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2022南通新高考基地学校高三下学期第四次大联考试题数学含解析
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2022届高三基地学校第四次大联考
数 学
本试卷共6页,22小题,满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|>0},B={-2,-1,1,2},则
A.{-1,1} B.{-2,-1} C.{-2,-1,1} D.{-2,-1,1,2}
2.已知复数z满足(1-i)z=1+2i,则z在复平面内对应的点所在的象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,经过点F且斜率为1的直线与C交于A,B两点.若△OAB(O为坐标原点)的面积为3,则p=
A. B. C.1 D.2
4.我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题:“今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?”意思是:“某人赠与若干人钱,第一人赠与3钱,第二人赠与4钱,第三人赠与5钱,继续依次递增1钱赠与其他人,若将所赠钱数加起来再平均分配,则每人得100钱,问一共赠钱给多少人?”在上述问题中,获得赠与的人数为
A.191 B.193 C.195 D.197
5.已知,则
A. B. C. D.
6.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取极小值,且f(x)的极大值为4,则b=
A.-1 B.2 C.-3 D.4
7.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2,P是上底面A1B1C1D1的边界上一点.若的最小值为,则该正四棱台的体积为
A. B.3 C. D.1
8.北京冬奥会火种台(图1)以“承天载物”为设计理念,创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型,基座沉稳,象征“地载万物”,顶部舒展开阔,寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2,一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面,浮高50cm,上口直径为cm,底座直径为25cm,最小直径为20cm,则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.一组样本数据x1,x2,…,xn的平均数为(≠0),标准差为s.另一组样本数据xn+1,xn+2,…,x2n的平均数为3,标准差为s.两组数据合成一组新数据x1,x2,…,xn,xn+1,xn+2,…,x2n,新数据的平均数为,标准差为s′,则
A.>2 B.=2 C.s′>s D.s′=s
10.已知P是圆O:x2+y2=4上的动点,直线l1:xcosθ+ysinθ=4与l2:xsinθ-ycosθ=1交于点Q,则
A.l1⊥l2 B.直线l1与圆O相切
C.直线l2与圆O截得弦长为 D.|PQ|长最大值为
11.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边为1,侧棱长为a,M是CC1的中点,则
A.任意a>0,A1M⊥BD
B.存在a>0,直线A1C1与直线BM相交
C.平面A1BM与底面A1B1C1D1交线长为定值
D.当a=2时,三棱锥B1-A1BM外接球表面积为3π
12.已知定义在R上的函数f′(x)的图象连续不间断,当x≥0时,f(1+x)=2f(1-x),且当x>0时,f′(1+x)+f′(1-x)<0,则下列说法正确的是
A.f(1)=0
B.f(x)在(-∞,1]上单调递减
C.若x1<x2,f(x1)<f(x2),则x1+x2<2
D.若x1,x2是g(x)=f(x)-cosπx的两个零点,且x1<x2,则
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某校举行“三人制”校园篮球比赛,共有8支代表队报名参加比赛,比赛规则是先抽签随机分成两组,每组4支队伍.则甲、乙两支队伍分在不同小组的概率为.
14.已知f(x)=2sin(ωx+φ),试写出一个满足条件①②③的ω=.
①ω>1;(2);③f(π)=0.
15.若ex-ey=e,x,y∈R,则2x-y的最小值为.
16.德国数学家康托尔是集合论的创始人,以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下:第一次操作,将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后,保留靠角的4个,删去其余5个;第二次操作,将第一次剩余的每个小正方形继续9等分,并保留每个小正方形靠角的4个,其余正方形删去;以此方法继续下去…….经过n次操作后,共删去个小正方形;若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过,则至少需要操作次.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知数列{an}是公差不为零的等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,a1=2b1=2,a3b3=2a7b5=1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=,求数列的前10项的和S10.
注:[x]表示不超过x的最大整数.
18.(12分)
某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类,最大横切面直径不小于70毫米则大小达标,着色度不低于90%则色泽达标,大小和色泽均达标的苹果为一级果;大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果;两项均不达标的苹果为三级果.
已知该经营户购进一批苹果,从中随机抽取100个进行检验,得到如下统计表格:
| 直径小于70毫米 | 直径不小于70毫米 | 合计 |
着色度低于90% | 10 | 15 | 25 |
着色度不低于90% | 15 | 60 | 75 |
合计 | 25 | 75 | 100 |
(1)根据以上数据,判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关;
(2)该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果,再从中随机抽取3个,求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望.
附:
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
K2=,其中n=a+b+c+d.
19.(12分)
在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,a=1,bcosA+cosB=2b.
(1)证明:c=2b;
(2)求△ABC的面积的最大值.
20.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB//CD,AD⊥CD,CD=2AB=4,△PAD是正三角形,PB=BC,E是棱PD的中点.
(1)证明:面PAD⊥平面ABCD;
(2)若二面角E-AC-D的大小为45°,求△PAD的边长.
21.(12分)
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,A1,A2是C的上、下顶点,且|A1A2|=2.过点P(0,2)的直线l交C于B,D两点(异于A1,A2),直线A1B与A2D交于点Q.
(1)求C的方程;
(2)证明:点Q的纵坐标为定值.
22.(12分)
已知函数f(x)=xa-alnx-b(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间
(2)若a>0,b>1,证明:f(x)存在两个零点x1,x2,且x1a+x2a>2.
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