2022年宁夏中卫市中宁县中考数学第三次联考试卷（含解析）

2022年宁夏中卫市中宁县中考数学第三次联考试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 已知在中，，，则的度数是

A.  B.  C.  D.

2. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，平移后所得抛物线的解析式为

A.  B.
C.  D.

3. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是

A. 图像位于第一、第三象限 B. 图像必经过点
C. 图像不可能与坐标轴相交 D. 随的增大而减小

4. 如图，是的直径，，是上的两点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 已知圆内接正六边形的半径为，则该内接正六边形的边心距为

A.  B.  C.  D.

6. 如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体，现将第个小正方体摆放在、、某个位置，下面说法有误的是

A. 放在前面主视图不改变
B. 放在前面俯视图不改变
C. 放在前面主视图不改变
D. 放在左面左视图不改变
 

7. 同一坐标系中，反比例函数与二次函数的图象可能为

A.  B.
C.  D.

8. 如图，为的半径，与切于点，与射线交于点若，，则图中阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 如图，中，，，，则的值为______．
    

10. 二次函数的顶点坐标是______ ．
11. 如图所示，为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为______．
    
     

12. 如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数是______．
    
    
     

13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
14. 如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中的圆心为点，若，则该莱洛三角形的周长是______ ．
    
    
     

15. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则与的周长比为______．
16. 已知二次函数的图象如图．则有以下个结论：；；；当时，；；其中正确的结论有：______写出你认为正确的序号即可
    
     

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）

17. 计算：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，是的高，，，，求的长．
     

19. 某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：器乐，舞蹈，朗诵，唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
    
    请结合图中所给信息，解答下列问题
    本次调查的学生共有______人；
    补全条形统计图；
    七年级一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，已知点是▱中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，．
    求证：四边形为矩形；
    若是等边三角形，且边长为，求四边形的面积．

21. 如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．
    求证：是的切线；
    求线段的长度．
     

22. 年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件元的商品，按单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．

求该商品每天的销售量件与销售单价元之间的函数关系式；
销售单价定为多少元时，每天的销售利润为元？
销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润元最大？最大利润是多少元？






 

23. 如图，在中，，以为直径作，交于点，连接，过点作的切线交于点，交的延长线于点．
    求证：．
    如果的半径为，，求的长．

24. 已知二次函数的图象与直线相交于点和点，点在轴上，点在轴上，抛物线的顶点为．
    求这个二次函数的解析式；
    求的面积．

25. 新定义：如图图，图，在中，把边绕点顺时针旋转，把边绕点逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．
    
    【特例感知】
    若是等边三角形如图，，则______；
    若如图，，______；
    【猜想论证】
    在图中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形
    【拓展应用】
    如图，点，，，都在半径为的圆上，且与不平行，，是的“旋补三角形”，点是“旋补中心”，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
26. 在矩形中，，，是上的任意一点与、不重合，过点作，垂足为，交于点．
    连接，当与全等时，求的长；
    若设为，为，试确定与的函数关系式．当取何值时，的值最大？最大值是多少？
    若，试求出此时的长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
，
，
故选：．
根据特殊角的三角函数值求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记的正切值为是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：，
原抛物线顶点坐标为，
向左平移个单位，再向上平移个单位，
平移后的抛物线顶点坐标为，
所得抛物线解析式为，
故选：．
根据顶点式求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便．
 

3.【答案】

【解析】

解：，
图象位于第一、第三象限，
故A正确，不符合题意；
B.，
图象必经过点，
故B正确，不符合题意；
C.，
，
图象不可能与坐标轴相交，
故C正确，不符合题意；
D.，
在每一个象限内，随的增大而减小，
故D错误，符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：是直径，
，
，
，
故选：．
利用圆周角定理求出，再利用三角形内角和定理求解即可．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
 

5.【答案】

【解析】

解：连接，作于，得到，，
则，
因而，
正六边形的边心距是．
故选：．
构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：放在前面主视图不改变，说法正确，故本选项不合题意；
B.放在前面俯视图发生变化，底层由原来的一个小正方形变为两个小正方形，原说法错误，故本选项符合题意；
C.放在前面主视图不改变，说法正确，故本选项不合题意；
D.放在左面左视图不改变，说法正确，故本选项不合题意；
故选：．
分别将第个小正方体摆放在、、某个位置，得出其三视图，依此即可作出判断．
本题考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：分两种情况讨论：
当时，反比例函数在二、四象限，而二次函数开口向下与轴交点在原点上方，符合；
当时，反比例函数在一、三象限，而二次函数开口向上，与轴交点在原点下方，都不符合．
故它们在同一直角坐标系中的图象大致是．
故选：．
根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点，熟练掌握函数图象的特点是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：连接，
与切于点，
，
，
，
，
，，
阴影部分的面积，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，由三角形和扇形的面积公式即可得到答案．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．关键是根据扇形的面积公式和含度的直角三角形三边的关系解答．
 

9.【答案】

【解析】

解：，，，
，
，
故答案为：．
先利用勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：
，
二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
把二次函数化为顶点式可求得答案．
本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式方程是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：由于点是反比例函数图象上一点，则；
又由于函数图象位于一、三象限，则．
故答案为．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

12.【答案】

【解析】

解：四边形为菱形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为的内接四边形，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

14.【答案】

【解析】

解：图中所在的圆的半径，相应的圆心角的度数为，
的长为，
该莱洛三角形的周长是，
故答案为：．
求出的长，再乘以即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是正确计算的前提，求出半径和相应的圆心角度数是正确解答的关键．
 

15.【答案】

：
 

【解析】

解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
与的周长比：：，
故答案为：：．
根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再证明字模型相似三角形∽，然后根据相似三角形的性质即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：抛物线开口向下，
，
正确．
抛物线与轴有两个交点，
，
错误．
抛物线对称轴为，
，
正确．
由抛物线的对称性知抛物线与轴正半轴的交点横坐标大于，
抛物线开口向下，
当时，，
正确．
当时，，
．
错误．
故答案为：．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握，，对抛物线的决定作用是求解本题的关键．
 

17.【答案】

解：原式
；
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
 

【解析】

原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
方程移项后，利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】

解：在中，，
，，
，
．
．
在中，
，
，
，
，
．
 

【解析】

在直角三角形中，根据边角关系先求出、，再在直角三角形中，求出的长．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

19.【答案】

【解析】

解：本次调查的学生共有：人；
故答案为：；
喜欢类项目的人数有：人，
补全条形统计图如图所示：
画树形图如图所示：
共有种情况，
被选取的两人恰好是甲和乙有种情况，
则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
根据项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；
用总人数减去、、项目的人数，求出项目的人数，从而补全统计图；
根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】

证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是▱中边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形；
解：由得：四边形为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形的面积．
 

【解析】

证≌，得，再由，证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
由矩形的性质得，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】

证明：连接，

是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，，
是的中位线，
，，
，

，
由勾股定理得：，
在中，，
线段的长为．
 

【解析】

连接，根据等边三角形及圆性质求出，再由，推出，根据切线的判定推出即可；
由，，可求得，，的长度，再根据中位线性质求出的长度，根据勾股定理即可求得的长．
本题考查了切线的判定方法，利用勾股定理求线段的长度等知识点，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”是解决线段长度的关键．
 

22.【答案】

解：设该商品每天的销售量件与销售单价元之间的函数关系式为，
将点、代入一次函数关系式得：
，
解得：．
函数关系式为；
由题意得：，
整理得：，
解得：，．
单价不低于成本价，且不高于元销售，
不符合题意，舍去．
销售单价定为元时，每天的销售利润为元；
由题意得：

，
，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，此时．
销售单价定为元时，才能使销售该商品每天获得的利润元最大，最大利润是元．
 

【解析】

设该商品每天的销售量件与销售单价元之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
根据每件的利润乘以销售量等于利润元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于元销售，可得符合题意的答案；
根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】

证明：连接，如图，
为的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
；
解：，而，
，
在中，，
，
，
∽，
，即，
．
 

【解析】

连接，为的直径得，由，根据等腰三角形性质得平分，根据平行线的性质和切线的性质即可得到结论；
在中，利用解直角三角形的方法可计算出，在中可计算出，然后由，得∽，再利用相似比可计算出．
本题考查了切线的性质定理，也考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】

解：当时，，
，
当时，，
，
，
把和代入二次函数中得：，
解得：，
这个二次函数的解析式为：．
，
，
过点做垂直于轴，交于，则，
，
．
 

【解析】

直线中，分别令和可得点和的坐标，将点和的坐标分别代入抛物线的解析式中列方程组，解出即可；
过点做垂直于轴，交直线与点，求得顶点坐标，即可求得的坐标，然后根据求得即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

25.【答案】

【解析】

解：是等边三角形，，
，，
，．
为等腰的中线，
，，
．
在中，，，，
．
，
．
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：；；

．
证明：在图中，过点作，且，连接、，则四边形为平行四边形．
，，
．
在和中，
，
≌，
．
，
；

在图中，过点作于点．
，
为的中位线，
．
在中，，，，
，
．
根据等边三角形的性质可得出、，结合“旋补三角形”的定义可得出、，利用等腰三角形的三线合一可得出，通过解直角三角形可求出的长度；
由“旋补三角形”的定义可得出、、，进而可得出≌，根据全等三角形的性质可得出，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长度；
，过点作，且，连接、，则四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出、、，进而可证出≌，根据全等三角形的性质可得出，由平行四边形的对角线互相平分即可证出；
过点作于点，由的结论可求出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，进而可求出的长度．
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：利用解含角的直角三角形求出；牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分找出；利用的结论结合勾股定理求出的长度．
 

26.【答案】

解：≌已知，已知，
全等三角形的对应边相等；
在中，勾股定理；

已知，
，
，
又，
∽，
即相似三角形的对应边成比例，

当时，有最大值，最大值是；

如图，连接设，
，
∽，
相似三角形的对应边成比例，
即
化简得，
解得，，不合题意，舍去，
．
 

【解析】

根据全等三角形的对应边相等知；然后在中利用勾股定理可以求得的长度；
根据相似三角形∽的对应边成比例列出关于、的方程，通过二次函数的最值的求法来求的最大值；
如图，连接利用中的函数关系式设，则，然后根据相似三角形∽的对应边成比例列出关于的一元二次方程，通过解该方程即可求得此时的长度．
本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点．本题中求二次函数的最值时，采用了配方法．