第18题 立体几何——【新课标全国卷（文）】2022届高考数学考点题号一对一

第18题 立体几何—【新课标全国卷（文）】2022届高考数学二轮复习考点题号一对一

1.在直四棱柱中，.

(1)求证:平面；

(2)求点到平面的距离.

2.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面分别是PB、CD的中点.

(1)证明：平面PAD；

(2)若平面AEF，求四棱锥的体积.

3.如图1，正方形ABCD中，，，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN的位置，使得(如图2).

（1）证明：平面平面ABPQ；

（2）若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥的体积.

4.如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点.

（1）若在线段AD上存在点E，使得平面平面ABCD，指出点E的位置；

（2）在（1）的条件下，若，求点F到平面SAD的距离.

5.已知平行四边形ABCD中，，，，点E在线段CD上，，把沿BE翻折，使点C到点P的位置，如图.

（1）当平面平面ABCD时，求AP的长；

（2）若，求三棱锥的体积.

6.如图，在四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，点M，N分别为棱，BC的中点.

（1）求证：平面.

（2）若，且，求三角形MDN绕直线MN旋转一周所形成的旋转体的表面积.

7.如图（1），在四边形MABC中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形.以AC为折痕，将向上折叠到的位置，使D点在平面ABC内的射影在AB上，再将向下折叠到的位置，使平面平面ABC，形成几何体DABCE，如图（2）所示.已知点F在BC上.

（1）若平面EAC，求点F的位置；

（2）过DF且与平面EAC平行的平面将几何体DABCE分为两部分，求这两部分几何体的体积之差（较大体积减去较小体积）.

8.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别是SC，AB上的一点.

（1）若E，F分别是SC，AB的中点，求证：平面SFD；

（2）当为多少时，三棱锥的体积为？

9.如图所示，四棱锥的底面ABCD是直角梯形，，，，底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（M与D不重合）.

（1）求证：.

（2）若，求的值.

10.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面.

（1）证明：；

（2）若，，，求三棱柱的高.

11.如图（1），在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到图（2）中的位置，得到四棱锥.

（1）证明：平面；
（2）当平面平面BCDE时，四棱锥的体积为，求a的值.

12.已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，，

（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.

13.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，M，N分别为AD，PA的中点.

（1）证明：平面平面PCD.

（2）若，求三棱锥的体积.

14.如图（1），ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点.现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面平面BCP，如图（2）所示.

（1）证明：平面DCP.

（2）若，当三棱锥的体积最大时，求E到平面BDP的距离.

15.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，.

（1）求证：平面平面CBF.

（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.

答案以及解析

1.答案：(1)证明过程见解析.

(2)距离为.

解析：(1)取的中点，连接.

为直四棱柱，平面，

.

.

，

四边形为正方形，，

.

，

平面.

(2)易得.

由(1)知平面.

设点到平面的距离为.

.

故点到平面的距离为.

2.答案：(1)证明过程见解析.

(2)体积为.

解析：(1)证明：如图，取AP的中点为M，连接MD，ME.
因为E，M，F分别是的中点，四边形ABCD是矩形，
所以，且，
所以，
所以四边形DMEF为平行四边形，所以，

(2)因为平面，平面ABCD，
所以，又，所以，
因为平面，平面AEF，所以，
又E是PB的中点，所以.
所以直角梯形ABCF的面积.
易知点E到平面ABCF的距离，
所以.

3.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)在正方形ABCD中，，，

，，

又，在中，由余弦定理得，

，

，

，

又，平面ABPQ，平面ABPQ，

又平面MNPQ，平面平面ABPQ；

(2)由(1)知，，

在正方形ABCD中，，，

四边形CDMN为矩形，

，，

，，

，MQ、平面AMQ，平面AMQ，

平面ABNM，平面平面AMQ，

过Q作于H，则平面ABNM，即平面BEF，

，

.

4.答案：（1）点E为AD的中点

（2）

解析：（1）点E为AD的中点.

理由如下：因为四边形ABCD是矩形，所以.

又E，F分别是AD，BC的中点，所以，

所以.

又为等腰直角三角形，，

所以.

因为，所以平面SEF.

又平面ABCD，所以平面平面ABCD.

（2）如图，过点S作，交FE的延长线于点O.

由（1）知平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD.

因为为等腰直角三角形，，

所以，，

又，所以为等腰三角形.

因为，故，，

故，.

连接AF，DF，设F到平面SAD的距离为d，

由可得.

易知，，

所以.

5.答案：（1）

（2）

解析：（1）翻折前，根据，，得，

在中，，，

由余弦定理，得，所以，于是.

翻折后，有.

因为平面平面ABCD，且平面平面，平面PBE，所以平面ABCD.

连接AE，因为平面ABCD，所以，

而，，

所以.

（2）如图，因为，，，

所以平面PDE，

又平面ABED，所以平面平面ABED.

由于，，所以为正三角形，

取DE的中点O，连接PO，则，

所以平面ABED，且，

所以三棱锥的体积.

6.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）如图，取的中点E，连接EM，EN，

因为M为棱的中点，所以且，

又四边形ABCD是菱形，N为棱BC的中点，所以且，

所以且，

所以四边形EMCN为平行四边形，

所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）连接BD，因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以，又，，所以平面，所以.

又，，所以平面ABCD.

因为，，所以，，

易知，则，三角形MDN斜边上的高为.

易知三角形MDN绕着直线MN旋转一周所形成的旋转体是两个圆锥的组合体，其表面积为.

7.答案：（1）F为BC的中点

（2）

解析：（1）F为BC的中点.

理由如下：

如图，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OC，

，，

在中，O为AB的中点.

取BC的中点F，连接OF，DF，则，

又平面EAC，平面EAC，平面EAC.

取AC的中点H，连接EH，则，

又平面平面ABC，平面平面，

平面ABC，

又平面ABC，，平面EAC.

又，平面平面EAC.

又平面DOF，

平面EAC.

（2）由（1）知，则，

又O为AB的中点，则，

因而.又，故平面DOF.

如图，取BE的中点N，连接FN，ON，则，.

又，，

，，，

，

则四棱锥的体积为，

几何体DABCE的体积为，

两部分几何体的体积之差为.

8.答案：（1）见解析

（2）当时，三棱锥的体积为

解析：（1）如图，取SD的中点G，连接FG，GE.

因为E，F，G分别是SC，AB，SD的中点，

所以且，.

又四边形ABCD是菱形，

所以且，

所以且，

所以四边形FBEG为平行四边形，所以.

又平面SFD，平面SFD，

所以平面SFD.

（2）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，

所以.

因为是等边三角形，所以在中，AD边上的高为.

又平面平面ABCD，平面平面，

所以的高即三棱锥的高，

所以.

又，所以.

所以当时，三棱锥的体积为.

9.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）在梯形ABCD中，，平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD.

又平面BCMN，平面平面，

所以.

（2）过M作交AD于K，连接BK.

因为底面ABCD，所以底面ABCD，

所以.又，，

所以平面BMK，所以.

所以在平面ABCD中，可得四边形BCDK是平行四边形.

所以，

所以K是AD的中点，所以M是PD的中点，所以N是PA的中点.

设，连接CN，

则.

10.答案：（1）连接，则O为与的交点.因为侧面为菱形，所以，因为平面，所以，，故平面ABO，因为平面ABO，故.

（2）如图，作，垂足为D，连接AD，作，垂足为H，由题意知，，

故平面AOD，所以，

又，所以平面ABC，

因为，所以为等边三角形，又，所以.

由于，因此，

由，且，得.

又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为，故三棱柱的高为.

11.答案：（1）在题图（1）中，

因为，E是AD的中点，

，所以，

即在题图（2）中，，，且，

从而平面，

又在直角梯形ABCD中，，，E为AD中点，

所以，

所以四边形BCDE为平行四边形，故有，

所以平面.

（2）由已知，平面平面BCDE，

且平面平面，

又由（1），，所以平面BCDE，

即是四棱锥的高，

由题图（1）知，，

平行四边形BCDE的面积，

从而四棱锥的体积为

，

由，得.

12.答案：（1）如图，取BC的中点为M，连接EM.由已知易得，，，，，

由得，

又易得，，

所以平面BCF，

故.

（2）连接，，由（1）知，

所以ED在平面内.

在正方形中，由于F，M分别是，BC的中点，所以，，

且这两个角都是锐角，所以，

所以，

所以，

又，，所以平面，

又平面，所以.

13.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）连接BD，如图.，，为正三角形.

为AD的中点，.

又，平面ABCD，平面ABCD，.

又平面PCD，平面PCD，平面PCD.

，N分别是AD，PA的中点，.

又平面PCD，平面PCD，

平面PCD.

又平面BMN，平面BMN，且，

平面平面PCD.

（2）由（1）知.

平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面PAD.

又，，.

，N分别是AD，PA的中点，，的面积.

三棱锥的体积.

14.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）因为平面平面BCP，ABCD是正方形，

平面平面，所以平面BCP.

因为平面BCP，所以.

因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以，

又，所以平面DCP.

（2）当点P位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.

如图，连接PE，DE，因为，所以，所以的面积为，

所以三棱锥的体积为.

因为平面DCP，所以，

，

的面积为.设E到平面BDP的距离为d，由，得，

即E到平面BDP的距离为.

15.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）解法一  平面平面ABEF，在矩形ABCD中，，平面平面，平面ABCD，

平面ABEF.平面ABEF，.

又AB为圆O的直径，.

，平面CBF.

平面DAF，平面平面CBF.

解法二  平面平面ABEF，在矩形ABCD中，，平面平面，平面ABCD，

平面ABEF.

平面ABEF，.

又AB为圆O的直径，.

，平面DAF.

平面CBF，平面平面CBF.

（2）如图，过点F作，交AB于H.

平面平面ABEF，

平面平面，

且平面ABEF，

平面ABCD.

则，

易知，

.