四川省遂宁市2021届高三下学期4月第三次诊断性考试（三诊）理科数学试题 Word版含答案

遂宁市高中2021届三诊考试

数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合，，则下列判断正确

的是

A．                B．       

C．且       D．

2．已知，则

A．           B．         C．          D．

3. 已知随机变量服从正态分布，，

则

A.          B.        C.        D.

4．已知等差数列满足，，则它的前项的

和

A．            B．           C．          D．

5．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为

，且圆截直线所得弦的长度为，则实数

A．            B．          C．          D．

6. 在递增的数列中，，若，

，前项和．则

A．              B．            C．            D．

7. 将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋

转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是

附：柱体的体积公式（为底面面积，为柱体的高）

锥体的体积公式（为底面面积，为锥体的高）

台体的体积公式（，为台体的上、下底面面积，为台体的高）

A.          B.          C.         D.

8．设，为双曲线C:的左、右焦点,过坐

标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于，两点，若

，则该双曲线的离心率为

A.       B.       C.        D.

9. 已知函数为上的奇函数，当时，；若， ，，则

A.         B．         C.      D.

10．已知在中，角所对的边分别为，且，

. 又点都在球的球面上，且点到平面的距离

为，则球的体积为

A．         B．          C.          D．

11. 已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，交于点，且（其中，），则的最小值为

A.                      B.     

C.                      D.

12. 已知函数，，又当时，

恒成立，则实数的取值范围是

A．     B．　    C．  D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．复数（其中为虚数单位），则   ▲  

14．已知向量，，且与垂直，则

   ▲  

15．在的展开式中，的系数为   ▲   （用数字作答）

16．已知斜率为的直线过抛物线：的焦点，

与抛物线交于，两点（点在点的左侧），又为坐标原

点，点也为抛物线上一点，且，，

则实数的值为   ▲  

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知数列中，，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且数列的前项和为，求

18.（本小题满分12分）

某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求所抽取的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的人数为，求的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）

如图, 在直四棱柱中, 底面四边形为梯形, 点为上一点, 且，

∥,

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过抛物线的焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求证：；

（3）求证：当时，方程有且仅有个实数根.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）若，求以曲线与轴的交点为圆心，且这个交点到直线的距离为半径的圆的方程。

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）当取最小值时，求使得成立的正实数的取值范围．

遂宁市高中2021届三诊考试

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（12×5=60分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.          14．         15．           16．或

三、解答题：本大题共70分。

17．（本小题满分12分）

【解析】（1）因为，令，则，又，

所以，                                         ……………………2分

对两边同时除以，得， ………………4分

又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，……………………5分

所以，故；           ……………………6分

（2）由（1）得：                           ……………………7分

所以，

则

两式相减得……………………10分

所以

故                               ……………………12分

18. （本小题满分12分）

【解析】

（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：

的频率为：；的频率为：；

的频率为：；的频率：；

的频率为：，

∴.………………… 4分

（2）根据题意得每个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的概率为，                                   ……………………5分

所以，的可能取值为：0，1，2，3，4，

，，，

，，       ……………………10分

∴的分布列为：

……………………11分

∴.       ……………………12分

19. （本小题满分12分）

【解析】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以∥， ………1分

又已知，所以点为的中点，       ……………………2分

又，且∥，所以且∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，                              ……………………3分

又在平面中，，在平面中，，由面面平行的判定定理的推论知平面∥平面，又平面，所以∥平面                                                   ……………………5分

（2）由（1）知点为的中点，所以为的边上的中线，而，所以由在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形，且这边所对的角为直角知，为直角三角形，且为直角，故，又在直四棱柱中，底面，所以两两互相垂直，则建立空间直角坐标系如图所示，      ……………………7分

则，，，，设平面的一个法向量为，又，，则由得，即，令，则，，所以                              ……………………9分

同理，设平面的一个法向量为，又，，则由得，即，令，则，，所以，                                        ……………………10分

所以，                       ……………………11分

设二面角的平面角为，则，故所求二面角的正弦值为                        ……………………12分

20. （本小题满分12分）

【解析】（1）因为为直角三角形，所以，则，                                               ……………………2分

又，所以，又，所以，则，                       ……………………4分

，故椭圆的标准方程为   ………………5分

（2）因为抛物线的焦点坐标为，所以点的坐标为，设

，

又因为

①若直线与轴重合，……………7分

②若直线不与轴重合，设直线的方程为，则，消去得

，

所以，，

则由两点间的距离公式有，

同理，                              ……………………9分

所以

，因为，

所以，所以，        ……………………11分

综上①②可知，

即的取值范围是                       ……………………12分

21. （本小题满分12分）

【解析】（1）因为，，故在点处的切线斜率为，点为，故所求的切线方程为

……………………3分

（2）令，

的定义域为，， ………4分

当时，恒成立，∴在上单调递减，

当时，恒成立，∴在上单调递增，

∴当时，恒成立，           ……………………6分

故当时，；                 ……………………7分

（3）由，即，则

设，的定义域为，，

设，的定义域为，，

当时，恒成立，∴在上单调递减，

又，，∴存在唯一的使得，                                         …………………… 9分

当时，则，∴在上单调递增，

当时，则，∴在上单调递减，

∴在处取得极大值也是最大值，从而

又，，，                         ………………11分

∴在与上各有一个零点，

即当时，方程有且仅有个实数根………………12分

22．（本小题满分10分）

【解析】（1）由，得，

因为，

所以，即，又，

所以，

即曲线的极坐标方程为；      ……………………3分

因为直线的极坐标方程为，即，

又，所以直线的直角坐标方程为。…………………5分

（2）因为，由（1）知曲线的普通方程为（）；它与轴的交点为，                                              ……………………7分

又直线的直角坐标方程为，故由点到直线的距离公式有：曲线与轴的交点到直线的距离。                 ……………………9分

故所求的圆的方程为                   ……………………10分

23．（本小题满分10分）

【解析】（1）由不等式可得，

可化为或或

解得或或，综上不等式的解集为……5分

（2）因为，

当且仅当，即时，等号成立．故当时，，                                             ……………………7分

法一：又当取最小值时，，即，

所以，即，                ……………………9分

解得，故所求m的取值范围                  ……………………10分

法二：

又

，故所求m的取值范围……………10分