2022年江苏省常州市重点达标名校中考数学模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．△ABC的三条边长分别是5，13，12，则其外接圆半径和内切圆半径分别是（　　）

A．13，5 B．6.5，3 C．5，2 D．6.5，2

2．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值为（　　）

A．﹣1或1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3

3．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（　　）

A．54°    B．36°    C．30°    D．27°

4．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　）

A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定

6．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 (x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9,则k的值是(     )

A． B．   C． D．12

7．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论①a＜b；②|b|=|d|；③a+c=a；④ad＞0中，正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

8．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为(       )

A．8    B．6    C．4    D．2

9．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是(   )

A．①② B．②③ C．②④ D．①③④

10．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，直线l1∥l2，则∠1+∠2=____．

12．北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为258000平方米，那么258000用科学记数法可表示为          ．

13．如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，AB=8，∠CAB=22.5°，则 CD的长等于___________________________．

14．计算：=_____________.

15．________.

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为      cm．

17．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是_____°．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）解方程：-=1

19．（5分）解分式方程：．

20．（8分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：

（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；

（2）经市场调査后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是6的正方形的两边，分别相交于,两点.若点是边的中点，求反比例函数的解析式和点的坐标；若，求直线的解析式及的面积

22．（10分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC．

23．（12分）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A，C两个区域所涂颜色不相同的概率．

24．（14分）先化简：，再请你选择一个合适的数作为x的值代入求值．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
根据边长确定三角形为直角三角形,斜边即为外切圆直径,内切圆半径为,

【详解】

解：如下图,

∵△ABC的三条边长分别是5，13，12，且52+122=132,

∴△ABC是直角三角形,

其斜边为外切圆直径,

∴外切圆半径==6.5,

内切圆半径==2,

故选D.

【点睛】

本题考查了直角三角形内切圆和外切圆的半径,属于简单题,熟悉概念是解题关键.

2、A

【解析】

分析：

详解：∵当a≤x≤a＋2时，函数有最大值1，∴1＝x2－2x－2,解得： ，

即-1≤x≤3, ∴a=-1或a+2=-1, ∴a=-1或1，故选A.

点睛：本题考查了求二次函数的最大(小)值的方法，注意：只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值，而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值.

3、D

【解析】解：∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，∵∠ODA=36°，∴∠AOD=54°，∵∠AOD与∠ACB都对，∴∠ACB=∠AOD=27°．故选D．

4、B

【解析】
根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.

【详解】

设乙每天完成x个零件，则甲每天完成(x+8)个.

       即得， ，故选B.

【点睛】

找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.

5、C

【解析】
设的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论．

【详解】

解：设的两根为x1，x2，

∵由二次函数的图象可知，，

．

设方程的两根为m，n，则

.

故选C．

【点睛】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．

6、C

【解析】
设B点的坐标为（a，b），由BD=3AD，得D（，b），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE= 9求出k.

【详解】

∵四边形OCBA是矩形，

∴AB=OC，OA=BC，

设B点的坐标为（a，b），

∵BD=3AD，

∴D（，b），

∵点D，E在反比例函数的图象上，

∴=k，

∴E（a， ），

∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-• -•-••（b-）=9，

∴k=，

故选：C

【点睛】

考核知识点：反比例函数系数k的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.

7、B

【解析】
根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．

【详解】

解：由数轴，得a=-3.5，b=-2，c=0，d=2，

①a＜b，故①正确；②|b|=|d|，故②正确；③a+c=a，故③正确；④ad＜0，故④错误；

故选B．

【点睛】

本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义是解题关键．

8、A

【解析】

试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，

则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．

故选A．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

9、C

【解析】

试题分析：根据题意可得：a0，b0，c0，则abc0，则①错误；根据对称轴为x=1可得：=1，则-b=2a，即2a+b=0，则②正确；根据函数的轴对称可得：当x=2时，y0，即4a+2b+c0，则③错误；对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大，则，则④正确.

点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等题.如果开口向上，则a0，如果开口向下，则a0；如果对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果题目中出现2a+b和2a-b的时候，我们要看对称轴与1或者-1的大小关系再进行判定；如果出现a+b+c，则看x=1时y的值；如果出现a-b+c，则看x=-1时y的值；如果出现4a+2b+c，则看x=2时y的值，以此类推；对于开口向上的函数，离对称轴越远则函数值越大，对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大.

10、A

【解析】
设黄球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出黄球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个黄球的概率．

【详解】

解：设袋子中黄球有x个，

根据题意，得：，

解得：x=3，

即袋中黄球有3个，

所以随机摸出一个黄球的概率为，

故选A．

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、30°

【解析】
分别过A、B作l1的平行线AC和BD，则可知AC∥BD∥l1∥l2，再利用平行线的性质求得答案．

【详解】

如图，分别过A、B作l1的平行线AC和BD，

∵l1∥l2，

∴AC∥BD∥l1∥l2，

∴∠1=∠EAC，∠2=∠FBD，∠CAB+∠DBA=180°，

∵∠EAB+∠FBA=125°+85°=210°，

∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD=210°，

即∠1+∠2+180°=210°，

∴∠1+∠2=30°，

故答案为30°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．

12、2.58×1

【解析】

科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．258 000=2.58×1．

13、4

【解析】
连接 OC，如图所示，由直径 AB 垂直于 CD，利用垂径定理得到 E 为CD 的中点，即 CE=DE，由 OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形 COE 为等腰直角三角形，求出 CE 的长，进而得出 CD．

【详解】

连接 OC，如图所示：

∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，

∴OC= AB=4，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA=22.5°，

∵∠COE 为△AOC 的外角，

∴∠COE=45°，

∴△COE 为等腰直角三角形，

∴CE= OC=，

∴CD=2CE=，

故答案为.

【点睛】

考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．

14、

【解析】

分析：按单项式乘以多项式的法则将括号去掉，在合并同类项即可.

详解：

原式=.

故答案为：.

点睛：熟记整式乘法和加减法的相关运算法则是正确解答这类题的关键.

15、1

【解析】
先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．

【详解】

解：原式=2×=1．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握运算法则是关键．

16、

【解析】
当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，

∵AC为切线，

∴OC⊥AC，

在△AOC中，∵OA=2，OC=1，

∴∠OAC=30°，∠AOC=60°，

在Rt△AOD中，∵∠DAO=30°，

∴OD=OA=，

在Rt△BDP中，∵∠BDP=∠ADO=60°，

∴DP=BD=（2-）=1-，

在Rt△DPN中，∵∠PDN=30°，

∴PN=DP=-，

而MN=OD=，

∴PM=PN+MN=1-+=，

即P点纵坐标的最大值为．

【点睛】

本题是圆的综合题，先求出OD的长度，最后根据两点之间线段最短求出PN+MN的值．

17、4．

【解析】

试题分析：连结BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，又因为BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∠BDC＝440°，所以CD=BD,所以∠BCD＝∠DBC＝4°,又∠ABD＝90°，所以∠A=∠DBC＝4°．

考点：4．圆周角定理；4．切线的性质；4．切线长定理．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、

【解析】

【分析】先去分母，把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再验根.

【详解】解：去分母得：

解得：

检验：把代入

所以：方程的解为

【点睛】本题考核知识点：解方式方程. 解题关键点：去分母，得到一元一次方程，.验根是要点.

19、．

【解析】

试题分析：方程最简公分母为，方程两边同乘将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验．

试题解析：方程两边同乘，得：，整理解得：，经检验：是原方程的解．

考点：解分式方程．

20、（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本，利润最大.

【解析】
（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．

（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000-t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案．

【详解】

解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，

根据题意可得，

化简得：540-10x=360，

解得：x=18，

经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，

则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），

答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；

（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27-a）元（0＜a＜5），

由题意得，，

解得：600≤t≤800，

则总利润w=（27-a-18）t+（18-12）（1000-t）

=（9-a）t+6（1000-t）

=6000+（3-a）t，

故当0＜a＜3时，3-a＞0，t=800时，总利润最大，且大于6000元；

当a=3时，3-a=0，无论t值如何变化，总利润均为6000元；

当3＜a＜5时，3-a＜0，t=600时，总利润最大，且小于6000元；

答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．

21、（1），N(3，6)；（2）y＝－x＋2，S△OMN＝3.

【解析】
（1）求出点M坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，把N点的纵坐标代入解析式即可求得横坐标；
（2）根据M点的坐标与反比例函数的解析式，求得N点的坐标，利用待定系数法求得直线MN的解析式，根据△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN即可得到答案．

【详解】

解：(1)∵点M是AB边的中点，∴M(6，3)．

∵反比例函数y＝经过点M，∴3＝．∴k＝1．

∴反比例函数的解析式为y＝．

当y＝6时，x＝3，∴N(3，6)．

(2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)．

设直线MN的解析式为y＝ax＋b，则

，

解得，

∴直线MN的解析式为y＝－x＋2．

∴S△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN＝36－6－6－2＝3．

【点睛】

本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，正方形的性质，求得M、N点的坐标是解题的关键．

22、证明见解析.

【解析】

试题分析：先由平行四边形的性质得到∠B=∠D，AB=CD，再利用垂直的定义得到∠AEB=∠GFD=90°，根据“ASA”判定△AEB≌△GFD，从而得到AB=DC，所以有DG=DC．

试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∵AE⊥BC，FG⊥CD，∴∠AEB=∠GFD=90°，在△AEB和△GFD中，∵∠B=∠D，BE=DF，∠AEB=∠GFD，∴△AEB≌△GFD，∴AB=DC，∴DG=DC．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．

23、.

【解析】

试题分析：先根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与A，C两个区域所涂颜色不相同的的情况，利用概率公式求出概率.

试题解析：解：画树状图如答图：

∵共有8种不同的涂色方法，其中A，C两个区域所涂颜色不相同的的情况有4种，

∴P(A，C两个区域所涂颜色不相同)=.

考点：1．画树状图或列表法；2．概率．

24、x﹣1，1．

【解析】
先通分计算括号里的，再计算括号外的，最后根据分式性质，找一个恰当的数2（此数不唯一）代入化简后的式子计算即可．

【详解】

解：原式＝＝x﹣1，

根据分式的意义可知，x≠0，且x≠±1，

当x＝2时，原式＝2﹣1＝1．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，化简过程中要注意运算顺序，化简结果是最简形式，难点在于当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为零．