，则可得，根据数量积的坐标运算可得到的表达式，结合可得答案.
【详解】
设 ，则,且，
则，
故答案为：3
31．（2022·湖北武昌·高三期末）已知圆O的方程为，P是圆C：上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】
由圆切线的性质可知圆心切点连线与切线垂直，设PA与PB的夹角为2α，通过解直角三角形求出PA，PB的长;利用向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用对勾函数求出最值.
【详解】
如图，
设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|=|PB|=，
∴．
P是圆C：上一点，
，
，
令,
则在上递减，
所以当时，，此时P的坐标为，
当时，，此时P的坐标为，
∴的范围为．
故答案为：.
32．（2022·山东枣庄·高三期末）设与相交于两点，则________．
【答案】
【分析】
先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半径以及弦心距三者之间的关系求得答案.
【详解】
将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：
33．（2022·山东淄博·高三期末）已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】
由抛物线得焦点，准线为，，转化为求取得最小值，过点M作准线的垂线与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，由此可求得答案.
【详解】
解：由抛物线得焦点，准线为，
由圆，得，所以圆是以为圆心，以为半径的圆，
所以，所以当取得最小值时，取得最小值，
又根据抛物线的定义得等于点A到准线的距离，
所以过点M作准线的垂线，垂足为N，且与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，最小值为，所以此时，
所以的最小值为2.
故答案为：2.