2020-2021年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学（理）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )
A.在x=x0处的斜率
B.在点(x0, f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C.曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
D.点(x0, f(x0))与点(0, 0)连线的斜率

2. 已知函数fx=−1x2，则f′12等于( )
A.16B.−16C.116D.−116

3. 由①张晓丽是高二(1)班的学生，②张晓丽是独生子女，③高二(1)班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为( )
A.②①③B.②③①C.①②③D.③①②

4. 若有一段演绎推理：“大前提：对任意实数a，都有(na)n=a．小前提：已知a=−2为实数．结论：(4−2)4=−2．”这个结论显然错误，是因为（ ）
A.推理形式错误B.小前提错误C.大前提错误D.非以上错误

5. 定积分013xdx的值为( )
A.3B.1C.32D.12

6. 若fx=csα−csπ3sinx，则f′x=( )
A.−32csxB.−12csx
C.−sinα−12csxD.−sinα+sinπ3csx

7. 已知函数fx=e(3x−1)，则f′1等于( )
A.e2B.13e2C.3e2D.3×2e

8. 已知S1=12 xdx，S2=12 exdx，S3=12 x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A.S1
9. 已知函数y=fx ，其导数f′x的图像如图所示，则y=fx( )

A.在−∞,0上为增函数 B.在x=1处取得极小值
C.在x=0处取得极大值 D.在4,+∞上为增加的

10. 下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是( )

A.an+1=an+n，n∈N*
B.an=an−1+n，n∈N*，n≥2
C.an+1=an+n+1，n∈N*，n≥2
D.an=an−1+n−1，n∈N*，n≥2

11. 二次函数f(x)=x2−nx+m(n，m∈R)的图像如图所示，则定积分01f(x)dx = ( )

A.23B.56C.2D.3

12. 已知函数y=fx定义域为−1,2，且在该区间上连续，在−1,2上函数y=fx有唯一的极大值f1，则下列说法正确的是( )
A.函数fx有最大值f1
B.函数fx有最大值，但不一定是f1
C.函数fx的最小值也可能是f1
D.函数fx不一定有最大值
二、填空题

函数fx=ex−2x (e为自然对数的底数)，则函数fx的极值点为________.

已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r，则△ABC的面积S△ABC=12ra+b+c；类比这一结论有：若三棱锥A−BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA−BCD=________．

由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y−6=0及x=0所围成图形的面积为________.

已知函数y=f(x)是R上的连续可导函数，且xf′(x)+f(x)>0，则函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为________.
三、解答题

求下列函数的导数：
(1)y=xx−1x2；

(2)y=ex−2x；

(3)y=x2lnx+sinx．

已知函数fx=x3,x∈0,1,x,x∈1,2,求曲线fx与x轴、直线x=0，x=2所围成的图形的面积．


已知函数f(x)=2x3+ax2+bx+3在x=−1和x=2处取得极值．
(1)求f(x)的表达式和极值；

(2)若f(x)在区间[m, m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．

已知函数fx=x3+6lnx，f′x是fx的导函数．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；

(2)求函数gx=fx−f′x+9x的单调区间和极值．

为安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于kx2 （单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数，经测定当车速为60km/h时，安全车距为40m，假设每辆车的平均车长为5m．
(1)写出安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min ）关于车速x的函数；

(2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？

已知函数fx=2x2−ax+1+lnxa∈R．
(1)若a=5，求函数fx的单调区间；

(2)设gx=fx−2lnx，若方程gx=0在1e,e上有两个解，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
导数的几何意义
【解析】
利用导数的几何意义和直线斜率与倾斜角的关系．
【解答】
解：f′(x0)的几何意义是在切点(x0, f(x0))处的切线的斜率，
∵ 直线的斜率是倾斜角的正切值，
∴ f′(x0)的几何意义是在切点(x0, f(x0))处的倾斜角的正切值.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
由导函数的求法得：f′x=2x−3=2x3，所以f′12=16，得解．
【解答】
解：因为fx=−1x2=−x−2，
所以f′x=2x−3=2x3，
所以f′12=2123=16．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
演绎推理
【解析】
根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解．
【解答】
解：由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程为
大前提：③高二(1)班的学生都是独生子女；
小前提：①张晓丽是高二(1)班的学生；
结论：②张晓丽是独生子女.
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
演绎推理的基本方法
【解析】
本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误．
【解答】
解：对任意实数a，都有(na)n=a，若a<0，n为偶数时，根式无意义，显然大前提错误．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
微积分基本定理
【解析】
先找到被积函数的原函数，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．
【解答】
解：013xdx=32x2|01=32.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
根据导数的公式先求出函数的导数，然后直接求解即可．
【解答】
解：∵fx=csα−csπ3sinx=csα−12sinx，
∴f′x=−12csx．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
简单复合函数的导数
【解析】
先求导，再代值计算．
【解答】
解：∵fx=e3x−1，
∴f′x=e3x−1 3x−1′=3e3x−1，
∴f′1=3e3×1−1 =3e2．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
微积分基本定理
【解析】
利用微积分基本定理分别求出三个定积分，比较大小即可.
【解答】
解：由题意，得12xdx=12x2|12=12(4−1)=32，
12exdx=ex|12=e2−e，
12x2dx=13x3|12=13(8−1)=73，
∵ 32<73∴ 12xdx<12x2dx<12exdx，
即S1故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数的单调性与导数的关系
【解析】
根据图象得到f′（x）的符号，从而求出函数的单调性及极值点，进而得出答案.
【解答】
解：由图象可知，x∈(−∞,−1) 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈(−1,1) 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(1,4) 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈(4,+∞) 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
所以当x=−1或x=4是极小值点，x=1是极大值点.
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
规律型
【解析】
由图形可得： a1=1，a2=a1+2，a3=a2+3，⋯，即可得出递推关系．
【解答】
解：由图形可知，a1=1，
a2=a1+2，
a3=a2+3，
a4=a3+4，
由此类推，an=an−1+n，n≥2，n∈N*，
则an+1=an+n+1，n∈N*.
故选B．
11.
【答案】
B
【考点】
微积分基本定理
函数的零点与方程根的关系
【解析】
根据二次函数图象，函数有两个零点1，2带入函数解析式，求出m，n，再积分即可．
【解答】
解：由图像，得1，2是方程x2−nx+m=0的两个根，
所以n=1+2=3，m=1×2=2，
所以f(x)=x2−3x+2，
所以01f(x)dx=01(x2−3x+2)dx
=(13x3−32x2+2x)|01=(13−32+2)−0=56.
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
函数最值与极值的关系辨析
【解析】
先求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值也是函数的最大值，从而求出答案．
【解答】
解：由题意，得f(x)的定义域为(−1,2)，
则当x趋近于−1或2时，若f(x)趋近于正无穷大，
此时f(x)不存在最大值，故A，B错误，D正确；
因为在−1,2上，y=fx有唯一的极大值f1，
所以f(1)两侧的一段区域的值都比f(1)小，故C错误.
故选D．
二、填空题
【答案】
ln2
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
求导f′x=ex−2，由导数可知fx在−∞,ln2上是减函数，在ln2,+∞上是增函数，从而求极值点．
【解答】
解：∵fx=ex−2x，
∴ f′x=ex−2，
∴当x当x>ln2时，f′x>0，
∴ fx在−∞,ln2上是减函数，在ln2,+∞上是增函数，
即函数fx的极值点为x=ln2．
故答案为：ln2.
【答案】
13RS△ABC +S△ABD +S△ACD +S△BCD
【考点】
类比推理
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
类比推理的运用，本题属于升维类比，面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．
【解答】
解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，
它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，
它们的体积和等于原三棱锥的体积．
即三棱锥体积VA−BCD=13RS△ABC +S△ABD +S△ACD +S△BCD ．
故答案为：13RS△ABC +S△ABD +S△ACD +S△BCD ．
【答案】
143
【考点】
定积分在求面积中的应用
【解析】
根据定积分的定义结合图象可得，S=0222⋅xdx+26(6−x)dx，然后利用定积分的定义进行计算．
【解答】
解：由题意，得y2=8x，x+y−6=0，
则x=2，y=4，
由x+y−6=0，
令x=0，则y=6，
设所求图形面积为S，如图，
S=0418y2dy+46(6−y)dy
=y324|04+(6y−12y2)|46
=83+2=143.
故答案为：143.
【答案】
0
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数零点的判定定理
【解析】
根据函数与方程的关系，得到xf(x)=−1(x>0)，构造函数h(x)=xf(x)，求函数的导数，研究函数的单调性和取值范围进行求解即可．
【解答】
解：由g(x)=xf(x)+1=0，得xf(x)=−1(x>0)，
设h(x)=xf(x)，则h′(x)=f(x)+xf′(x)，
∵ xf′(x)+f(x)>0，
∴ h′(x)>0，即函数h(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵ h(0)=0⋅f(0)=0，
∴ 当x>0时，h(x)>h(0)=0，
∴ h(x)=−1无解，
∴ 函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为0个.
故答案为：0.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ y=xx−1x2=x2−1x，
∴ y′=2x+1x2.
(2)∵ y=ex−2x，
∴ (ex)′=ex，(2x)′=2xln2，
∴ y′=ex−2xln2.
(3)∵ y=x2lnx+sinx=x2lnx+x2⋅sinx，
∴ y′=2x⋅lnx+x2⋅1x+2x⋅sinx+x2⋅csx
=2x(lnx+sinx+12)+x2⋅csx.
【考点】
导数的运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ y=xx−1x2=x2−1x，
∴ y′=2x+1x2.
(2)∵ y=ex−2x，
∴ (ex)′=ex，(2x)′=2xln2，
∴ y′=ex−2xln2.
(3)∵ y=x2lnx+sinx=x2lnx+x2⋅sinx，
∴ y′=2x⋅lnx+x2⋅1x+2x⋅sinx+x2⋅csx
=2x(lnx+sinx+12)+x2⋅csx.
【答案】
解：由题意，得S=02fxdx
=01x3dx+12xdx
=14x4|01+23x32|12
=14+23(232−132)
=14+423−23
=−512+423.
所以所围成的图形的面积为−512+423.
【考点】
定积分在求面积中的应用
【解析】
无
【解答】
解：由题意，得S=02fxdx
=01x3dx+12xdx
=14x4|01+23x32|12
=14+23(232−132)
=14+423−23
=−512+423.
所以所围成的图形的面积为−512+423.
【答案】
解：(1)由题意，得f′(x)=6x2+2ax+b，
则 f′(−1)=0，f′(2)=0，
即 6−2a+b=0,24+4a+b=0,
解得 a=−3，b=−12，
∴ f(x)=2x3−3x2−12x+3.
∴ f′(x)=6x2−6x−12，
由f′(x)>0，解得x<−1或x>2；
由f′(x)<0，解得−1∴ 函数f(x)在(−∞, −1)和(2, +∞)上单调递增，在(−1, 2)上单调递减，
∴ 当x=−1时，函数f(x)有极大值10；
当x=2时，函数f(x)有极小值−17.
(2)由(1)可知，若f(x)在区间[m, m+4]上是单调函数，
则m+4≤−1或m≥2，
所以m≤−5或m≥2，
即m的取值范围为(−∞,−5]∪[2,+∞).
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求出导函数，利用导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b，代入f(x)和f′(x)；令f′(x)>0求出x的范围即为递增区间，令f′(x)<0求出x的范围为递减区间，并利用极值的定义求出极值．
（2）根据题意，令[m, m+4]在(−∞, −1)内或在(2, +∞)内或在(−1, 2)内，列出不等式组，求出m的范围．
【解答】
解：(1)由题意，得f′(x)=6x2+2ax+b，
则 f′(−1)=0，f′(2)=0，
即 6−2a+b=0,24+4a+b=0,
解得 a=−3，b=−12，
∴ f(x)=2x3−3x2−12x+3.
∴ f′(x)=6x2−6x−12，
由f′(x)>0，解得x<−1或x>2；
由f′(x)<0，解得−1∴ 函数f(x)在(−∞, −1)和(2, +∞)上单调递增，在(−1, 2)上单调递减，
∴ 当x=−1时，函数f(x)有极大值10；
当x=2时，函数f(x)有极小值−17.
(2)由(1)可知，若f(x)在区间[m, m+4]上是单调函数，
则m+4≤−1或m≥2，
所以m≤−5或m≥2，
即m的取值范围为(−∞,−5]∪[2,+∞).
【答案】
解：(1)由题意知x的取值范围为(0,+∞)，
∵ fx=x3+6lnx，
∴ f′(x)=3x2+6x，
∴ f′(1)=3+6=9，f(1)=1+0=1，
∴ 曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−1=9(x−1)，
即9x−8−y=0．
(2)由题意，得g(x)=f(x)−f′(x)+9x
=x3+6lnx−3x2−6x+9x
=x3−3x2+6lnx+3x，
g′(x)=3x2+6x−6x−3x2
=3x2+6x−6x2−3x2
=3(x−1)3(x+1)x2，
令g′(x)=0，
解得x=1，
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化如下：
所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，
极小值为g(x)=1+0−3+3=1．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)由题意知x的取值范围为(0,+∞)，
∵ fx=x3+6lnx，
∴ f′(x)=3x2+6x，
∴ f′(1)=3+6=9，f(1)=1+0=1，
∴ 曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−1=9(x−1)，
即9x−8−y=0．
(2)由题意，得g(x)=f(x)−f′(x)+9x
=x3+6lnx−3x2−6x+9x
=x3−3x2+6lnx+3x，
g′(x)=3x2+6x−6x−3x2
=3x2+6x−6x2−3x2
=3(x−1)3(x+1)x2，
令g′(x)=0，
解得x=1，
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化如下：
所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，
极小值为g(x)=1+0−3+3=1．
【答案】
解：(1)从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时kx2+5/x小时，
由k×602=45，得k=45/3600，
则y=xkx2+5×160，
即y=145x3600+5x×160.
(2) 由(1)可知，y=145x3600+5x×160，
则y=145x3600+5x×160≤130，
此时45x3600=5x，即x=20km/h，
显然不可行，20km/h的速度，没有达到高速公路提速的目的．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
函数最值的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时kx2+5/x小时，
由k×602=45，得k=45/3600，
则y=xkx2+5×160，
即y=145x3600+5x×160.
(2) 由(1)可知，y=145x3600+5x×160，
则y=145x3600+5x×160≤130，
此时45x3600=5x，即x=20km/h，
显然不可行，20km/h的速度，没有达到高速公路提速的目的．
【答案】
解：(1)当a=5，fx=2x2−5x+1+lnx， x>0，
则f′x=4x−5+1x=4x2−5x+1x=4x−1x−1x，
令fx>0，解得x>1或0令fx<0，解得14∴ 函数fx在1,+∞，0,14上单调递增，在14,1上单调递减．
(2)gx=fx−2lnx=2x2−ax+1+lnx−2lnx
=2x2−ax+1−lnx，
令gx=0，即2x2+1−lnx=ax，
则a=2x2+1−lnxx，
设hx=2x2+1−lnxx，x∈1e,e，
则h′x=4x−1xx−2x2+1−lnxx2
=4x2−1−2x2−1+lnxx2=2x2+lnx−2x2，
又函数mx=2x2+lnx−2在 0,+∞上为增函数，
且当x=1时，m(1)=2+ln1−2=0，
当10，h′x>0，hx为增函数，
当1e≤x<1时，mx<0，h′x<0，hx为减函数，
即当x=1时，hx 取得极小值，极小值为h(1)=2+1=3，
当x=e时，he=2e2+1−lnee=2e，
当x=1e时，h1e=2e2+1−ln1e1e=2e+2e>he，
如图，
由图可知，要使a=hx在x∈1e,e上有两个交点，
则3即实数a的取值范围是3,2e．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
由函数零点求参数取值范围问题
函数与方程的综合运用
【解析】
(1)求出函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
(2)求出gx的解析式，结合函数与方程之间的关系，利用参数分离法进行求解即可．
【解答】
解：(1)当a=5，fx=2x2−5x+1+lnx， x>0，
则f′x=4x−5+1x=4x2−5x+1x=4x−1x−1x，
令fx>0，解得x>1或0令fx<0，解得14∴ 函数fx在1,+∞，0,14上单调递增，在14,1上单调递减．
(2)gx=fx−2lnx=2x2−ax+1+lnx−2lnx
=2x2−ax+1−lnx，
令gx=0，即2x2+1−lnx=ax，
则a=2x2+1−lnxx，
设hx=2x2+1−lnxx，x∈1e,e，
则h′x=4x−1xx−2x2+1−lnxx2
=4x2−1−2x2−1+lnxx2=2x2+lnx−2x2，
又函数mx=2x2+lnx−2在 0,+∞上为增函数，
且当x=1时，m(1)=2+ln1−2=0，
当10，h′x>0，hx为增函数，
当1e≤x<1时，mx<0，h′x<0，hx为减函数，
即当x=1时，hx 取得极小值，极小值为h(1)=2+1=3，
当x=e时，he=2e2+1−lnee=2e，
当x=1e时，h1e=2e2+1−ln1e1e=2e+2e>he，
如图，
由图可知，要使a=hx在x∈1e,e上有两个交点，
则3即实数a的取值范围是3,2e．x
(0,1)
1
(1,+∞)
g′(x)
−
0
+
g(x)
↘
极小值
↗
x
(0,1)
1
(1,+∞)
g′(x)
−
0
+
g(x)
↘
极小值
↗