2022青岛高三下学期一模考试数学试题含答案

2022年高三年级统一质量检测（青岛真一模）

                  数学试题                2022.3

一、单项选择题

1. 已知集合 , 则

A. B. C. D.

2. 已知复数 (其中 为虚数单位）, 则在复平面内 对应的点位于

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 已知非零向量 , 则 “ ” 是 “ ” 的

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件

C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

4. 已知双曲线 的离心率为 , 则双曲线 的渐近线方程为

A. B. C. D.

5. 已知函数 , 若函数 , 则 的值为

A. B. C. 1D. 2

6. 已知 , 则 的值为

A. B. C. D.

7. 已知圆 , 点 , 圆 内过点 的最长弦为 , 最短弦为 , 则 的值为

A. 2B. 4C. 8D. 16

8. 数列 是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，称为 “斐波那契数列”，

该数列从第三项开始, 每项等于前两个相邻项之和. 若该数列的前 2020 项的和为 , 则它

的第 2022 项为

A. B. C. D.

二、多项选择题

9. 已知函数 的导函数为 , 若存在 使得 , 则称 是 的一个 “新驻点”, 下列函数中, 具有 “新驻点” 的是

A. B. C. D.

10. 若正实数 满足 , 则下列结论正确的是

A. B.

C. D.

11. 已知奇函数 的周期为 , 将函数 的图象向右平移 个单位长度, 可得到函数 的图象, 则下列结论正确的是

A. 函数

B. 函数 在区间 上单调递增

C. 函数 的图象关于直线 对称

D. 当 时, 函数 的最大值是

12. 《九章算术»中, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑, 如图, 在鳖臑 中, 平面 . 若鳖臑 外接球的体积为 , 则当此鳖臑的体积最大时, 下列结论正确的是

A.

B. 鳖臑 体积的最大值为 6

C. 直线 与平面 所成角的正弦值为

D. 鳖臑 内切球的半径为

三、填空题

13. 命题 “ ” 的否定为 _____________.

14. 已知函数 同时满足性质: (1) , (2)当 时, , 写出 一个解析式 _____________.

15. 五声音阶是中国古乐基本音阶, 故有成语 “五音不全”. 中国古乐中的五声音阶依次为： 宫、商、角、徵、羽, 把这五个音阶排成一列, 形成一个的音序, 若徵、羽两音阶相邻且 在宫音阶之后, 则可排成不同的音序的种数为 _____________. （用数字作答）.

16. 已知抛物线 , 过其焦点的直线与抛物线交于两点(点在 第一象限), ,则直线的斜率为___ 若 , 点为抛物线上的动点, 且点在直线的左上方, 则面积的最大值为 _____________.

 (本小题第一问 2 分, 第二问 3 分)

四、解答题

17. (10 分)

已知数列 的前 项和为 , 且满足___.从① 是递增的等比数列, ; ②; ③ 三个条件中任选一个, 补充在横线上, 并解答下列问题.

(1) 求数列 的通项公式;

(2) 若 , 求数列 的前 项的和.

注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

18. 分)

如图, 在四边形 中, 为锐角三角形, , .

(1) 求 ;

(2) 若 , 是否存在正整数 , 使得 为钝角三角形?若存在, 求出 的值; 若不存在, 说明理由.

19. (12 分)

如图, 在四棱锥 中, 底面 为平行四边形, , , 平面 平面 是 的中点.

(1) 证明: 平面 ;

(2) 若 , 求平面 与平面 夹角的余弦值.

20. (12 分)

2022 年北京冬奧会圆满落幕, 我国运动健儿获得 9 金 4 银 2 铜共 15 枚奖牌的骄人战绩。

（1）为了解某地观众对 2022 年北京冬奥会系列体育节目的收看情况，随机抽取了 100 名观众

进行调查, 得到如下数据:

依据 的独立性检验, 能否认为日均收看时间与性别有关联?

(2) 为普及冰雪运动知识, 某班组织冬奧知识比赛, 两名同学作为一组进行抢答比赛, 有 2 道 抢答题目, 抢到题目且回答正确者得 3 分, 没抢到者得 0 分; 抢到题目且回答错误者得 0 分, 没抢到者得 3 分. 已知甲、乙两位同学在同一组比赛, 每人抢到每道题的机会相等, 且每道题必被一位同学抢到. 若甲答对每道题目的概率为 , 乙答对每道题目的概率为 , 且两人回答各道题目是否正确相互独立. 记 为甲同学的累计得分, 求 的分布列 和数学期望.

附: .

21. (12 分)

已知椭圆 的左, 右顶点分别为 , 点 在椭圆 上, 直线 的斜率分别为 .

(1) 证明: ;

(2) 直线 交双曲线 于 两点, 点 为线段 中点, 直线 与直线 交于 , 直线 的斜率为 , 证明：存在常数 , 使得 .

22. (12 分)

已知函数 .

(1) 求函数 的极值;

(2) 若函数 的最小值为 为函数 的两个零点,

证明: ;

(3) 证明: 对于任 .