2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：反比例函数（含答案）

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2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．（2021•张家界模拟）如图是反比例函数y＝和y＝（a＞0，a为常数）在第一象限内的图象，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：①△OBD与△OCA的面积相等；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中不正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021•内江）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值为（ ）

A． B． C． D．
3．（2021•江岸区模拟）防汛期间，下表记录了某水库16h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8h时，达到警戒水位，开始开闸放水，此时，y与x满足我们学过的某种函数关系．其中开闸放水有一组数据记录错误，它是（ ）
x/h
0
1
2
8
10
12
14
16
y/m
14
14.5
15
18
14.4
12
11
9
A．第1小时 B．第10小时 C．第14小时 D．第16小时
4．（2021•兰州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（ ）

A．16 B．12 C．8 D．4
5．（2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）

A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
6．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1＝，y2＝﹣的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）

A．5t B． C． D．5
7．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（ ）

A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675）
C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）
8．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y＝（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
10．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（ ）

A． B． C． D．12

2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：反比例函数（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•张家界模拟）如图是反比例函数y＝和y＝（a＞0，a为常数）在第一象限内的图象，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：①△OBD与△OCA的面积相等；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中不正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】①由反比例系数的几何意义可得答案；
②由四边形OAMB的面积＝矩形OCMD面积﹣（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知；
③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积＝△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得．
【解答】解：①由于A、B在同一反比例函数y＝图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为×2＝1，正确；
②由于矩形OCMD的面积、△ODB的面积、三角形OCA的面积为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；
③连接OM，点A是MC的中点，

则△OAM和△OAC的面积相等，
∵△ODM的面积＝△OCM的面积＝，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBM与△OAM的面积相等，
∴△OBD和△OBM面积相等，
∴点B一定是MD的中点．正确；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（a≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
2．（2021•内江）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC＝90°，∠BCO＝∠BCD＝30°，解直角三角形求得tan30°＝＝，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到＝（）2，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得结果．
【解答】解：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，
∴A与C、B与D关于原点对称，
∴AC、BD经过点O，
∴∠BOC＝90°，
∵∠BCO＝∠BCD＝30°，
∴tan30°＝＝，
作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵∠BOM+∠NOC＝90°＝∠NOC+∠NCO，
∴∠BOM＝∠NCO，
∵∠OMB＝∠CNO＝90°，
∴△OMB∽△CNO，
∴＝（）2，
∴＝，
∴＝﹣，
故选：D．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
3．（2021•江岸区模拟）防汛期间，下表记录了某水库16h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8h时，达到警戒水位，开始开闸放水，此时，y与x满足我们学过的某种函数关系．其中开闸放水有一组数据记录错误，它是（ ）
x/h
0
1
2
8
10
12
14
16
y/m
14
14.5
15
18
14.4
12
11
9
A．第1小时 B．第10小时 C．第14小时 D．第16小时
【考点】反比例函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】根据记录表由待定系数法就可以求出y与x的函数表达式．
【解答】解：设y与x的函数表达式为，由记录表得：k＝8×18＝10×14.4＝12×12＝144，
∴y＝，
当x＝14时，y＝＝，
故第14小时这一组数据记录错误，
故选：C．
【点评】考查了待定系数法求反比例函数的解析式，在解答时求出函数的解析式是关键．
4．（2021•兰州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（ ）

A．16 B．12 C．8 D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b）
∵AB⊥x轴于点B，
∴ab＝16，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝16．
故选：A．
【点评】本题考查了比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求k是解题关键．
5．（2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）

A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．
【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，
∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，
∵F乙最小，
∴乙同学到支点的距离最远．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键．
6．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1＝，y2＝﹣的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）

A．5t B． C． D．5
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【解答】解：如图，设AB交y轴于T．

∵AB⊥y轴，
∴S△OBT＝，S△OAT＝＝2，
∴S△AOB＝S△OBT+S△OAT＝+2＝，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型．
7．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（ ）

A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675）
C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B、C点的坐标，再写出BC解析式，再判断点在BC上．
【解答】解：作BD⊥OA，CE⊥OA，

∵∠BOA＝45°，
∴BD＝OD，
设B（a，a），
∴，
∴a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴BD＝OD＝3，
B（3，3），
∵BC＝2AC．
∴AB＝3AC，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴BD∥CE，
.∴△ABD∽△ACE
∵＝3，
∴，
∴CE＝1，
∵图象经过点C，
∴，
∴x＝9，
C（9，1）
设BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴x+4，
当x＝﹣2019时，y＝677，
当x＝﹣2020时，y＝677，
当x＝2021时，y＝﹣669，
当x＝2022时，y＝﹣670，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的性质，能求出BC的解析式是解题的关键．
8．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y＝（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a），分别计算直线AM和BM的解析式，令x＝0可得OC和OD的长，相减可得结论；
解法二：作辅助线，构建相似三角形，先根据两个函数的解析式计算交点A和B的坐标，根据M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，将点M的坐标代入反比例函数的解析式可得M的坐标，证明△EMD∽△FDB和△CPA∽△CEM，列比例式分别计算OC和OD的长，可得结论；
解法三，取特殊值k＝8，可得结论．
【解答】解：解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a），
设直线BM的解析式为：y＝nx+b，
则，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝x+，
∴OD＝，
同理得：直线AM的解析式为：y＝x+，
∴OC＝，
∵a•2a＝2m，
∴m＝a2，
∴OC﹣OD＝﹣＝4；

解法二：由题意得：，
解得：，，
∵点A在第一象限，
∴A（，），B（﹣，﹣），
∵M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，
∴2m＝k，
∴m＝，
∴M（，2），
如图，过点A作AP⊥y轴于P，过点M作ME⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，

∴∠MED＝∠BFD＝90°，
∵∠EDM＝∠BDF，
∴△EMD∽△FBD，
∴，即＝＝，
∴OD＝＝﹣2，
∵∠CPA＝∠CEM＝90°，∠ACP＝∠ECM，
∴△CPA∽△CEM，
∴，即＝＝，
∴OC＝＝＝+2，
∴OC﹣OD＝+2﹣（﹣2）＝4．
解法三：取k＝8，如图，则M（4，2），A（2，4），B（﹣2，﹣4），

得AM的解析式为：y＝﹣x+6，BM的解析式为：y＝x﹣2，
∴OC＝6，OD＝2，
∴OC﹣OD＝6﹣2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的综合问题，解题关键是构造相似三角形求解．
9．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，通过证得△COE∽△OAD得到＝，则OE＝2AD，CE＝2OD，设A（m，）（m＞0），则C（﹣，2m），由OE＝0﹣（﹣）＝得到m﹣（﹣）＝，解分式方程即可求得A的坐标．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴＝（）2，，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，
∴＝（）2，
∴＝2，
∴＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣）＝，
整理得2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（不符合题意，舍去），
经检验，m＝是方程的解，
∴A（，2），
故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．
10．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（ ）

A． B． C． D．12
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】过点M作MH⊥OB于H．首先利用相似三角形的性质求出△OBM的面积＝9，再证明OH＝OB，求出△MOH的面积即可．
【解答】解：过点M作MH⊥OB于H．

∵AD∥OB，
∴△ADM∽△BOM，
∴＝（）2＝，
∵S△ADM＝4，
∴S△BOM＝9，
∵DB⊥OB，MH⊥OB，
∴MH∥DB，
∴＝＝＝，
∴OH＝OB，
∴S△MOH＝×S△OBM＝，
∵＝，
∴k＝，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出△OMH的面积．

考点卡片
1．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
2．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
3．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
4．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
5．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
7．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
8．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
9．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
12．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．