2022年北京171中中考数学水平汇报试卷（含答案）

这是一份2022年北京171中中考数学水平汇报试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年北京171中中考数学水平汇报试卷（一）
一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，每题2分）
1．（2分）在国际奥委会和北京冬奥组委2月16日举行的新闻发布会上，国际奥委会电视和营销服务首席执行官兼常务董事蒂莫•卢姆介绍，北京冬奥会是在各种媒体平台上观看人数最多的一届冬奥会，在中国，目前有约为613500000人通过电视观看冬奥会，并且这个数字还会进一步提高．将613500000用科学记数法表示应为（ ）
A．6.135×107 B．61.35×107 C．6.135×108 D．6.135×109
2．（2分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．a＞b B．﹣a＞b C．ab＞0 D．|a|＜|b|
5．（2分）如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（ ）

A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
6．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a3•a2＝a5
C．2a2+4a2＝6a4 D．（a+2b）2＝a2+4b2
7．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
8．（2分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共8道题，每题2分）
9．（2分）使式子有意义的x的取值范围是 ．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合要求的点B的坐标 ．

11．（2分）一个多边形每个外角都是30°，这个多边形的边数是 ．
12．（2分）把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是 ．
13．（2分）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A、B的对应点分别为点A'、B'．若AB＝6，则A'B'的长为 ．

14．（2分）已知：如图，△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，D为AC边上一点，且AD：DC＝1：2，则tan∠DBA＝ ．

15．（2分）已知第一组数据：12，14，16，18的方差为S；第二组数据：2022，2021，2020，2019的方差为S，则S，S的大小关系是S S（填“＞”，“＝”或“＜”）．
16．（2分）小杨将自己2021年7月至2022年2月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：
时间
7月
8月
9月
10月
11月
12月
1月
2月
时长
520
530
540
610
650
660
x
y
其中x+y＝1100．
根据以上信息，推断小杨这八个月的通话时长的中位数可能的最小值为 ，最大值为 ．
三、解答题（17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）
17．（5分）计算：（）﹣1 ﹣+（5﹣π）0 +6tan60°．
18．（5分）解不等式组：，并求该不等式组的整数解．
19．（5分）化简求值：（﹣b）÷，其中a﹣b＝．
20．（5分）下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：△ABC中，AC＞BC．
求作：∠ADB，使得∠ADB＝2∠C．
作法：如图：
①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线MN；
②分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线PQ，MN和PQ交于点D；
③连接AD和BD，
④以点D为圆心，AD的长为半径作⊙D．
所以∠ADB＝2∠C．
根据小菲设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，
∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，
∴CD＝AD＝ ．
∴⊙D是△ABC的外接圆．
∵点C是⊙D上的一点，
∴∠ADB＝2∠C． （ ）（填推理的依据）

21．（5分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0.0
1.0
2.0
3.0
4.8
…
h（米）
1.0
1.75
2.0
1.75
0
…
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．

（2）请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点距离湖面的高度为 米，此时抛物线的解析式为 ．
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的4人平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．求公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（备注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同）
22．（5分）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．

23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣1交于点A（3，m）．
（1）求k的值；
（2）已知点P（n，0）（n＞0），过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝x﹣1于点B，交函数y＝（x＞0）于点C．
①当n＝4时，判断线段PC与BC的数量关系，并说明理由；
②若PC≤BC，结合图象，直接写出n的取值范围．

24．（6分）某防护服生产公司旗下有A、B两个生产车间，为了解A、B两个生产车间工人的日均生产数量，公司领导小组从A、B两个生产车间分别随机抽取了20名工人的日均生产数量x（单位：套），并对数据进行分析整理（数据分为五组：A.25≤x＜35，B.35≤x＜45，C.45≤x＜55，D.55≤x＜65，E.65≤x＜75）．得出了以下部分信息：

A．B两个生产车间工人日均生产数量的平均数、中位数、众数、极差如表：
车间
平均数（个）
中位数（个）
众数（个）
极差
A
54
56
62
42
B
a
b
64
45
“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，其余所有数据的和为807．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上述统计图表中，a＝ ，b＝ ．扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数为 °．
（2）根据以上数据，你认为哪个生产车间情况更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若A生产车间共有200名工人，B生产车间共有180个工人，请估计该公司生产防护服数量在“45≤x＜65”范围的工人数量．
25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O内一点，且BA＝BC，连接BO并延长线交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线CE，且BC平分∠DBE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若⊙O的直径长8，sin∠BCE＝，求BE的长．

26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）．
（1）若y3＝c＞y2，
①该抛物线的对称轴为直线 ．
②与c的大小关系为 c．（填“＞”，“＝”，“＜”）
（2）若y1＜y3＜y2，
①该抛物线的对称轴为x＝t，则t的取值范围为 ．
②若该抛物线还过点D（3，y4），判断命题“当y1y4与y2y3中有一个为负数，另一个必为正数”为 命题（填“真”，“假”），并说明理由．
27．（7分）如图，已知∠MON＝45°，E、F为射线OM上两点，EF的垂直平分线交射线ON于点A，交射线OM于点D，连接AF，过点E作AF的垂线，垂足为B，延长BE交ON的反向延长线于点C．
（1）依题意补全图形，令∠FAD＝α，则∠ACB＝ ．（用α表示）
（2）求证：EC＝AF．
（3）用等式表示线段OC、OA和OF的关系，并证明．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ≤PO＜PQ且PO＜3，我们称点P是线段OQ的“潜点”．
已知点O（0，0），Q（0，2）．
（1）在P1（﹣2，0），P2（，），P3（1，﹣2）中是线段OQ的“潜点”是 ；
（2）若点P在直线y＝﹣x上，且为线段OQ的“潜点”，求点P横坐标的取值范围；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜点”时，直接写出b的取值范围为 ．

2022年北京171中中考数学水平汇报试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，每题2分）
1．（2分）在国际奥委会和北京冬奥组委2月16日举行的新闻发布会上，国际奥委会电视和营销服务首席执行官兼常务董事蒂莫•卢姆介绍，北京冬奥会是在各种媒体平台上观看人数最多的一届冬奥会，在中国，目前有约为613500000人通过电视观看冬奥会，并且这个数字还会进一步提高．将613500000用科学记数法表示应为（ ）
A．6.135×107 B．61.35×107 C．6.135×108 D．6.135×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：613500000＝6.135×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；
B、圆柱的柱视图是矩形，故 B错误；
C、圆台的主视图是梯形，故C错误；
D、球的主视图是圆，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
3．（2分）随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是．
故选：A．
【点评】此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（2分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．a＞b B．﹣a＞b C．ab＞0 D．|a|＜|b|
【分析】根据数轴，有理数的乘法和绝对值的定义可求解．
【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1＜2，
∴|a|＞|b|，﹣a＞b，ab＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用绝对值的定义解决问题是本题的关键．
5．（2分）如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（ ）

A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠ADB＝∠ACB＝45°，然后根据等腰直角三角形的性质求AD的长．
【解答】解：连接BD，如图，

∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝AB，
∵AB的长为10cm，
∴AD＝10（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直径所对的圆周角是90°．
6．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a3•a2＝a5
C．2a2+4a2＝6a4 D．（a+2b）2＝a2+4b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则和完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：A、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
B、a3•a2＝a5，正确；
C、2a2+4a2＝6a2，故此选项错误；
D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算和完全平方公式，正确应用运算法则是解题关键．
7．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
【分析】根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．
【解答】解：∵反比例函数的图象在一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第三象限，
∴y2＜y1＜0．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
8．（2分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分三种情况，AP＝AB，BA＝BP，PA＝PB．
【解答】解：分三种情况，如图：

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，
当BA＝BP时，以B为圆形，BA长为半径画圆，交直线BC于P1，P2两个点，
∵BA＝BP2，∠ABC＝60°，
∴△ABP2是等边三角形，
∴AB＝BP2＝AP2，
当AB＝AP时，以A为圆形，AB长为半径画圆，交直线BC于P2，
当PA＝PB时，作AB的垂直平分线，交直线BC于P2，
综上所述，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，根据题目的已知画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
二、填空题（共8道题，每题2分）
9．（2分）使式子有意义的x的取值范围是 x≥0 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：有意义的x的取值范围是x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合要求的点B的坐标 （0，0）答案不唯一 ．

【分析】连接OA，根据勾股定理可求OA，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B的坐标．
【解答】解：连接OA，
OA＝＝5，
∵B为⊙O内一点，
∴符合要求的点B的坐标（0，0）答案不唯一．
故答案为：（0，0）答案不唯一．

【点评】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长．
11．（2分）一个多边形每个外角都是30°，这个多边形的边数是 12 ．
【分析】利用任何多边形的外角和是360°除以外角度数即可求出答案．
【解答】解：多边形的外角的个数是360÷30＝12，所以多边形的边数是12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
12．（2分）把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是 m（x﹣2y）2 ．
【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝m（x2﹣4xy+4y2）
＝m（x﹣2y）2．
故答案为：m（x﹣2y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13．（2分）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A、B的对应点分别为点A'、B'．若AB＝6，则A'B'的长为 9 ．

【分析】根据位似比的概念解答即可．
【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，
∴＝，
∵AB＝6，
∴A'B'＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是位似图形，掌握位似图形的位似比是对应边的比是解题的关键．
14．（2分）已知：如图，△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，D为AC边上一点，且AD：DC＝1：2，则tan∠DBA＝ ．

【分析】根据等腰直角三角形的定义以及AD：DC＝1：2，可以利用含有AD的代数式表示AC，BC，再根据锐角三角函数进行计算即可．
【解答】解：设AD＝a，则CD＝2a，
∵△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝3a，
在Rt△ABD中，
tan∠DBA＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形，理解锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
15．（2分）已知第一组数据：12，14，16，18的方差为S；第二组数据：2022，2021，2020，2019的方差为S，则S，S的大小关系是S ＞ S（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】根据方差是反映数据波动情况的量进行判断即可．
【解答】解：∵第一组是间隔为2的偶数，第三组数据是相差为1的整数，
∴S12＞S22，
故答案为：＞．
【点评】此题考查了方差的知识，解题时可以直接根据波动情况判断，也可以利用方差公式计算后确定答案，难度不大．
16．（2分）小杨将自己2021年7月至2022年2月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：
时间
7月
8月
9月
10月
11月
12月
1月
2月
时长
520
530
540
610
650
660
x
y
其中x+y＝1100．
根据以上信息，推断小杨这八个月的通话时长的中位数可能的最小值为 550 ，最大值为 575 ．
【分析】根据题意和表格中的数据，可以推断第四位数字和第五位数字和的最小值是1100，最大值是540+610＝1150，从而可以计算出小杨这八个月的通话时长的中位数可能的最小值和最大值．
【解答】解：∵x+y＝1100，即2022年1月至2022年2月，这两个月通话时长的总和为1100分钟，
∴第四位数字和第五位数字和的最小值是1100，最大值是540+610＝1150，
∴小杨这八个月的通话时长的中位数可能的最小值为1100÷2＝550，最大值为1150÷2＝575．
故答案为：550，575．
【点评】本题考查中位数，推断出第四位数字和第五位数字和的最小值和最大值是解答本题的关键．
三、解答题（17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）
17．（5分）计算：（）﹣1 ﹣+（5﹣π）0 +6tan60°．
【分析】根据整数指数幂的运算、立方根以及特殊角的三角函数值运算即可．
【解答】解：（）﹣1 ﹣+（5﹣π）0 +6tan60°
＝
＝2+6．
【点评】本题主要考查实数的运算．用到整数指数幂的运算、立方根以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（5分）解不等式组：，并求该不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集是1≤x＜4，
∴不等式组的整数解是1，2，3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集和不等式组的整数解等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（5分）化简求值：（﹣b）÷，其中a﹣b＝．
【分析】括号内先通分后计算，然后将除法转化为乘法计算，最后将a﹣b整体代入求值．
【解答】解：原式＝
＝
＝2（a﹣b），
当时，
原式＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则．
20．（5分）下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：△ABC中，AC＞BC．
求作：∠ADB，使得∠ADB＝2∠C．
作法：如图：
①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线MN；
②分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线PQ，MN和PQ交于点D；
③连接AD和BD，
④以点D为圆心，AD的长为半径作⊙D．
所以∠ADB＝2∠C．
根据小菲设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，
∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，
∴CD＝AD＝ BD ．
∴⊙D是△ABC的外接圆．
∵点C是⊙D上的一点，
∴∠ADB＝2∠C． （ 一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半 ）（填推理的依据）

【分析】（1）根据小菲设计的尺规作图过程即可补全图形；
（2）根据圆周角定理即可完成证明．
【解答】解：（1）如图，

即为补全的图形；
（2）证明：连接CD，
∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，
∴CD＝AD＝BD．
∴⊙D是△ABC的外接圆．
∵点C是⊙D上的一点，
∴∠ADB＝2∠C．（一条弧所对圆周角是它所对圆心角的一半）．
故答案为：BD；一条弧所对圆周角是它所对圆心角的一半．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
21．（5分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0.0
1.0
2.0
3.0
4.8
…
h（米）
1.0
1.75
2.0
1.75
0
…
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．

（2）请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点距离湖面的高度为 2 米，此时抛物线的解析式为 y＝﹣x2+x+1 ．
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的4人平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．求公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（备注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同）
【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【解答】解：（1）以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

（2）由图象可知水珠最高点距离湖面的高度为2米；
根据图象设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+2
将（0，1）代入y＝a（x﹣2）2+2得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1，
故答案为：2；y＝﹣x2+x+1；
（3）设水枪高度至少向上调节m米，
由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1+m，
当横坐标为2+＝2.8时，纵坐标的值大于等于2+0.5＝2.5，
∴﹣×2.82+2.8+1+m≥2.5，
解得：m≥0.66，
∴水枪高度至少向上调节0.66米
∴水枪高度调节到1.66米以上．
【点评】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
22．（5分）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．

【分析】（1）证明△DAF≌△BCE（ASA），可得AF＝CE，然后根据四边形ABCD是矩形，可得AB＝DC，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）证明∠CAB＝∠DCA，得出AF＝4，可得出∠FAC＝∠DCA，则FC＝AF＝4，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（ASA），
∴AF＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵CE＝4，
∴AF＝4，
∵AC平分∠FAE，
∴∠FAC＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠DCA，
∴FC＝AF＝4，
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，
∴DF＝2，
∴CD＝6．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣1交于点A（3，m）．
（1）求k的值；
（2）已知点P（n，0）（n＞0），过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝x﹣1于点B，交函数y＝（x＞0）于点C．
①当n＝4时，判断线段PC与BC的数量关系，并说明理由；
②若PC≤BC，结合图象，直接写出n的取值范围．

【分析】（1）将A点代入y＝x﹣1中求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值；
（2）①当n＝4时，分别求出B、C两点的坐标即可判断线段PC与BC的数量关系；
②根据图象可求出n的范围．
【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣1，
∴m＝3﹣1＝2，
∴A（3，2），
将A（3，2）代入y＝，
∴k＝3×2＝6；

（2）①当n＝4时，如图，P（4，0），
把x＝4代入y＝x﹣1，得y＝4﹣1＝3，
∴B（4，3），
把x＝4代入y＝，得y＝＝，
∴C（4，），
∴PC＝，BC＝3﹣＝，
∴PC＝BC；

②由图可知，当PC≤BC时，n的取值范围是0＜n≤1或n≥4．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，利用待定系数法求反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．
24．（6分）某防护服生产公司旗下有A、B两个生产车间，为了解A、B两个生产车间工人的日均生产数量，公司领导小组从A、B两个生产车间分别随机抽取了20名工人的日均生产数量x（单位：套），并对数据进行分析整理（数据分为五组：A.25≤x＜35，B.35≤x＜45，C.45≤x＜55，D.55≤x＜65，E.65≤x＜75）．得出了以下部分信息：

A．B两个生产车间工人日均生产数量的平均数、中位数、众数、极差如表：
车间
平均数（个）
中位数（个）
众数（个）
极差
A
54
56
62
42
B
a
b
64
45
“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，其余所有数据的和为807．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上述统计图表中，a＝ 53 ，b＝ 54 ．扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数为 72 °．
（2）根据以上数据，你认为哪个生产车间情况更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若A生产车间共有200名工人，B生产车间共有180个工人，请估计该公司生产防护服数量在“45≤x＜65”范围的工人数量．
【分析】（1）“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，可求出“B生产车间”工人日均生产数量在C组的百分比，进而求出工人日均生产数量在B组的百分比，再根据平均数、中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据中位数、平均数、极差的比较得出答案；
（3）根据两个车间的在“45≤x＜65”范围所占的百分比，通过计算得出答案．
【解答】解：（1）“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，
因此“C组”所占的百分比为5÷20＝25%，“B组”所占的百分比为1﹣25%﹣10%﹣15%﹣30%＝20%，
所以“A组”的频数为：20×10%＝2（人），
“B组”的频数为：20×20%＝4（人），
“C组”的频数为：20×25%＝5（人），
“D组”的频数为：20×30%＝6（人），
“E组”的频数为：20×15%＝3（人），
因此“B车间”20名工人，日生产数量从小到大排列，处在中间位置的两个数的都是54套，
所以中位数是54，
即b＝54，
“B车间”20名工人，日生产数量的平均数为：＝53（套），即a＝53，
360°×20%＝72°，
故答案为：53，54，72；
（2）“A车间”的生产情况较好，理由：“A车间”工人日均生产量的平均数，中位数均比“B车间”的高；
（3）200×+180×（25%+30%）＝199（人），
答：A生产车间200人，B生产车间180人，估计生产防护服数量在“45≤x＜65”范围的工人大约有199人．
【点评】本题考查折线统计图、扇形统计图，理解统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．
25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O内一点，且BA＝BC，连接BO并延长线交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线CE，且BC平分∠DBE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若⊙O的直径长8，sin∠BCE＝，求BE的长．

【分析】（1）先利用等腰三角形的性质得到BD⊥AC，利用切线的直线得CE⊥AC，则CE∥BD，然后证明∠1＝∠3得到BE＝CE；
（2）作EF⊥BC于F，如图，在Rt△OBC中利用正弦定义得到BC＝5，所以BF＝BC＝，然后在Rt△BEF中通过解直角三角形可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵BA＝BC，AO＝CO，
∴BD⊥AC，
∵CE是⊙O的切线，
∴CE⊥AC，
∴CE∥BD，
∴∠1＝∠2．
∵BC平分∠DBE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴BE＝CE；
（2）解：作EF⊥BC于F，如图，
∵⊙O 的直径长8，
∴CO＝4．
∴sin∠3＝sin∠1＝＝，
∴BC＝5，
∵BE＝CE，
∴BF＝BC＝，
在Rt△BEF中，sin∠3＝sin∠1＝＝
设EF＝4x，则BE＝5x，
∴BF＝3x，即3x＝，解得x＝，
∴BE＝5x＝．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了解直角三角形．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）．
（1）若y3＝c＞y2，
①该抛物线的对称轴为直线 x＝1 ．
②与c的大小关系为 ＞ c．（填“＞”，“＝”，“＜”）
（2）若y1＜y3＜y2，
①该抛物线的对称轴为x＝t，则t的取值范围为 ＜t＜ ．
②若该抛物线还过点D（3，y4），判断命题“当y1y4与y2y3中有一个为负数，另一个必为正数”为 真 命题（填“真”，“假”），并说明理由．
【分析】（1）①由抛物线经过（0，c），（2，c）求解．②根据y3＝c＞y2可判断抛物线开口向上，分别将A，B代入解析式求解．
（2）①分别求出当y1＝y3时和当y2＝y3时t的值，进而求解．②分类讨论当y2y3为负数或当y1y4为负数，结合抛物线开口向下求解．
【解答】解：（1）①∵y＝ax2+bx+c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∵抛物线经过（2，c），
∴抛物线对称轴为直线x＝1．
故答案为：x＝1．
②∵y3＝c＞y2，
∴抛物线开口向上，即a＞0，
把（﹣1，y1）代入y＝ax2+bx+c得y1＝a﹣b+c，
把（1，y2）代入y＝ax2+bx+c得y2＝a+b+c，
∴＝＝a+c＞c，
故答案为：＞．
（2）①当y2＝y3时，抛物线对称轴为直线x＝＝，
若a＜0，抛物线开口向下，
当y1＝y3时，抛物线对称轴为直线x＝＝，
∴＜t＜满足题意，
若a＞0，抛物线开口向上，不满足题意．
故答案为：＜t＜．
②∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
当y1y4为负数时，点A，D在x轴上下两侧，
若y1＞0，则0＜y1＜y3＜y2，
∴y2y3为正数，
若y4＞0，则0＜y4＜y3＜y2，
∴y2y3为正数，
当y2y3为负数时，
由y1＜y3＜y2可得y1＜y3＜0＜y2，
∵2﹣t＜3﹣t，
∴y4＜y3＜0，
∴y1y4为正数．
故答案为：真．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（7分）如图，已知∠MON＝45°，E、F为射线OM上两点，EF的垂直平分线交射线ON于点A，交射线OM于点D，连接AF，过点E作AF的垂线，垂足为B，延长BE交ON的反向延长线于点C．
（1）依题意补全图形，令∠FAD＝α，则∠ACB＝ 45°﹣α ．（用α表示）
（2）求证：EC＝AF．
（3）用等式表示线段OC、OA和OF的关系，并证明．

【分析】（1）由EF的垂直平分线交射线ON于点A，得∠ODA＝90°，因为∠MON＝45°，所以∠DOA＝∠DAO＝45°，CB⊥AF于点B得∠ABC＝90°，则∠ACB＝90﹣∠CAB＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，得到问题的答案；
（2）连接AE，由AD垂直平分EF得AE＝AF，所以∠EAD＝∠FAD＝α，则∠CAE＝∠ACB＝45°﹣α，所以EC＝AE＝AF；
（3）作CG⊥OM交MO的延长线于点G，则∠G＝∠ADF＝∠EGF＝90°，可证明OG＝CG，则OC＝CG，再证明△CEG≌△FAD，得CG＝FD，所以OC＝FD，由AD＝OD，∠ODA＝90°得OA＝OD，于是得OC+OA＝FD+OD＝OF．
【解答】（1）解：如图1，∵EF的垂直平分线交射线ON于点A，
∴∠ODA＝90°，
∵∠MON＝45°，
∴∠DOA＝∠DAO＝45°，
∵CB⊥AF于点B，
∴∠ABC＝90°，
∵∠FAD＝α，
∴∠CAB＝∠DAO+∠FAD＝45°+α，
∴∠ACB＝90﹣∠CAB＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
故答案为：45°﹣α．
（2）证明1：如图1，连接AE，
∵AD垂直平分EF，
∴AE＝AF，AD⊥EF，
∴∠EAD＝∠FAD＝α，
∴∠CAE＝∠DAO﹣∠EAD＝45°﹣α，
∵∠ACB＝45°﹣α，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴EC＝AE，
∴EC＝AF．
（3）OC+OA＝OF，
证明：如图2，作CG⊥OM交MO的延长线于点G，则∠G＝∠ADF＝∠EGF＝90°，
∵∠GOC＝∠DOA＝45°，
∴∠BCO＝∠GOC＝45°，
∴OG＝CG，
∴OC2＝OG2+CG2＝2CG2，
∴OC＝CG，
∵∠CEG＝∠FEB＝90°﹣∠EFA，∠FAD＝90°﹣∠EFA，
∴∠CEG＝∠FAD，
在△CEG和△FAD中，
，
∴△CEG≌△FAD（AAS），
∴CG＝FD，
∴OC＝FD，
∵AD＝OD，∠ODA＝90°，
∴OA2＝AD2+OD2＝2OD2，
∴OA＝OD，
∴OC+OA＝FD+OD＝（FD+OD）＝OF．


【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ≤PO＜PQ且PO＜3，我们称点P是线段OQ的“潜点”．
已知点O（0，0），Q（0，2）．
（1）在P1（﹣2，0），P2（，），P3（1，﹣2）中是线段OQ的“潜点”是 P1、P3 ；
（2）若点P在直线y＝﹣x上，且为线段OQ的“潜点”，求点P横坐标的取值范围；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜点”时，直接写出b的取值范围为 ﹣2≤b＜﹣6或2≤b＜2+1 ．
【分析】（1）在坐标系中找到三点，根据坐标系中两点间的距离可直接得出结论；
（2）经分析可知，点P在以O为圆心，半径为2的圆上或圆外，且在线段OQ垂直平分线的下方，点P在以O为圆心，3为半径的圆内，画出P点的范围，找到范围内符合题意的点P即可求解；
（3）根据点N的运动，可找到临界状态，画出图形，求出对应的b的值即可．
【解答】解：（1）在坐标系中找到P1（﹣2，0），P2（，），P3（1，﹣2）三点，如下图：

根据“潜力点”的定义，可知P1、P3是线段OQ的潜力点，
故答案为：P1、P3；
（2）∵点P为线段OQ的“潜力点”，
∴OQ≤PO＜PQ且PO＜3，
∴点P在以O为圆心，半径为2的圆上或圆外，且点P在以O为圆心，3为半径的圆内，且在线段OQ垂直平分线的下方，

又∵点P在直线y＝﹣x上，
∴点P在如图所示的线段AB上（不包括B点），
由题知，△BOD和△AOC是等腰直角三角形，
∴AC＝OA＝，BD＝OB＝，
∴点P横坐标的取值范围≤xP＜；
（3）由（2）知，P点在以O为圆心，半径为2的圆上或圆外，且点P在以O为圆心，3为半径的圆内，且在线段OQ垂直平分线的下方，
∵P点在直线y＝x+b上，
即如下图所示，b≤0时，直线y＝x+b在两虚线之间时存在符合题意的P点，

当x＝0时，y＝b，
∴N（0，b），
当潜力点P和N点重合时，即P点坐标为（0，b），
∴|OP|＝＝＝2，
由图知，此时b＝﹣2，
即b≤﹣2，
当潜力点P'为直线y＝x+b'的切点时，
∵P'点在直线y＝x+b'上，OP'＝3，
∴P'（，﹣），
即b'＝﹣，
解得b'＝﹣6，
即b＜﹣6，
∴此时﹣2≤b＜﹣6；
当b＞0时，如下图，直线y＝x+b在两虚线之间时存在符合题意的P点，

当M点坐标为（﹣2，0）时，
此时﹣2×+b＝0，
即b＝2，
∴b≥2，
当直线y＝x+b'过点P'时，
此时OP'＝3，且P点的纵坐标为1，
∴P'（﹣2，1），
∴﹣2×+b'＝1，
即b＝1+2，
此时2≤b＜2+1；
综上，b的取值范围为﹣2≤b＜﹣6或2≤b＜2+1，
故答案为：﹣2≤b＜﹣6或2≤b＜2+1．
【点评】本题主要考查一次函数的综合题，涉及两点之间距离，“潜力点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．