2022年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列四个图案中是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列几何体中，有一个几何体的主视图、俯视图、左视图形状，大小均相同，这个几何体是

A. 球体 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥

3. 用长为米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为米，设它的面积为平方米，则与的函数关系为

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系
C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系

4. 如图，动点在反比例函数图象上，轴于点，是轴上动点．当点从原点往轴正半轴运动时，的面积将会

A. 逐渐减小，接近
B. 不变，永远是
C. 不变，永远是
D. 不变，但不知道具体值
 

5. 已知关于的一元二次方程有实数根，则下列数中能作为二次项系数的值是

A.  B.  C.  D.

6. 某校羽毛球比赛，已知参赛选手中打入半决赛的四名选手中，甲、乙、丙三名同学来自一班，丁同学来自二班，现需从四名选手中随机选两名打一场示范赛，则选中的两名同学恰好同班的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 将的函数图象绕点顺时针旋转以后得到的函数图象是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上，若，，则的值为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，是线段的中点，平分交于点交于点，，则的长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：平分；≌，；点转至点经过的弧长为，正确的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 已知反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是______．
12. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______答案用“”连接
13. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点若，则______度．

14. 为积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，某楼盘商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，若今年前四个月房价每月的下降率保持一致，则小康爸爸______在月份用万元在该楼盘买下一套平方米的商品房请填入“能”或“不能”
15. 如图，抛物线上有一点，点与点关于抛物线的对称轴对称．过点作直线轴，交轴于点点在直线上运动，点在轴正半轴上运动，以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时，点的坐标为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 用适当的方法解方程．
    计算，．
    
    
    
    
    
    
     
17. 某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．真空集热管与支架所在直线相交于圆心，点，都在圆上，支架与水平地面垂直．，，，另一支架与水平线夹角参考数据：，，，
    求支架和支架的长．
    求热水器容器的侧面圆心到地面的距离．

18. 如图，在反比例函数的图象上有点，过点作轴，垂足为，的面积为，且．
    求的值．
    在轴的负半轴上找点，将点绕点顺时针旋转，其对应点落在此反比例函数第三象限的图象上，求点的坐标．
     

19. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程依次用，，，表示，为了解学生对这四种课程的喜好情况，学校随机抽取部分学生进行了你最喜欢哪一种课外活动必选且只选一种”的问卷调查．并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
    参加问卷调查的学生人数是______人，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为______，估计全体名学生中最喜欢活动的人数约为______人．
    现从喜好编导表演的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率．

20. 疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进、两种口罩，型口罩的每盒进价是型口罩的两倍少元．用元购进型口罩的盒数与用元购进型口罩盒数相同．
    ，型口罩每盒进价分别为多少元？
    经市场调查表明，型口罩更受欢迎，当每盒型口罩售价为元时，日均销量为盒，型口罩每盒售价每增加元，日均销量减少盒．当型口罩每盒售价多少元时，销售型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，是的直径，点在上，的平分线与相交于点，交于点，且经过圆外一点，连，测得．
    求证：是的切线．
    若，，求的半径．

22. 二次函数和一次函数是常数相交于点．
    证明：交点的横坐标必是方程的根．
    二次函数和一次函数有两个不同的交点和，其中点的坐标为，求点的坐标．
    在的条件下求点，与顶点所构成三角形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动点不与点，重合，以为边在上方作等腰，使为直角顶点，将绕的中点旋转得到，设四边形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
    点到的距离为______用含的式子表示
    若线段与交于点，当为何值时，射线将四边形的面积分成：的两部分．
    当四边形与重叠部分为四边形时，求与的函数关系式．不要求写出对应自变量取值范围

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、不是中心对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．
本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：球体的三视图完全相同，符合题意；
B.长方体的三视图不一定全部相同，不符合题意；
C.圆柱的主视图和左视图相同，俯视图不同，不符合题意；
D.圆锥的主视图和左视图相同，俯视图不同，不符合题意；
故选：．
根据常见几何体的三视图可得答案．
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据题意，
故选：．
列出函数关系式，即可得答案．
本题考查二次函数定义及应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于点，

则，
设点，
则，
当点从原点往轴正半轴运动时，的面积将会不变，始终等于，
故选：．
设点，过点作可得，根据，可得出结果．
本题主要考查三角形面积和反比例函数系数的几何意义，熟练掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由题意得：且，
解得：或，
故选：．
根据一元二次方程的定义及根的判别式得出关于的不等式组，解不等式组即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据题意得出关于的不等式组是解决问题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中选中的两名同学恰好同班的有种结果，
所以选中的两名同学恰好同班的概率为．
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设旋转后直线方程为．
直线与直线垂直，直线与直线垂直，
直线与直线平行．
直线中的，即．
又在直线上，且是旋转中心，
直线经过点．
，
．
将的函数图象绕点顺时针旋转以后得到的函数为．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：．
将的函数图象绕点顺时针旋转以后得到的函数图象与直线平行且经过点．
本题主要考查了一次函数图象的几何变换，根据题意得到直线与直线平行是解题的突破口．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设，则，
由折叠可得，
是的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
解得：，
，
．
故选：．
先求出，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求出的值，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了折叠问题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系，利用勾股定理求解．
 

9.【答案】
 

【解析】解：是线段的中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
根据已知可得，，再根据角平分线和平行两个条件证明是等腰三角形，从而求出的长，最后证明∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：将绕点顺时针旋转后，得到，
≌，．
．
，
的结论正确；
．
在和中，
，
≌的结论正确；
，
．
当时，∽，
．
当时，与不相似，
比例式不成立，
不一定成立．的结论错误；
由绕点顺时针旋转后，得到，
得：，
，
点转至点经过的弧长为的结论正确；
综上，结论正确的有：，
故选：．
由旋转得，可得，即平分；
利用图形的旋转不变性得到≌，，利用公理即可判定≌；
利用相似三角形的判定与性质可以验证结论错误；
利用已知条件得到，利用弧长公式，可得的结论正确．
本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的旋转变换，三角形全等的判定与性质，弧长公式，相似三角形的判定与性质，利用图形的旋转不变性是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，
且，
解得：，
故答案为：．
根据反比例函数的定义及性质，列出关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围．
本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的定义及反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，离直线最近，
．
故答案为：．
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

13.【答案】
 

【解析】解：连接．
与相切于点，
，又，
，
又，
，
又因为是的外角，
，
，
．
故答案为：．
连接，把要求的分成了两个角与，根据已知的与相切于点，利用切线的性质可求出等于，再根据已知的的度数，利用三角形的内角和定理可得到的度数，又根据圆的两半径相等得到，根据等角对等边得到，利用外角的性质可得到这两个角的和等于，进而求出的度数，最后用求出的与的和即可得到的度数．
本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及外角性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．该题属于几何综合题，在解题时应注意把代数与几何图形的性质及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
 

14.【答案】能
 

【解析】解：设每月的下降率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
元万元，
小康爸爸能在月份用万元在该楼盘买下一套平方米的商品房，
故答案为：能．
设每月的下降率为，根据题意列出一元二次方程求出每月的下降率，进而求出月份商品房每平方米的单价，再求出平方米的商品房的总价，比较后即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程求出每月的下降率是解题的关键．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
点和点关于对称轴对称，点的坐标为，
，
以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
以点为直角顶点且在轴上方时，如图，

，，
在和中，
，
≌，
，，
；
以点为直角顶点且在轴右侧时，如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，

同理得，
，
；
以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当为等腰直角三角形时点坐标为或．
故答案为：或．
作辅助线构造一线三垂直模型，利用全等的性质即可确定点的坐标．
本题主要考查二次函数的应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，熟练掌握等腰直角三角形的性质．
 

16.【答案】解：，
，
则或．
解得，；



．
 

【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
先去绝对值、去括号、计算零指数幂以及化简二次根式，然后计算加减法．
本题考查了零指数幂，二次根式的混合运算以及因式分解法解一元二次方程．解关于的一元二次方程时，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

17.【答案】解：在中，，，
，
，
支架的长为，支架的长为；
设，
在中，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
热水器容器的侧面圆心到地面的距离为．
 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出，，即可解答；
设，在中，求出，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】解：，的面积为，
，
解得，．
．
点绕点顺时针旋转，点对应点落在此反比例函数第三象限的图象上，

过点作轴交于点，设点，
，，
，
，，
≌，
，，
，
则点的坐标为，
则，
解得：正值已舍去．
点坐标为．
 

【解析】由，的面积为可得，，由此得出点的坐标，进而可求出的值；
证明≌，确定点的坐标为，即可求解；
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、一元二次方程运用等，解题关键是利用三角形面积得出点的坐标．
 

19.【答案】   
 

【解析】解：参加问卷调查的学生人数是人，
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为，
活动人数所占百分比为，
活动的人数所占百分比为，
估计全体名学生中最喜欢活动的人数约为人，
故答案为：，，；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为，
恰好甲和丁同学被选到的概率为．
由活动人数及其所占百分比可得总人数，用乘以活动人数所占比例即可得出其对应圆心角度数，求出活动人数所占百分比后，再乘以总人数即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率，也考查了统计图．
 

20.【答案】解：设型口罩的每盒进价是元，则型口罩每盒进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：型口罩的每盒进价是元，型口罩每盒进价是元；
设型口罩每盒售价是元，销售型口罩所得日均总利润为元，
根据题意得：，
，
时，取得最大值，最大值是元，
答：当型口罩每盒售价元时，销售型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为元．
 

【解析】设型口罩的每盒进价是元，则型口罩每盒进价是元，可得，即可解出答案；
设型口罩每盒售价是元，销售型口罩所得日均总利润为元，可得，由二次函数性质可得答案．
本题考查分式方程及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

21.【答案】证明：如图，是的直径，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
，，且，
，
，
，
，
如图，作于点，
，，，
≌，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
把代入，得，
解得或不符合题意，舍去，
，
，
的半径长为．
 

【解析】先由是的直径证明，由得，又因为，所以，则，即可证明是的切线；
先根据，，，等条件求得，，作于点，可证明≌，则，，再证明∽，根据相似三角形的对应边成比例以及，即可求出的长，再求出、的长即可．
此题重点考查圆的切线的判定、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：解方程组得，，
当时，
把代入得，，
当时，
把代入得，，
交点的横坐标必是方程的根；
解：把点的坐标为代入得，，
，
一次函数的解析式为，
解方程组得，，，
点的坐标为；
解：，
顶点，
如图，点，与顶点所构成三角形的面积．
 

【解析】解方程组得到，，代入方程，即可得到结论；
把点的坐标为代入得到，求得一次函数的解析式为，解方程组得到点的坐标为；
根据梯形的面积公式即可得到结论．
本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，解方程组求函数图象的交点坐标，三角形的面积的计算，正确地求得方程组的解是解题的关键．
 

23.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于点，

等腰，
四边形为矩形，
动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点的运动时间为秒，
，
故答案为：．
当点落在上时，
点和点重合，
此时射线将四边形的面积分成：两部分，
如图，过点作于点，

，
，
假设此时射线将四边形的面积分成：两部分，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
当点接触前时，
四边形与重叠部分为平行四边形，
，
，
当离开，接触前时，
重叠部分为五边形，不用计算；
当离开后，
如图，设，分别交于点，，过点，分别作于点，于点，过点作于点，延长交于点，

此时四边形与重叠部分为四边形，
设，则：
，
，
，
，
解得：，
，
设，则：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或．
根据等腰直角三角形可得的长度，再结合旋转的性质可判定四边形为矩形，根据矩形的性质和点到直线的距离可得的长度为点到的距离；
由射线将四边形的面积分成：的两部分可得为四边形面积的四分之一，然后将涉及的边长表示出来，利用相似三角形的性质即可求解；
分接触前，当离开，接触前和当离开后三种情况讨论，计算即可；
本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等，解题的关键是能根据题意正确构造辅助线或画出对应图形进行分析，后两问要注意分类讨论思想的应用．