2022届辽宁省铁岭市六校高三上学期12月月考数学试题含解析

这是一份2022届辽宁省铁岭市六校高三上学期12月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届辽宁省铁岭市六校高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】解出集合A和B，再根据交集的运算方法计算即可.【详解】或，，∴或．故选：C．2．已知复数z满足且，则复数z的虚部为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设复数，根据题意得到和，联立方程组，即可求解.【详解】设复数，因为，可得，即，又由，可得，即，两式相减可得，解得，即复数z的虚部为.故选：D3．斐波那契数列指的是这样一个数列：，，当时，.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（       ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据题意列出所报数构成的数列即可判断.【详解】由题意知所报数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610…，，，，，均为5的倍数，故有6个同学．故选：C．4．抛物线C：的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，P为准线上一点，线段PF与抛物线交于M点，若是斜边长为的等腰直角三角形，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用抛物线的定可义可得，结合条件可得，即求.【详解】∵是斜边长为的等腰直角三角形，∴，过M作MN垂直准线于N点，则，∴，即，∴，故选：D．5．已知，则的值为（       ）A．3 B．或 C． D．【答案】D【分析】由三角函数的基本关系式和倍角公式，化简得到，进而求得的值.【详解】由，整理得，解得或，因为，所以，所以，所以（舍去），故．故选：D．6．若实数（），则的最小值为（       ）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根据题意化简得到，且，进而得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，且，所以，且，所以，当且仅当且，即，时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A．7．已知不等式成立，则的最小值是（       ）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】由，化简得到，令，利用导数求得在上递增，结合，即可求解.【详解】因为，可得，即，当时，，则；当，，令，可得，所以在上递增，又由，所以，即．故选：B．8．已知函数，使得不等式恒成立的条件是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】化简函数解析式，判断函数f(x)的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性解抽象不等式即可.【详解】，函数为R上的偶函数，且，在上均单调递增，故在上单调递增，∵，∴，∴，．故选：C．二、多选题9．下列命题错误的是（       ）A．“平面向量与的夹角是锐角”的充分必要条件是“”B．函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件C．命题“，”的否定是“，”D．关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是【答案】AC【分析】结合向量的数量积的概念和充分、必要条件的判定，可得判定A错误；根据三角函数的图形与性质，可判定B正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C错误；根据二次函数的性质，可判定D正确．【详解】对A中，当“”时，平面向量与的夹角是锐角或零角，所以“平面向量与的夹角是锐角”的必要不充分条件是“”，故A错误；对B中：由函数，则，则，所以函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故B正确；对C中：命题“，”的否定是“，”，故C错误；对D中，由不等式的解集为，则满足，解得，故D正确．故选：AC10．如图，在圆锥SO中，母线长为2，侧面积为，AB为底面圆的直径，C、D为底面圆周上的动点，且，则下列命题正确的是（       ）A．若平面平面，则B．的最大面积小于C．当时，平面SAB与平面SCD所成的锐二面角为D．当时，四棱锥S-ABDC的外接球表面积为【答案】ACD【分析】根据线面平行的性质定理，可判定A正确；根据圆锥的结构特征，以及三角形的面积公式，可判断B错误；取CD的中点为G，得到为二面角的平面角，可判定C正确；延长交球面于点，在中，求得，进而可判定D正确．【详解】对于A中，由可知，平面，又平面平面，平面，所以，所以A正确；对于B中，由母线长为2，侧面积为，可知底面半径为，，所以的最大面积，所以B错误；对于C中，取CD的中点为G，连接，则为二面角的平面角，因为，所以，，所以，所以C正确；对于D中，四棱锥的外接球即圆锥的外接球，延长交球面于点，则为外接球直径，在中，，所以，所以外接球的表面积为，所以D正确．故选：ACD.11．函数的图象与函数的图象关于y轴对称，下列说法正确的是（       ）A．函数B．把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象C．函数与函数在上单调性相反D．函数，满足，且，则【答案】ACD【分析】根据题意得，进而结合三角函数的性质依次判断各选项即可得答案.【详解】解：∵函数的图象与函数的图象关于y轴对称，∴，故A正确；∵，∴把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，B错误；当时，，函数单调递增，，函数单调递减，C正确；作出函数的图象如图，记点，点，通过上下平移直线l，可知：的取值范围为，D正确．故选：ACD．12．如图所示，，，…，，…，是函数C：上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…，均为等腰直角三角形（为坐标原点）．（       ）A．B．，，（）C．D．【答案】ABD【分析】A根据题设写出代入函数求坐标值判断；B由等腰三角形的性质找到的坐标规律即可；C由B所得坐标，代入函数式结合等差数列定义判断的性质并写出通项公式，应用累加法求通项公式；D应用裂项相消法求和即可.【详解】由题意得：代入，解得；又代入，解得，故A正确；由等腰三角形的性质可得：，，（），故B正确；∵，，（），满足得，，所以，又，两式相减得，，又，∴，即，∴是以2为首项，1为公差的等差数列，则，∴，可得，故C错误，∵，∴，D正确．故选：ABD三、填空题13．函数是值域为R的偶函数，且在上单调递减，则满足题意的一个函数为_____．【答案】()(答案不唯一)【分析】根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.【详解】∵函数是值域为R的偶函数，∴满足题意的一个函数是()答案不唯一．故答案为：().14．已知两个单位向量，满足，当取最小值时，______．【答案】【分析】先求出，夹角为，再求出，即得解.【详解】解：∵两个单位向量，满足，所以.∴两个单位向量，夹角为，所以，∴当取最小值时，.故答案为：15．在棱长为2的正方体中，E为CD中点，O为侧面的中心，平面，则_____．【答案】【分析】如图，连接，，DB，证明N为PQ的中点，再利用求解.【详解】解：如图，连接，，DB，则O为中点，，，连接，∵，，∴，又O为的中点，∴N为PQ的中点，∴故答案为：四、双空题16．等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为，（）的图象是等轴双曲线，设双曲线的焦点为A、B，则直线AB的方程为______，若O为坐标原点，则的面积为______．【答案】          【分析】根据双曲线的图像与性质，结合反比例函数的图像与性质，对比分析即可求得直线AB的方程，再联立双曲线方程和直线方程，求得坐标即可求得的面积.【详解】，其对称中心，渐近线方程为：，，实轴所在直线方程为：，即，即直线AB的方程为；联立方程：解得顶点坐标为，，所以实轴长为，又双曲线的离心率为，故焦距为4，点O到直线的距离为：，所以的面积为，故答案为：，五、解答题17．在中，，，角A为钝角，的面积为．(1)若D是BC的中点，求AD的长度；(2)若AE为的角平分线，求AE的长度．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出，利用求解；（2）求出，再利用求解.(1)解：∵，，的面积为，∴，∴，又为钝角，∴，∵D是BC的中点，∴，∴，又，，，∴，∴.(2)解：∵AE为的角平分线，∴，因为，所以，即，所以.18．设数列的前n项和为，且满足（）．(1)证明：数列是等比数列；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，得到，两式相减得到，即可求解；（2）由（1）可得，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.(1)证明：当时，，解得，由，可得，两式相减得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.(2)解：由（1）可得，所以，则，则，两式相减可得，所以．19．已知，，，且．(1)求动点C的轨迹E；(2)若点为直线l：上一动点，过点P引轨迹E的两条切线，切点分别为A、B，两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求面积的最小值．【答案】(1)动点C的轨迹E是以（2，0）为圆心，1为半径的圆(2)【分析】(1)根据已知条件求出动点C的轨迹方程即可判断其轨迹；(2)设切线方程，根据已知条件求出k与t的关系，再求出|ST|的长度，表示出的面积即可求其最小值.(1)∵，∴，∴，∴，∴，∴动点C的轨迹E是以(2，0)为圆心，1为半径的圆；(2)设切线方程为，即，PA，PB的斜率为，，故圆心C到切线的距离，得，∴，，在切线方程中令可得，故，∴，当时，等号成立．故面积的最小值．20．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G在AC上且，平面ABCD，且，．(1)若H为线段DE的中点，证明：∥平面FGD；(2)若底面ABCD是正方形且，线段ED上是否存在点H，使得直线CH与平面FBE所成角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，或【分析】(1)延长EC，FG交于点K，连接KD，用比例证明即可；(2)建立空间直角坐标系，用线面角角的向量求法求解即可.(1)延长EC，FG交于点K，连接KD，因为，所以，则，又因为，∴C为线段EK的中点，又H为线段DE的中点，故，又因为平面FGD，平面FGD，故平面FGD；(2)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，，，设，则，，，设平面BFE的法向量，则，即，令，则，，∴，∵直线CH与平面FBE所成角的正弦值为，∴，∴，即或，∴或．21．设椭圆C：的焦点为，，右顶点为M，过点斜率为k（）的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形的周长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)以M为圆心，半径为的圆与椭圆的另一个交点为，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得的值，再根据的关系可求出，进而求得椭圆的标准方程；（2）先设出直线方程，再和椭圆方程联立，表示出，，然后利用对称性可得到，进而求出直线中的参数，最后可证明直线过定点.(1)由题意可得，，，∴，，∴椭圆C的标准方程：；(2)设，，直线，斜率存在且不为0．代入椭圆方程可得：，，∴，，∵以M为圆心，半径为的圆与椭圆的另一个交点为，∴点B关于x轴的对称点为，∴，即，∴∴，∴，∴，即，∴直线，∴直线过定点．22．已知函数，．(1)求函数在上的最小值；(2)当时，讨论函数的零点个数．【答案】(1)0(2)0个零点【分析】（1）求导函数单调性得函数在上单调递增，进而得最小值；（2）先讨论时得无零点，再研究，结合（1）得，进一步将函数放缩，再研究函数得其无零点，最后综合得答案.(1)解：∵，∴函数在上单调递增，∴，故函数在上的最小值为0；(2)解：当时，，，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，无零点．当时，由（1）知，时，，又，∴，∴，∴，记，则，，；，；∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，综上，函数没有零点，即零点个数为0.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，零点问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得，，进而，再研究函数的零点即可.