常州市武进区2022年中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份常州市武进区2022年中考数学模拟试卷（含解析），共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

常州市武进区2022年中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. -2022的绝对值是（）
A. 2022 B. -2022 C. D.
2. 下列计算结果正确的是（）
A. B.
C. D.
3. 下列几何体中，三棱锥是（）
A. B. C. D.
4. 根据有关基础资料和国民经济核算方法，我国年国内生产总值简称达到元，这个数据用科学记数法表示正确的是（）
A. B. C. D.
5. 如图所示，直线，有一块直角三角板的三个顶点刚好落在三条直线上，若，则的度数是（）
A. B. C. D.

6. 如图，中，，，，点、、分别是、、的中点，则四边形的周长是（）
A. B. C. D.
7. 抛物线上有三个点A、、，其横坐标分别为、、，则的面积为（）
A. B. C. D.
8. 如图所示，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数上的图象在第一象限的分支交于点，交于点，连接并延长交轴于点，连接，若，则的值是（）

A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9_________．
10计算：______．
11. 分解因式：＝______．
12. 点A、B在数轴上对应的数分别为﹣3和2，则线段AB的长度为_______．
13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__.
14. 用圆心角为，半径为的扇形作圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为____．
15. 已知一组数﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，则这组数据的方差是_____．
16. 如图，直线与相切于点，且，则______．

17. 城市停车问题突出，为了解决这一问题，某小区在一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长，宽，矩形停车位与道路成角，则在这一路段边上最多可以划出______个车位．参考数据：，，

18. 如图，矩形中，，，点是矩形对角线上的动点，连接，过点作交所在直线与点，以、为边作矩形，当时，则长为______．

三、计算题（本大题共2小题，共10分）
19. 计算：．
20. 解方程和不等式组：
（1）； （2）．
四、解答题（本大题共8小题，共56分）
22. 已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．

（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
24. 为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高单位：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．

（1）填空：样本容量为______，______；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率．
26. 某校举行校园艺术节，九年级参加了班级歌咏比赛，歌曲有：少年，逆光，隐形的翅膀分别用字母A，，依次表示这三首歌曲比赛前，将A，，这三个字母分别写在张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九（1）班先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九（2）班从中随机抽取一张卡片，进行比赛．
（1）九（1）班抽中歌曲少年概率是______；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的概率．
28. 秉承“绿水青山就是金山银山”理念，发展乡村振兴特色旅游，某乡镇购买甲、乙两种树苗对旅游道路进行绿化，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的倍少棵，购买两种树苗的总金额为元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，乡镇决定再购买甲、乙两种树苗共棵，总费用不超过元，则甲种树苗最多可以买多少棵？
30. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．

（1）求、的值；
（2）若点为射线上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点若，求的值．
32. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点．

（1）直接写出点A、、的坐标；
（2）在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接．
①当时，求直线的函数表达式；
②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标．
34. 在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”
（1）下列图形中两个三角形不“共边全等”是_______；

（2）如图1，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E、F分别在、边上，满足和为“共边全等”，求的长；

（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与直线、x轴相交于A、B两点，点C是的中点，P、Q在的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．
35如图，抛物线经过点、．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为，与轴相交于点，连接、、、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图，连接，与相交于点，点是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点，使得，且？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.






一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. -2022的绝对值是（）
A. 2022 B. -2022 C. D.
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】数轴上表示数的点与原点的距离是数的绝对值，根据定义直接求解即可.
【详解】解：-2022的绝对值是
故选A
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，掌握“利用绝对值的含义求解一个数的绝对值”是解本题的关键.
2. 下列计算结果正确的是（）
A. B.
C. D.
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】用同底数幂的乘法法则、合并同类项的法则、幂的乘方法则分别进行判断即可．
【详解】解：解：A．，故选项正确，符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3. 下列几何体中，三棱锥是（）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据三棱锥的形态特征进行判断即可．
【详解】解：选项A中的几何体是长方体，因此选项A不符合题意；
选项B中的几何体是四棱锥，因此选项B不符合题意；
选项C中的几何体是三棱锥，因此选项C符合题意；
选项D中的几何体是三棱柱，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握棱锥的形态特征是正确判断的前提．
4. 根据有关基础资料和国民经济核算方法，我国年国内生产总值简称达到元，这个数据用科学记数法表示正确的是（）
A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
5. 如图所示，直线，有一块直角三角板的三个顶点刚好落在三条直线上，若，则的度数是（）

A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可知，进而可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图所示：

，
．
．
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形熟练运用平行线的性质进行角的转化和计算．
6. 如图，中，，，，点、、分别是、、的中点，则四边形的周长是（）

A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中位线和四边形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：点、、分别是、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
四边形的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理．
7. 抛物线上有三个点A、、，其横坐标分别为、、，则的面积为（）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】把横坐标代入抛物线解析式，可得相应的纵坐标；设出直线的解析式，把A，两点代入，即可求得直线的解析式，作轴，交直线于点，可得的长度，根据的面积为和的面积的和，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：抛物线上有三个点、、，其横坐标分别、、，

，，，
设直线的解析式为，则有，
解得：，，，
过点B作轴，交AC于点D，
的长为，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是根据三角形面积公式得到．
8. 如图所示，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数上的图象在第一象限的分支交于点，交于点，连接并延长交轴于点，连接，若，则的值是（）

A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】设点的坐标为，得到P（，），，利用待定系数法求出直线解析式为，得出点的坐标，进而可证出，因为四边形是矩形，证得四边形是平行四边形，所以，由此可得出结论，
【详解】解：如图，设点的坐标为，

四边形为矩形，
，，
点，在反比例函数图形上，
，，
直线解析式为，
令，代入得，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
故选：D．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形和平行四边形的面积，平行四边形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形是平行四边形是解本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9_________．
【9题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂的运算性质直接求出答案即可.
【详解】解：＝＝
故答案为
【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，解答本题的关键是掌握负整数指数幂的运算性质.
10. 计算：______．
【10题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据合并同类项法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟知合并同类项法则并准确计算．
11. 分解因式：＝______．
【11题答案】
【答案】##
【解析】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式继续进行因式分解．
【详解】解：
＝
＝．
故答案是：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12. 点A、B在数轴上对应的数分别为﹣3和2，则线段AB的长度为_______．
【12题答案】
【答案】5
【解析】
【分析】根据数轴上的两点距离可直接进行求解．
【详解】解：∵点A、B在数轴上对应的数分别为﹣3和2，
∴；
故答案为5．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，熟练掌握数轴上的两点距离是解题的关键．
13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__.
【13题答案】
【答案】x≥-1且x≠0
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，同时结合分式的分母不能为0，即可求x的取值范围．
【详解】由题意得，
解得x≥-1且x≠0，
故答案为：x≥-1且x≠0
【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质，解答本题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0，否则二次根式、分式无意义
14. 用圆心角为，半径为的扇形作圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为____．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】圆锥的侧面展开图中，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此求解即可．
【详解】解：设此圆锥底面半径为cm，由题意，得
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
15. 已知一组数﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，则这组数据的方差是_____．
【15题答案】
【答案】2
【解析】
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【详解】解：∵数据：-1，x，0，1，-2的平均数是0，
∴x=0-（0+1-1-2）=2
∴S2=[（-1-0）2+（2-0）2+（0-0）2+（1-0）2+（-2-0）2]=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差关键是根据平均数求出x的值．
16如图，直线与相切于点，且，则______．

【16题答案】
【答案】##
【解析】
【分析】连接，连接CO并延长CO交AB于点H，切线性质定理得∠OCD＝90°，得CH⊥AB，由垂径定理可得CH垂直平分AB，可推出为等边三角形，进而得出答案．
【详解】解：如图，连接，连接CO并延长CO交AB于点H，

∵，直线与相切于点，
∴OC⊥CD
∴∠OCD＝90°
∵
∴∠AHC＝∠OCD＝90°
∴CH⊥AB
∴AH＝BH
∴CH垂直平分AB
∴AC＝BC
∵
∴AC＝BC＝AB
∴为等边三角形，
∴，
∴cos∠A＝
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理、切线的性质定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
17. 城市停车问题突出，为了解决这一问题，某小区在一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长，宽，矩形停车位与道路成角，则在这一路段边上最多可以划出______个车位．参考数据：，，

【17题答案】
【答案】31
【解析】
【分析】先算出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∵∠GDE＝90°
∴∠FDE＝180°－∠HDG－∠GDE＝23°，
∵∠DFE＝90°，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴在这一路段边上最多可以划出个车位，
故答案为：31．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离是解题的关键．
18. 如图，矩形中，，，点是矩形对角线上的动点，连接，过点作交所在直线与点，以、为边作矩形，当时，则长为______．

【18题答案】
【答案】或
【解析】
【分析】作于点，交于点，设，先根据勾股定理求出的长，再证明∽，可求得，则，可推导出，再用含的代数式表示、，而，推导出，再根据列方程求出的值即可．
【详解】解：如图，作于点，交于点，设，

四边形是矩形，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，，
当时，如图，
当时，如图，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理、动点问题的求解等知识与方法，设，求出用含的代数式表示的式子是解题的关键．
三、计算题（本大题共2小题，共10分）
19. 计算：．
【19题答案】
【答案】-1
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质，零次幂，化简绝对值进行计算求解即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，二次根式的性质，零次幂，化简绝对值是解题的关键．
20. 解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)方程两边同乘(x-1)(x+1)，将分式方程化为整式方程，解出整式方程，验根，即可得到分式方程的解；
(2)分别解出两个一元一次不等式，根据口诀：小大大小中间找，得到一元一次不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：去分母得：，
解得．
检验：当时，，
故是原分式方程的解．
∴原方程的解是：．
【小问2详解】
解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：．
不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，解决本题的关键是熟记解分式方程、解一元一次不等式组的步骤．
四、解答题（本大题共8小题，共56分）
22. 已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．

（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
【22题答案】
【答案】（1）见解析（2）24
【解析】
【分析】(1)根据旋转的性质得到∠ACB=∠DCE，BC=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到AB=AD，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，设AC，BD交于O，根据勾股定理得到，求得BD=8，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
证明：将绕点旋转一定角度得到，
，，
，
，
，
在与中，
，
；
【小问2详解】
解：由(1)知，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
设，交于，
，
，
，
四边形的面积．

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高单位：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．

（1）填空：样本容量为______，______；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率．
【24题答案】
【答案】（1），
（2）见解析（3）
【解析】
【分析】用组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算组所占的百分比得到的值；
利用组的频数为补全频数分布直方图；
计算出样本中身高低于的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．
【小问1详解】
解：A组占整体的百分比为
15÷15%＝100
所以样本容量为；
组的人数为，
所以，则；
故答案为，；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图为：
【小问3详解】
解：样本中身高低于的人数为，
样本中身高低于的频率为，
所以估计从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
26. 某校举行校园艺术节，九年级参加了班级歌咏比赛，歌曲有：少年，逆光，隐形的翅膀分别用字母A，，依次表示这三首歌曲比赛前，将A，，这三个字母分别写在张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九（1）班先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九（2）班从中随机抽取一张卡片，进行比赛．
（1）九（1）班抽中歌曲少年的概率是______；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的概率．
【26题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能的结果，再从中找到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算可得．
【小问1详解】
解：九（1）班抽中歌曲少年的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：树状图如图所示：

共有种可能，其中九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的有种，
则九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的概率．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
28. 秉承“绿水青山就是金山银山”理念，发展乡村振兴特色旅游，某乡镇购买甲、乙两种树苗对旅游道路进行绿化，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的倍少棵，购买两种树苗的总金额为元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，乡镇决定再购买甲、乙两种树苗共棵，总费用不超过元，则甲种树苗最多可以买多少棵？
【28题答案】
【答案】（1）购买甲种树苗棵，乙种树苗棵
（2）甲种树苗最多可以买棵
【解析】
【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗(2x−40)棵，利用总价=单价×数量，结合购买两种树苗的总金额为9000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出购买甲种树苗的棵树，再将其代入(2x−40)中即可求出购买乙种树苗的棵树；
（2）设可以购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(100−m)棵，利用总价=单价×数量，结合总费用不超过2300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
依题意得：，
解得：，
．
答：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵．
【小问2详解】
解：设可以购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
依题意得：，
解得：．
答：甲种树苗最多可以买棵．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
30. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．

（1）求、的值；
（2）若点为射线上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点若，求的值．
【30题答案】
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）作轴于，可证得，将点A坐标代入一次函数求出b的值，然后根据AC=3AB求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）将E点横坐标代入y=3x+3，求出纵坐标，根据即可求得点F的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出F的横坐标，即可表示出EF的长度，同理将B点纵坐标代入反比例函数求出D点横坐标，从而表示出BD的长，根据列方程即可求解m的值．
【小问1详解】
解：作轴于，如图所示：

，，
，
直线经过点，
，
解得，
直线解析式为：，
，
，
，，
点坐标为，
将点坐标代入，
得．
【小问2详解】
解：轴，
点的纵坐标为，代入，
得，
点坐标为，
将点横坐标代入，
得，
，
点纵坐标为，
代入，
得，
点坐标为，
，
，
解方程得或，
点为射线上一点，
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
32. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点．

（1）直接写出点A、、的坐标；
（2）在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接．
①当时，求直线的函数表达式；
②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标．
【32题答案】
【答案】（1），，
（2）①②或
【解析】
【分析】(1)利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可；
(2)①求出线段OF，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点M的坐标，再利用待定系数法解答即可；
②利用分类讨论的思想方法分两种情况：Ⅰ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB所在直线相切相切时；Ⅱ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边CD所在直线相切相切时，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论．
【小问1详解】

【小问2详解】
解：①点，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
解得：．
直线的函数表达式为：；
设的中点为，过点作于点，延长交于点，则，如图，

由题意：以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线相交．
以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切．
Ⅰ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，
则．
设，则．
．
，，，
．
，
为梯形的中位线．
．
．
解得：．
经检验，是原方程的根，
；
Ⅱ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，
则．
，，，
．
，
为梯形的中位线．
．
．
解得：．
经检验，是原方程的根，
．
综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，圆的有关性质，圆的切线的性质，待定系数法确定直线的解析式，点的坐标的特征，梯形中位线的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
34. 在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”
（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是_______；

（2）如图1，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E、F分别在、边上，满足和为“共边全等”，求的长；

（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与直线、x轴相交于A、B两点，点C是的中点，P、Q在的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．
【34题答案】
【答案】（1）③；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；
（2）为两个全等三角形的公共边，由于点在边上，在边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形（将图③的两条最长边重合形成），分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到为等边三角形，计算边长即可求得；
（3）由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为边，由于要构成，所以点只能在和边上，当在边上，两个三角形可以在同侧，也可以在异侧，当在异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在同侧构图时，可以得到图6，当在边上时，只能落在上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出点坐标．
【详解】解：（1）①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，
答案是③；
（2）①如图1，当，且是共边全等时，

，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
，
②如图2，当，且是共边全等时，

，
，，
，
又，
，
又，
，
，
设，则，
，
解得，
，，
，
综上所述，或；
（3）联立，解得，
，
令，得，
，
，
为中点，
，
，
由题可得，点只能在边和上，
①在上时，如图3，，

，，
，
四边形为平行四边形，
为中点，
为中点，
又，
为中点，
，
②当在边上，如图4，，

，
如图5，过作于，则，，

，
，
过作于，
，
设，则，
，
，
，
，
，
③当在边上，在边上时，如图6，，

，，
过作于，
，，
，
，
设，
，
，
，
，
④当在上，在上时，，如图7，

，
过，分别作得垂线，垂足分别为，，
，，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
，
综上所述，或或或．
【点睛】此题是一道一次函数和三角形的综合题，充分利用第一问的构图是此题的突破口，当点所在的位置不确定时，要注意分类讨论，同时，利用已知数据解三角形是解决此题的基本能力要求．
35. 如图，抛物线经过点、．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为，与轴相交于点，连接、、、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图，连接，与相交于点，点是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点，使得，且？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【35题答案】
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）将点A(−1,0)、B(3,0)代入y=−x2+bx+c，即可求解；
（2）判定△BCD是直角三角形，分别求出，，可得∠ACO=∠DBC；
（3）利用直线AD与直线BC的解析式求出点E的坐标，设F(1,t)，分两种情况讨论：①G点在对称轴的右侧时，过点F作MN⊥y轴，过E点作EM⊥x轴交MN于点M，过点G作GN⊥MN交于N点，证明△EFM∽△FGN，求出，再将G点代入抛物线解析式即可求t的值；②当G点在对称轴的左侧时，过E点作EK垂直对称轴于点K，过点F作FH⊥y轴，过点G作GH⊥HF交于H，证明△HGF∽△KEF，可得，再将G点代入抛物线解析式即可求t的值．
【小问1详解】
解：将点、代入，
，
解得，
；
【小问2详解】
解：，
，
令，则，
，
，，
，
、，，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
；
【小问3详解】
解：存在点，使得，且，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
解得，
，
设，
如图，当点在对称轴的右侧时，
过点作轴，过点作轴交于点，过点作交于点，

，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
舍或，
；
如图，当点对称轴左侧时，
过点作垂直对称轴交于点，过点作轴，过点作交于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
舍或，
；
综上所述：点的坐标为或
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解的关键