江苏省新高考基地学校2022届高三第一次大联考数学试题

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x(x－2)≤0}，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∪B＝
A．[－1，0] B．[0，1] C．[－1，2] D．[1，2]
2．已知复数z满足(z－3)(1＋i)＝1－i，|z|＝
A．eq \r(,2) B．eq \r(,3) C．eq \r(,5) D．eq \r(,10)
3．已知直线eq l\s\d(1)：eq (3＋m)x＋4y＝5－3m，l\s\d(2)：2x＋(5＋m)y＝8，则“eq l\s\d(1)∥l\s\d(2)”是“m＝－7”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形梯形的高为eq 2\r(,2)，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为
A．eq \f(14\r(,2),3) B．eq \f(28,3) C．eq \f(28\r(,2),3) D．eq \f(52,3)
5．关于函数y＝sin(2x＋φ)(φ∈R)有如下四个命题：
甲：该函数在(eq －\f(π,3)，\f(π,6))上单调递增；
乙：该函数图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度得到一个奇函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为eq x＝－\f(5π,6)；
丁：该函数图像的一个对称中心为eq (\f(π,12)，0)．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知函数eq f(x)＝ln\f(1－x,1＋x)＋2，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)＞4的解集为
A．eq (0，\f(1,4)) B．eq (\f(1,4)，\f(1,2)) C．eq (－，\f(1,4)) D．(eq \f(1,4)，＋)
7．若EQ \R(,3)eq sinα＋csα＝\f(\r(,2),3)，则eq cs(\f(2π,3)－2α)＝
A．eq －\f(8,9) B．eq \f(8,9) C．eq －\f(17,18) D．eq \f(17,18)
8．设k＞0，若不等式eq klg\s\d(3)(kx)－3\s\up6(x)≤0 在x＞0时恒成立，则k的最大值为
A．e B．eln3 C．lg3e D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知x，y∈R，且eq \f(1,x)＜\f(1,y)＜0，则
A．x－y＞0 B．sinx－siny＞0 C．eq 2\s\up6(x)－2\s\up6(y)＞0 D．eq \f(y,x)＋\f(x,y)＞2
10．设数列eq {a\s\d(n)}的前n项和为eq S\s\d(n)，若eq a\s\d(n)与eq S\s\d(n)的等差中项为常数t，则
A．数列eq {a\s\d(n)}是等比数列 B．eq a\s\d(n＋2)a\s\d(n)≥0
C．数列eq {\f(1,a\s\d(n))}是递增数列 D．当且仅当t＜0时，数列{(n＋1)eq a\s\d(n)}eqa\s\d(n)是递增数列
11．若直线eq y＝\f(1,2)x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)可以是
A．eq f(x)＝x\s\up6(3)＋2x\s\up6(2)＋8 B．f(x)＝tanx C．eq f(x)＝xe\s\up6(x) D．eq f(x)＝ln\f(1,2x＋1)
12．设m∈R，直线mx－y－3m＋1＝0与直线x＋my－3m－1＝0相交于点P(x，y)，线段AB是圆C：eq (x＋2)\s\up6(2)＋(y＋1)\s\up6(2)＝4的一条动弦，Q为弦AB的中点，eq |AB|＝2\r(,3)，下列说法正确的是
A．点P在定圆eq (x－2\s\up6(2)＋(y－2)\s\up6(2)＝8 B．点P在圆C外
C．线段PQ长的最大值为eq 6＋\r(,2) D．eq \\ac(\S\UP7(→),PA)·\\ac(\S\UP7(→),PB)的最小值为eq 15－8\r(,2)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a，b满足|a|＝eq 2，b＝(1，2\r(,2))，|a＋b|＝\r(,19)，则a，b的夹角为 ．
14．写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝ ．
①f(x)＝－f(1＋x)；②f′(x)是偶函数．
15．某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气经过严格过滤后排放，己知过滤过程中废气的剩余污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系式为eq P＝P\s\d(0)e\s\up6(－kt)其中eq P\s\d(0)为废气中原污染物总量，k为常数．若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过5%，过滤开始后需要经过n小时，则k＝ ，正整数n的最小值为 ．
(参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609)
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝x，AC与BD交于点O，将△ACD沿直线AC翻折，形成三棱锥D－ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得OB⊥AD，则x的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
已知等差数列eq {a\s\d(n)}满足eq a\s\d(n)＋a\s\d(n＋1)＝4n，n∈N*．
(1)求eq {a\s\d(n)}的通项公式；
(2)设eq b\s\d(1)＝1，b\s\d(n＋1)＝\B\lc\{(\a\al(a\s\d(n)，n为奇数，,－b\s\d(n)＋2\s\up6(n)，n为偶数，))求数列eq {b\s\d(n)}的前2n项和eq S\s\d(2n)．
18．(12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且满足(a＋2b)csC＋ccsA＝0．
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值．
19．(12分)
已知函数eq f(x)＝1－\f(a,5\s\up6(x)＋1)为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若存在m∈[－1，1]，使得不等式eq f(x\s\up6(2))＋f(mx－2)≤2－x\s\up6(2)－mx成立，求x的取值范围．
20．(12分)
如图，在正三棱柱ABCeq －A\s\d(1)B\s\d(1)C\s\d(1)中，AA1＝3，AB＝2，D，E分别是AC，BB1的中点．
(1)证明：BD//平面A1CE；
(2)求二面角A－EA1－C的余弦值．
21．(12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(4，0)，点M满足eq \f(|MA|,|MB|)＝\f(1,2)．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设圆C2：eq x\s\up6(2)＋y\s\up6(2)－8x＋15＝0，若直线l交曲线C于P，Q两点，l交圆C1于R，S两点，且eq PQ|＝2|RS|，证明：直线l过定点．
22．(12分)
已知函数eq f(x)＝e\s\up6(x)－e\s\up6(－x)－ax，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＜eq (2－a)(e\s\up6(x\s\d(1))－e\s\up6(x\s\d(2)))．