专题06 客观题之--三视图与几何体的面积、体积--《2022年新高考数学冲刺精准训练（浙江专用）》

专题06 客观题之--三视图与几何体的面积与体积

【命题规律】

三视图是高考重点考查的内容，考查内容有：1.三视图的识别；2.三视图与直观图的联系与转化；3.求与三视图对应的几何体的表面积与体积．几何体（多面体）的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式，多是选择题，基本都是中低档题，适当注意几何体面积或体积的最值问题．从近5年命题看，其在试卷中的位置基本稳定. 2020年浙江考查了圆锥的侧面积、侧面展开图、圆锥的几何特征.

预测2022年将以选择题形式，考查几何体（多面体）的表面积与体积与三视图结合问题.

【冲刺训练】

一、单选题

1．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

首先求出圆锥底面周长，再根据扇形周长公式求其圆心角的大小.

【详解】

由题设，底面周长，而母线长为，

根据扇形周长公式知：圆心角.

故选：C.

2．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意作出圆锥轴截面图像，根据图像求出圆锥底面半径r和母线l，根据侧面积公式πrl即可求解.

【详解】

如图所示为该圆锥轴截面，

由题意，底面圆半径为，母线，侧面积πrl＝π×3×＝6﹒

故选：B.

3．（2022·河南焦作·二模（文））已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为天（       ）

A． B．200 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意求得圆柱的底面圆的半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解.

【详解】

由题意，圆柱的轴截面是面积为100的正方形，

可得圆柱的轴截面边长为10，所以圆柱的底面半径为5，母线长为10，

所以侧面积为.

故选：C.

4．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（          ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由三视图可得直观图，根据棱锥体积公式可直接求得结果.

【详解】

由三视图可得四棱锥直观图如下图所示，

其中，，且平面，，

.

故选：A.

5．（2022·浙江杭州·二模）某几何体的三视图（单位：）如图所示，其中弧为四分之一圆弧，则该几何体的体积（单位：）是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图可知，几何体的左边是圆柱的 ，右边是三棱柱，分别计算体积相加即可.

【详解】

由于左边是圆柱的 ，其体积为 ，

右边是三棱柱，其体积为 ，

该几何体的体积为 ；

故选：B.

6．（2022·浙江浙江·二模）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据侧视图(左视图)的定义，从几何体的左侧平视观察几何体，得到左视图，注意被遮挡的线段要画成虚线.

【详解】

将几何体各顶点字母标记如图，从左侧观察，得到如图所示的侧视图，其中，对角线被几何体左侧面遮挡，应当为虚线，

故选：C.

7．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））某几何体的三视图如图所示，主视图和左视图是高为的等腰梯形，俯视图是两个半径为2和4的同心圆，则该几何体侧面展开成的扇环所对的圆心角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由给定的三视图可得一圆台，再利用圆台侧面展开图计算作答.

【详解】

还原三视图，得如图所示的几何体，它是上底面圆半径，下底面圆半径，高为的圆台，

则有此圆台的母线长，作出圆台的侧面展开图为如图所示的扇环，

设扇环所对的圆心角为，于是得扇环小圆半径，大圆半径，由，

即，解得：，

所以该几何体侧面展开成的扇环所对的圆心角为.

故选：A

8．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（       ）

A．2 B．2 C．2 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出各个棱长，最后确定结果．

【详解】

解：根据几何体的三视图，得到几何体的直观图如下所示：

该几何体为三棱锥，三棱锥是由以下四棱锥截去三棱锥所剩下的部分，

由于，，

所以，，，

故选：C．

9．（2022·河南焦作·二模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（       ）

A．18 B．24 C．48 D．60

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三视图还原原图，结合锥体体积公式求得正确答案.

【详解】

由三视图知，该几何体是一个三棱锥，如图，

底面的面积为，高为8，

所以三棱锥的体积.

故选：C

10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体后求体积

【详解】

由三视图可知，该几何体由一个正方体与一个三棱柱组合而成

故选：B

11．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知一个三棱锥的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体的体积是（       ）

A．12 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三视图还原出三棱锥的直观图，根据棱锥体积公式求解即可.

【详解】

由三视图可知，该几何体为图中三棱锥，

，

故选：B

12．（2022·安徽滁州·二模（文））己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三视图还原原图，从而计算出几何体的表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体为如下图的四棱锥，

设分别是的中点，根据三视图的知识可知，

则，所以，

，

，

，

所以几何体的表面积为.

故选：A

13．（2022·全国·模拟预测）已知圆台的母线与底面所成的角为60°，上底面圆的半径为1（较小底面的半径），侧面积为，则圆台的母线长为（       ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，依题意可得，再根据圆台的侧面积公式得到方程，解得即可；

【详解】

解：设圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，则，，所以，又圆台的侧面积，得，解得或（舍去），

故选：A.

14．（2022·江西赣州·一模（文））在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据四棱锥的性质，分别求侧面与底面面积，即可得解.

【详解】

如图，

由题意知,,平面,

因为，

所以,

故选：B

15．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三视图得到直观图，该几何体为直三棱柱，且，首先求出底面外接圆的直径，即可求出外接球的半径，从而得解；

【详解】

解：由三视图可知该几何体的直观图如下所示：

该直三棱柱底面为等腰直角三角且，所以外接圆的直径为，设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为；

故选：B

16．（2022·陕西商洛·一模（理））如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（       ）

A．60 B．54 C．48 D．24

【答案】A

【解析】

【分析】

根据“长对正，宽相等，高平齐”的原则，想象出几何体是倒下的直三棱柱，根据数据求解即可.

【详解】

该几何体为直三棱柱—，如图所示，其中，所以该几何体的表面积

故选：A.

17．（2022·江苏连云港·二模）下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.

【详解】

如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，

，，

设上底面面积为，下底面面积为，

则体积为.

故选：B.

18.（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【解析】

根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【详解】

几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形，

该等腰梯形的上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为，

故，

故选：A.

19．（2020·浙江高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（    ）

A． B． C．3 D．6

【答案】A

【解析】

由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，

棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，

所以几何体的体积为：

.

故选：A

20.（2019年浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（    ）

A. 158 B. 162

C. 182 D. 32

【答案】B

【解析】

由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.

21.（2017年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，

∴=,故选A.

二、填空题

22．（2022·江西·二模（文））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的半径_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据三视图作出直观图，利用内切球的性质及三棱锥的体积可求出半径.

【详解】

该几何体是三棱锥，如图，

则，且两两垂直，

设内切球的半径为r，则，，

∴，即．

故答案为：

23．（2022·陕西陕西·二模（理））已知球的直径，C，D是球面上的两点，且，若，则三棱锥的体积的最大值是______.

【答案】

【解析】

【分析】

设中点为O，则O为球心，连接，，由求解.

【详解】

解：如图，

在三棱锥中，，，

设中点为O，则O为球心，

连接，，

由题意得，

∴为正三角形，，

∴，

当且仅当平面时取等号.

所以三棱锥的体积的最大值是，

故答案为：

24．（2022·辽宁·沈阳二中二模）半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题设可知圆柱体的上下底面是金属球的两个截面，求出圆柱的高，再求其侧面积.

【详解】

要使圆柱的体积最大，即圆柱的高最大，

所以仅当圆柱上下底面是金属球的截面时高最大，为，

所以侧面积为.

故答案为：.

25．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

先利用展开图，根据最短距离，利用余弦定理求得CD的长，然后将该棱锥补成一个长方体求解.

【详解】

如图所示：

设CD=x，由题意得：，

在中，由余弦定理得：，

即，

即，解得或（舍去），

如图所示：

该棱锥的外接球即为长方体的外接球，

则外接球的半径为：，

所以外接球的表面积为 ，

故答案为：

26．（2022·江苏·一模）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为，，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据圆柱与圆锥的表面积公式直接计算.

【详解】

设圆柱与圆锥的半径均为，母线为，

故，，

所以，

故答案为：.

27．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的高是___________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知圆锥的母线长为1，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面周长，可求得底面半径，进而求得圆锥的高.

【详解】

设圆锥的母线长为l，则 ，设底面半径为r，

根据题意可得： ，即 ，

故圆锥的高为： ，

故答案为：

28．（2022·全国·模拟预测）张衡（78年—139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》．他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最大值为，利用张衡的结论可得该正方体内切球的表面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】

设正方体的棱长为，分别求出正方体内切球半径和外接球半径，再根据线段的最大值为，求出正方体的棱长，即可求出正方体内切球的表面积，最后根据圆周率的平方除以十六等于八分之五，得到圆周率，从而求出内切球的表面积.

【详解】

设正方体的棱长为，则正方体内切球半径，

正方体外接球半径满足，解得，

∵线段的最大值为，解得，

∴内切球半径为，

∴该正方体内切球的表面积，

又∵圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，∴，

∴正方体内切球的表面积为．

故答案为：.

29．（2022·陕西陕西·二模（文））在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

判断出球心的位置，计算出球的半径，由此求得球的体积.

【详解】

由，，，

所以，.

可得，

设O为中点，则，

即O为外接球的球心，球的半径

所以四面体的外接球的体积为：

.

故答案为：

三、双空题

30．（2022·福建·三模）《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为，上下底面间的距离为，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是________；卧足杯的容积是________（杯的厚度忽略不计）.

【答案】         

【解析】

【分析】

设球体的半径为，，得到，解出，求出球体半径；由祖暅原理知，碗的体积等于下图右边中间高为的圆柱体积减去一个圆台，分别求出圆柱和圆台的容积，作差即可求解.

【详解】

如下图：设球体的半径为，，由得，

，解得，所以；

由祖暅原理知，碗的体积等于下图右边中间高为的圆柱体积减去一个圆台，

设圆台上表面半径为，则，下表面半径为，所以，，.

故答案为：；.