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2020年山东省日照市莒县中考二模数学试卷 及答案
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这是一份2020年山东省日照市莒县中考二模数学试卷 及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年山东省日照市莒县中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．﹣|﹣|的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D．2
2．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.26×10﹣4毫米 B．0.326×10﹣4毫米
C．3.26×10﹣4厘米 D．32.6×10﹣4厘米
3．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
4．下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2＝a2+b2，②（﹣2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0
7．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠1 B．x≥2 C．x≠1 D．﹣2≤x＜1
9．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD＝30° B．S△BDC＝AB2
C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D＝1
10．如图，∠AOB为锐角，在射线OA上依次截取A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝AnAn+1，在射线OB上依次截取B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1，记Sn为△AnBnBn+1的面积（n为正整数），若S3＝7，S4＝10，则S2019＝（ ）
A．4039 B．4041 C．6055 D．6058
11．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝ ．
14．（4分）不等式组的最小整数解是 ．
15．（4分）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．（结果保留π）
16．（4分）如图，以矩形OABC的长OC作x轴，以宽OA作y轴建立平面直角坐标系，OA＝4，OC＝8，现作反比例函数交BC于点E，交AB于点F，沿EF折叠，点B落在OC的点G处，OG＝3GC，则k的值是 ．
三、解答题（共68分）
17．先化简，再求值÷（﹣m﹣1），其中m＝﹣2．
18．某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据要求回答下列问题：
（1）本次问卷调查共调查了 名观众；图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 ；
（2）补全图①中的条形统计图；
（3）现有最喜爱“新闻节目”（记为A），“体育节目”（记为B），“综艺节目”（记为C），“科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率．
19．徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？
20．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标和△PAB的面积；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’
（1）问题发现： ．
（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；
（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．
2020年山东省日照市莒县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．﹣|﹣|的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D．2
【分析】根据实数的绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣|﹣|＝﹣．
故选：B．
2．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.26×10﹣4毫米 B．0.326×10﹣4毫米
C．3.26×10﹣4厘米 D．32.6×10﹣4厘米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000326毫米，用科学记数法表示为3.26×10﹣4毫米．
故选：A．
3．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
故选：C．
4．下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2＝a2+b2，②（﹣2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
②（﹣2a2）2＝4a4，故此选项错误；
③a5÷a3＝a2，正确；
④a3•a4＝a7，故此选项错误．
故选：C．
5．在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56
【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．
【解答】解：98出现的次数最多，
∴这组数据的众数是98，A说法正确；
＝（80+98+98+83+91）＝90，B说法正确；
这组数据的中位数是91，C说法正确；
S2＝[（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2]
＝×278
＝55.6，D说法错误；
故选：D．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2．
故选：C．
7．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划工作每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：．
故选：C．
8．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠1 B．x≥2 C．x≠1 D．﹣2≤x＜1
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥2且x≠1，
∴x≥2．
故选：B．
9．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD＝30° B．S△BDC＝AB2
C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D＝1
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：由作图可知：AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB＝CA＝CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD＝90°，
BD＝AB，
∴S△ABD＝AB2，
∵AC＝CD，
∴S△BDC＝AB2，
故A、B、C正确，
故选：D．
10．如图，∠AOB为锐角，在射线OA上依次截取A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝AnAn+1，在射线OB上依次截取B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1，记Sn为△AnBnBn+1的面积（n为正整数），若S3＝7，S4＝10，则S2019＝（ ）
A．4039 B．4041 C．6055 D．6058
【分析】过A3作A3C⊥OB于C，过A4作A4D⊥OB于D，过A2019作A2019E⊥OB于E，则△OA3C∽△OA4D∽△OA2019E，设OA1＝a，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝AnAn+1＝1个单位，由等底的三角形面积比等于三角形的高之比，得出＝，即＝，解得a＝，由相似三角形的性质得出＝，即＝，求出A2019E＝6055，即可得出结果．
【解答】解：过A3作A3C⊥OB于C，过A4作A4D⊥OB于D，过A2019作A2019E⊥OB于E，如图所示：
则△OA3C∽△OA4D∽△OA2019E，
设OA1＝a，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝AnAn+1＝1个单位，
∵S3＝7，S4＝10，B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1，
∴＝，
即＝，
解得：a＝，
∴＝，
即＝，
∴A2019E＝6055，
∴S2019＝6055，
故选：C．
11．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】解：当0≤t＜2时，S＝×2t××（4﹣t）＝﹣t2+2t；
当2≤t＜4时，S＝×4××（4﹣t）＝﹣t+4；
只有选项D的图形符合．
故选：D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝ ab（a+b）2 ．
【分析】首先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2．
故答案为：ab（a+b）2．
14．（4分）不等式组的最小整数解是 0 ．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式1﹣x≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
所以不等式组的最小整数解为0，
故答案为：0．
15．（4分）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 π cm2．（结果保留π）
【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO≌△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°，
∵AB＝2cm，
∴OB＝1cm，OC′＝，
∴B′C′＝，
∴S扇形B′OB＝＝π，
S扇形C′OC＝＝，
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣＝π；
故答案为：π．
16．（4分）如图，以矩形OABC的长OC作x轴，以宽OA作y轴建立平面直角坐标系，OA＝4，OC＝8，现作反比例函数交BC于点E，交AB于点F，沿EF折叠，点B落在OC的点G处，OG＝3GC，则k的值是 12 ．
【分析】根据折叠的性质和勾股定理，利用方程求出CE，确定点E的坐标即可．
【解答】解：由折叠得，EG＝EB，
∵OC＝8，OG＝3GC，
∴OG＝8×＝6，GC＝8×＝2，
设EC＝x，则EB＝EG＝4﹣x，
在Rt△EGC中，由勾股定理得，
（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
∴E（8，），
把E（8，）代入反比例函数关系式得，
k＝8×＝12，
故答案为：12．
三、解答题（共68分）
17．先化简，再求值÷（﹣m﹣1），其中m＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
当m＝﹣2时，
原式＝﹣
＝﹣
＝﹣1+2．
18．某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据要求回答下列问题：
（1）本次问卷调查共调查了 200 名观众；图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 25% ；
（2）补全图①中的条形统计图；
（3）现有最喜爱“新闻节目”（记为A），“体育节目”（记为B），“综艺节目”（记为C），“科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率．
【分析】（1）用喜欢科普节目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，用“新闻节目”人数除以总人数可得；
（2）用调查的总人数分别减去喜欢新闻、综艺、科普的人数得到喜欢体育的人数，然后补全图①中的条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次问卷调查的总人数为45÷22.5%＝200人，
图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为×100%＝25%，
故答案为：200、25%；
（2）“体育”类节目的人数为200﹣（50+35+45）＝70人，
补全图形如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2，
所以恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率＝＝．
19．徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？
【分析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据平均速度＝路程÷时间结合A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，即可得出关于t的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，
根据题意得：﹣＝80，
解得：t＝2.5，
经检验，t＝2.5是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4t＝3.5．
答：A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时．
20．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．
【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，
∴AC＝BC，
∴PA＝PB
在△PAO和△PBO中
∴△PAO≌△PBO
∴∠OBP＝∠OAP＝90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD＝2OC＝6
在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4
∴AO＝5
在Rt△ACO与Rt△PAO中，
∠AOC＝∠POA
∠PAO＝∠ACO＝90°
∴△ACO∼△PAO
＝
∴PO＝，PA＝
∴PB＝PA＝
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴＝，
解得EB＝，
PE＝，
∴sinE＝＝．
另解：过BF⊥AE于点F，
则sin∠E＝sin∠OBF．
由△AOC∽△ABF，
可算出BF＝，
∴OF＝．
∴sinE＝sin∠OBF＝．
21．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标和△PAB的面积；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE＝DE，列方程可得P的坐标，先求出点E的坐标，从而得PE＝2，根据S△PAB＝S△PAE+S△PBE＝×PE×（xB﹣xA）计算可得；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝2OB＝2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴＝2，
∴AC＝6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE＝DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）＝（﹣2x+2），
x＝1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
在y＝﹣2x+2中x＝﹣1时，y＝4，即E（﹣1，4），
则PE＝2，
∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE
＝×PE×（xB﹣xA）
＝×2×（1+2）
＝3；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2＝（﹣1+2）2+（y﹣6）2＝1+（y﹣6）2，
BM2＝（1+1）2+y2＝4+y2，
AB2＝（1+2）2+62＝45，
分三种情况：
i）当∠AMB＝90°时，有AM2+BM2＝AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2＝45，
解得：y＝3±，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
ii）当∠ABM＝90°时，有AB2+BM2＝AM2，
∴45+4+y2＝1+（y﹣6）2，
y＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM＝90°时，有AM2+AB2＝BM2，
∴1+（y﹣6）2+45＝4+y2，
y＝，
∴M（﹣1，）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
22．如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’
（1）问题发现： ．
（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；
（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．
【分析】（1）如图①中，延长D′C′交BC于H．证明△CC′H是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）结论：＝，值不变．如图②中，连接AC，AC′．证明△BAB′∽△CAC′即可解决问题．
（3）分两种情形画出图形分别求解即可．
【解答】解：（1）如图①中，延长D′C′交BC于H．
由题意四边形BHC′B′，四边形CHDD′D都是矩形，
∴BB′＝HC′，DD′＝CH，
∵AB＝AD，
∴BB′＝DD′，
∴CH＝HC′，
∵∠CHC′＝90°，
∴△CHC′是等腰直角三角形，
∴＝＝．
故答案为．
（2）结论：＝，值不变．
理由：如图②中，连接AC，AC′．
∵四边形ABCD，四边形AB′C′D′都是正方形，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝45°，＝＝，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∴△BAB′∽△CAC′，
∴＝＝．
（3）如图③﹣1中，当C，C′，D′共线时．易知AC＝2，AD′＝，
∴CD′＝＝，
∴CC′＝﹣，
∴BB′＝CC′＝﹣1
如图③﹣2中，当C，D′，C′共线时，同法可得CC′＝+，BB′＝CC′＝+1．
综上所述，满足条件的BB′的长为+1或﹣1．
2020年山东省日照市莒县中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．﹣|﹣|的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D．2
2．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.26×10﹣4毫米 B．0.326×10﹣4毫米
C．3.26×10﹣4厘米 D．32.6×10﹣4厘米
3．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
4．下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2＝a2+b2，②（﹣2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0
7．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠1 B．x≥2 C．x≠1 D．﹣2≤x＜1
9．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD＝30° B．S△BDC＝AB2
C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D＝1
10．如图，∠AOB为锐角，在射线OA上依次截取A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝AnAn+1，在射线OB上依次截取B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1，记Sn为△AnBnBn+1的面积（n为正整数），若S3＝7，S4＝10，则S2019＝（ ）
A．4039 B．4041 C．6055 D．6058
11．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝ ．
14．（4分）不等式组的最小整数解是 ．
15．（4分）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．（结果保留π）
16．（4分）如图，以矩形OABC的长OC作x轴，以宽OA作y轴建立平面直角坐标系，OA＝4，OC＝8，现作反比例函数交BC于点E，交AB于点F，沿EF折叠，点B落在OC的点G处，OG＝3GC，则k的值是 ．
三、解答题（共68分）
17．先化简，再求值÷（﹣m﹣1），其中m＝﹣2．
18．某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据要求回答下列问题：
（1）本次问卷调查共调查了 名观众；图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 ；
（2）补全图①中的条形统计图；
（3）现有最喜爱“新闻节目”（记为A），“体育节目”（记为B），“综艺节目”（记为C），“科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率．
19．徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？
20．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标和△PAB的面积；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’
（1）问题发现： ．
（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；
（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．
2020年山东省日照市莒县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．﹣|﹣|的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D．2
【分析】根据实数的绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣|﹣|＝﹣．
故选：B．
2．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.26×10﹣4毫米 B．0.326×10﹣4毫米
C．3.26×10﹣4厘米 D．32.6×10﹣4厘米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000326毫米，用科学记数法表示为3.26×10﹣4毫米．
故选：A．
3．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
故选：C．
4．下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2＝a2+b2，②（﹣2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
②（﹣2a2）2＝4a4，故此选项错误；
③a5÷a3＝a2，正确；
④a3•a4＝a7，故此选项错误．
故选：C．
5．在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56
【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．
【解答】解：98出现的次数最多，
∴这组数据的众数是98，A说法正确；
＝（80+98+98+83+91）＝90，B说法正确；
这组数据的中位数是91，C说法正确；
S2＝[（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2]
＝×278
＝55.6，D说法错误；
故选：D．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2．
故选：C．
7．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划工作每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：．
故选：C．
8．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠1 B．x≥2 C．x≠1 D．﹣2≤x＜1
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥2且x≠1，
∴x≥2．
故选：B．
9．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD＝30° B．S△BDC＝AB2
C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D＝1
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：由作图可知：AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB＝CA＝CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD＝90°，
BD＝AB，
∴S△ABD＝AB2，
∵AC＝CD，
∴S△BDC＝AB2，
故A、B、C正确，
故选：D．
10．如图，∠AOB为锐角，在射线OA上依次截取A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝AnAn+1，在射线OB上依次截取B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1，记Sn为△AnBnBn+1的面积（n为正整数），若S3＝7，S4＝10，则S2019＝（ ）
A．4039 B．4041 C．6055 D．6058
【分析】过A3作A3C⊥OB于C，过A4作A4D⊥OB于D，过A2019作A2019E⊥OB于E，则△OA3C∽△OA4D∽△OA2019E，设OA1＝a，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝AnAn+1＝1个单位，由等底的三角形面积比等于三角形的高之比，得出＝，即＝，解得a＝，由相似三角形的性质得出＝，即＝，求出A2019E＝6055，即可得出结果．
【解答】解：过A3作A3C⊥OB于C，过A4作A4D⊥OB于D，过A2019作A2019E⊥OB于E，如图所示：
则△OA3C∽△OA4D∽△OA2019E，
设OA1＝a，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝AnAn+1＝1个单位，
∵S3＝7，S4＝10，B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1，
∴＝，
即＝，
解得：a＝，
∴＝，
即＝，
∴A2019E＝6055，
∴S2019＝6055，
故选：C．
11．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】解：当0≤t＜2时，S＝×2t××（4﹣t）＝﹣t2+2t；
当2≤t＜4时，S＝×4××（4﹣t）＝﹣t+4；
只有选项D的图形符合．
故选：D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝ ab（a+b）2 ．
【分析】首先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2．
故答案为：ab（a+b）2．
14．（4分）不等式组的最小整数解是 0 ．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式1﹣x≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
所以不等式组的最小整数解为0，
故答案为：0．
15．（4分）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 π cm2．（结果保留π）
【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO≌△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°，
∵AB＝2cm，
∴OB＝1cm，OC′＝，
∴B′C′＝，
∴S扇形B′OB＝＝π，
S扇形C′OC＝＝，
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣＝π；
故答案为：π．
16．（4分）如图，以矩形OABC的长OC作x轴，以宽OA作y轴建立平面直角坐标系，OA＝4，OC＝8，现作反比例函数交BC于点E，交AB于点F，沿EF折叠，点B落在OC的点G处，OG＝3GC，则k的值是 12 ．
【分析】根据折叠的性质和勾股定理，利用方程求出CE，确定点E的坐标即可．
【解答】解：由折叠得，EG＝EB，
∵OC＝8，OG＝3GC，
∴OG＝8×＝6，GC＝8×＝2，
设EC＝x，则EB＝EG＝4﹣x，
在Rt△EGC中，由勾股定理得，
（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
∴E（8，），
把E（8，）代入反比例函数关系式得，
k＝8×＝12，
故答案为：12．
三、解答题（共68分）
17．先化简，再求值÷（﹣m﹣1），其中m＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
当m＝﹣2时，
原式＝﹣
＝﹣
＝﹣1+2．
18．某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据要求回答下列问题：
（1）本次问卷调查共调查了 200 名观众；图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 25% ；
（2）补全图①中的条形统计图；
（3）现有最喜爱“新闻节目”（记为A），“体育节目”（记为B），“综艺节目”（记为C），“科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率．
【分析】（1）用喜欢科普节目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，用“新闻节目”人数除以总人数可得；
（2）用调查的总人数分别减去喜欢新闻、综艺、科普的人数得到喜欢体育的人数，然后补全图①中的条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次问卷调查的总人数为45÷22.5%＝200人，
图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为×100%＝25%，
故答案为：200、25%；
（2）“体育”类节目的人数为200﹣（50+35+45）＝70人，
补全图形如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2，
所以恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率＝＝．
19．徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？
【分析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据平均速度＝路程÷时间结合A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，即可得出关于t的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，
根据题意得：﹣＝80，
解得：t＝2.5，
经检验，t＝2.5是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4t＝3.5．
答：A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时．
20．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．
【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，
∴AC＝BC，
∴PA＝PB
在△PAO和△PBO中
∴△PAO≌△PBO
∴∠OBP＝∠OAP＝90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD＝2OC＝6
在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4
∴AO＝5
在Rt△ACO与Rt△PAO中，
∠AOC＝∠POA
∠PAO＝∠ACO＝90°
∴△ACO∼△PAO
＝
∴PO＝，PA＝
∴PB＝PA＝
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴＝，
解得EB＝，
PE＝，
∴sinE＝＝．
另解：过BF⊥AE于点F，
则sin∠E＝sin∠OBF．
由△AOC∽△ABF，
可算出BF＝，
∴OF＝．
∴sinE＝sin∠OBF＝．
21．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标和△PAB的面积；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE＝DE，列方程可得P的坐标，先求出点E的坐标，从而得PE＝2，根据S△PAB＝S△PAE+S△PBE＝×PE×（xB﹣xA）计算可得；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝2OB＝2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴＝2，
∴AC＝6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE＝DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）＝（﹣2x+2），
x＝1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
在y＝﹣2x+2中x＝﹣1时，y＝4，即E（﹣1，4），
则PE＝2，
∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE
＝×PE×（xB﹣xA）
＝×2×（1+2）
＝3；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2＝（﹣1+2）2+（y﹣6）2＝1+（y﹣6）2，
BM2＝（1+1）2+y2＝4+y2，
AB2＝（1+2）2+62＝45，
分三种情况：
i）当∠AMB＝90°时，有AM2+BM2＝AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2＝45，
解得：y＝3±，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
ii）当∠ABM＝90°时，有AB2+BM2＝AM2，
∴45+4+y2＝1+（y﹣6）2，
y＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM＝90°时，有AM2+AB2＝BM2，
∴1+（y﹣6）2+45＝4+y2，
y＝，
∴M（﹣1，）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
22．如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’
（1）问题发现： ．
（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；
（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．
【分析】（1）如图①中，延长D′C′交BC于H．证明△CC′H是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）结论：＝，值不变．如图②中，连接AC，AC′．证明△BAB′∽△CAC′即可解决问题．
（3）分两种情形画出图形分别求解即可．
【解答】解：（1）如图①中，延长D′C′交BC于H．
由题意四边形BHC′B′，四边形CHDD′D都是矩形，
∴BB′＝HC′，DD′＝CH，
∵AB＝AD，
∴BB′＝DD′，
∴CH＝HC′，
∵∠CHC′＝90°，
∴△CHC′是等腰直角三角形，
∴＝＝．
故答案为．
（2）结论：＝，值不变．
理由：如图②中，连接AC，AC′．
∵四边形ABCD，四边形AB′C′D′都是正方形，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝45°，＝＝，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∴△BAB′∽△CAC′，
∴＝＝．
（3）如图③﹣1中，当C，C′，D′共线时．易知AC＝2，AD′＝，
∴CD′＝＝，
∴CC′＝﹣，
∴BB′＝CC′＝﹣1
如图③﹣2中，当C，D′，C′共线时，同法可得CC′＝+，BB′＝CC′＝+1．
综上所述，满足条件的BB′的长为+1或﹣1．
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