2022届高考数学精创预测卷 全国甲卷 理科（含答案）

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2022届高考数学精创预测卷全国甲卷 理科【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则(   )A. B. C. D.2.若复数z满足，则为(   )A.1 B.2 C.3 D.43.关于统计数据的分析，有以下几个结论：①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；②绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距；③一组数据的方差一定是正数；④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在的汽车大约是60辆.则这四个结论中错误的个数是(   )A.1 B.2 C.3 D.44.一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（精确到0.1，已知，）(   )A.5.2年 B.6.6年 C.7.1年 D.8.3年5.已知F是双曲线的右焦点，点，连接AF与渐近线交于点M，，则C的离心率为(   )A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(   )A.  B.C.  D.7.数列的前n项和为，且，，则“”是“数列为等差数列”的(   )A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件8.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(   )A.海里 B.海里 C.海里 D.40海里9.已知，则等于(   )A. B. C. D.10.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，若每个村的小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村的小学的概率为(   )A. B. C. D.11.已知正方体的表面积为24，则四棱锥的体积为(   )

A. B. C. D.12.已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则(   )A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数，则函数在点处的切线方程为_____________.14.已知向量，若，则向量与的夹角为_______.15.已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，的面积为6，则____________.16.若函数的部分图像如图所示，则函数在上的单调递增区间为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. （12分）2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名学生参与测试，其得分都在内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间的频率依次构成等差数列.若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有50名.(1)若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；(2)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是否优秀与文理科有关？ 优秀不优秀合计理科生   文科生   合计  1000附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818. （12分）已知数列，，满足，，，为数列的前n项和，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.19. （12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，为BC的中点，.(1)证明：平面ABCD；(2)若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角的余弦值.20. （12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.21. （12分）已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的坐标为，求.23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围.
答案以及解析1.答案：D解析：由，得，解得，，又，，故选D.2.答案：B解析：，复数，，故选B.3.答案：B解析：对于①，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，正确.因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小.对于②，错误.因为频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率.对于③，错误.因为根据方差的计算公式得出方差是非负数.对于④，根据频率分布直方图得，时速在的汽车大约是（辆），所以正确.综上，错误的结论是②③，共2个.故选B.4.答案：B解析：设这种放射性元素的半衰期是x年，则，化简得，即（年）.故选B.5.答案：A解析：由已知得，，，，，，（舍负），故选A.6.答案：B解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为矩形(长为4、宽为2)，高为4的四棱锥，其中一个侧面与底面垂直，所以该几何体的表面积，故选B.7.答案：A解析：因为，，所以，即，所以，，所以无论a为何值，数列都为等差数列.所以“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A.8.答案：A解析：在中，，，所以.由正弦定理可得，解得.在中，，所以.在中，由余弦定理可得，解得（海里）.所以A，B两处岛屿间的距离为海里.9.答案：D解析：由得，所以，故选D.10.答案：C解析：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，每个村的小学至少分配1名大学生，基本事件总个数，小明恰好分配到甲村的小学包含的基本事件个数，所以小明恰好分配到甲村的小学的概率.故选C.11.答案：C解析：设正方体的棱长为a，因其表面积为24，所以，所以.
连接交于点O，则，所以在正方体中，平面，即平面，所以是四棱锥的高，且.
又，所以.故选C.12.答案：B解析：由是偶函数，得，即.
由是奇函数，得，即，
所以，则的周期.
由是奇函数，得.
因为在上单调递增，所以，
所以，
即.
故选B.13.答案：解析：，，函数在点处的切线斜率，所求的切线方程为，即.14.答案：解析：由向量知.又，则，即向量与的夹角为.15.答案：解析：设，则由②得，代入①式得.，，又，.16.答案：解析：由函数的部分图像，可得，，求得.再根据五点作图法可得，，，，.又，，.令，，解得，，故函数的增区间为，.再根据，可得增区间为.17.解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得.又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，则，解得，理科学生得分的平均值为(分).(2)理科学生优秀的人数为，补全2×2列联表如表所示， 优秀不优秀合计理科生150450600文科生50350400合计2008001000，有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.18.解析：(1)由题可知，，
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以.
由得.
(2)由(1)得，
所以.
所以

.19.解析：(1)证明：易知，
所以，故，即，
又，，
所以平面PAE，又平面PAE，
所以，又，
所以平面ABCD.
（2）由平面ABCD，得，又，
所以平面PAD，
所以为PC与平面PAD所成的角，则，
在中，，，所以，又，所以.
以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面PDE的法向量为，
则
取，则，所以，
易知平面PAE的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
 20.解析：(1)由点在抛物线上可得，，解得.由抛物线的定义可得，整理得，解得或(舍去).故抛物线C的方程为.(2)由在抛物线C上可得，解得，所以，直线OE的方程为.易知，均不为0.由题意知直线l的斜率存在且大于0，设直线l的方程为，联立，得消去y，得.则，得，所以，.由直线OE的方程为，得.易知直线OB的方程为，故.数形结合可知，要证，即证，即证，即证，即证，则，此等式显然成立，所以.21.解析：（1）函数的定义域为，，（下面分及讨论导函数的正负）当时，恒成立，在上单调递增.当时，令，，当时，在上恒成立，.所以恒成立，在上单调递增.当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，（等号不恒成立），在上单调递增.综上，当时，在上单调递增.（2）依题意，得，则即两式相除得，，设，则，，，，，.设，则.设，则，在上单调递增，此时.，则在上单调递增.又，即，而，，即的最大值为3.22.解析：(1)直线l的参数方程，消去参数t，得直线l的普通方程为，由曲线C的极坐标方程，得，所以曲线C的直角坐标方程为.(2)直线l的参数方程可写为(t为参数)，代入，得，设A，B两点的参数为，则.所以.23.答案：(1)的解集为(2)解析：(1)由题设，，当时，，可得，当时，，无解，当时，，可得.综上，的解集为.(2)，要使的解集不是空集，只需即可，.