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2022年辽宁省大连二十四中等校高考数学模拟试卷（含答案解析）

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这是一份2022年辽宁省大连二十四中等校高考数学模拟试卷（含答案解析），共24页。试卷主要包含了85，则P=0，【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】AD等内容，欢迎下载使用。

2022年辽宁省大连二十四中等校高考数学模拟试卷

已知全集，集合，，则

A. B.
C. D.

已知复数z满足，则

A. 1 B. C. D. 5

“”是“函数的值恒为正值”的

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

已知，则

A. B. C. D.

已知单位向量满足，则与的夹角为

A. B. C. D.

已知直线l：恒过点P，过点P作直线与圆O：相交于A、B两点，则的最小值为

A. B. 2 C. 4 D.

河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为

A. B. C. D.

已知函数，若且，则有

A. 可能是奇函数，也可能是偶函数
B.
C. 时，
D.

下列说法中正确的是

A. 已知随机变量X服从二项分布，则
B. 已知随机变量X服从正态分布且，则
C. 已知随机变量X的方差为，则
D. 以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则

已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称．当时，则下列结论正确的是

A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的最小正周期为2
C. 当时，
D. 函数在上单调递减

已知抛物线C：，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于A，B两点，连接AK、BK，设AB的中点为P，过P作AB的垂线交x轴于Q，下列结论正确的是

A. B.
C. 的面积最小值为 D.

已知正四棱台的上、下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则

A. 正四棱台的体积为
B. 正四棱台的外接球的表面积为
C. 平面
D. 到平面的距离为

已知双曲线C的一条渐近线方程为l：，且其实轴长小于4，则C的一个标准方程可以为______.
在的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为______.
在棱长为2的正方体中，E是CD的中点，F是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为______ .
已知三棱锥，P是面ABC内任意一点，数列共9项，，，且满足，满足上述条件的数列共有______个．
已知等差数列的公差为正实数，满足，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设数列的前n项和为，若，且______，求数列的前n项和为，以下有三个条件：
①，；
②，；
③，
从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列为等比数列，并根据题意解决问题．
已知的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且
求角A的大小；
若点D在边BC上，且，，求的面积．
如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点．
求证：平面平面；
若，求二面角的余弦值．

某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁含40岁以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“”表示B组的客户．

注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．
记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小结论不要求证明；
从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；
如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望
已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且
求C的方程；
已知点M，N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM，AN分别交椭圆C于另一点P，Q，证明：直线PQ与直线OT垂直．
已知函数
当时，试判断函数在上的单调性；
存在，，，，求证：

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合，
，
则
故选：
化简集合B，根据交集的定义写出，即可求得答案．
本题主要考查了交集的运算问题，属于基础题．

2.【答案】B

【解析】解：，
，

故选：
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．

3.【答案】A

【解析】解：由函数的值恒为正值得，解得，
所以“”是“函数的值恒为正值”的必要不充分条件．
故选：
由函数的值恒为正值得，解得可解决此题．
本题考查一元二次不等式解法及充分、必要条件判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．

4.【答案】D

【解析】解：，

，
故选：
根据倍角公式以及诱导公式求出三角函数值即可．
本题考查了倍角公式，诱导公式的应用，是基础题．

5.【答案】C

【解析】解：设单位向量的夹角为，
因为，
所以，
即，
所以，
解得，
又因为，
所以，
即与的夹角为
故选：
根据平面向量的模长公式，即可求出两向量的夹角的余弦值，从而求出夹角的大小．
本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题．

6.【答案】A

【解析】解：直线l：可化为，故点，
由圆：可得圆心，半径，
则当时，最小，此时，
则由弦长公式可得，
故选：
直线化为点斜式可求得点P坐标，再过点P作直线与圆相交，当直线与OP垂直时，取最小值，进而用两点式和距离公式即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长公式的表示，点到直线的距离公式，直线的表达式等知识点，属于中档题．

7.【答案】C

【解析】解：由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水，
2，7属性为火，5，10属性为土，
从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，
包含的基本事件个数，
这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：
，
这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率
故选：
从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8.【答案】D

【解析】解：A选项：假设为奇函数，因为奇函数关于原点对称，
即与已知矛盾，故函数不可能为奇函数，
故A选项错误；
B选项：构造函数，
，
由已知有，且，
故，
所以在定义域内单调递增，
故，即，
化简可得，
故B选项错误；
，由三角函数图像可知：，
故由单调性可知，
，
，
其中，
故C选项错误；
D选项：由单调性有：，
故，
化简可得：，
故D选项正确．
故选：
A选项直接利用奇函数性质判断即可，BCD选项可构造函数来进行判断比较大小．
本题主要考查函数奇偶性性质，及构造函数进行比较大小，属于较难题目．

9.【答案】AD

【解析】解：对于A，随机变量X服从二项分布，
则，故A正确，
对于B，随机变量X服从正态分布且，
，故B错误，
对于C，随机变量X的方差为，
，故C错误，
对于D，模型，
则，
，将其变换后得到线性回归方程，
，故D正确．
故选：
对于A，结合二项分布的方差公式，即可求解，对于B，结合正态分布的对称性，即可求解，对于C，结合方差的线性公式，即可求解，对于D，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查方差公式，以及正态分布的对称性，属于中档题．

10.【答案】BC

【解析】解：因为函数对任意都有，所以，
即，所以，
所以，即恒成立，所以的周期为
因为函数的图象关于对称，
所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，
所以关于对称．
任取，则，
因为函数对任意都有，
即，
所以
所以，
作出的图象如图所示：

对于由图象可知：函数的图象关于点中心对称，故A错误；
对于函数的图象可以看成的图象 x轴上方的图象保留，把 x轴上方的图象轴下方的图象翻折到 x轴上方，
所以函数的最小正周期为故B正确；

对于由前面的推导可得：当时，故C正确；
对于作出的图像如图所示，在上函数单调递增．故D错误．

故选：
先求出周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证：
对于A：由图像可判断函数的中心对称；
对于B：利用图像变换作出函数的图象，即可判断；
对于C：直接求出解析式即可判断；
对于D：利用图像变换作出的图像，即可判断；
本题考查了函数的奇偶性、单调性及周期性，也考查了数形结合思想，属于中档题．

11.【答案】BD

【解析】解：设直线AB的倾斜角为，即，则，，，
对于A选项：若，则，则根据角平分线的性质可得，x轴为的角平分线，但 x轴不一定是的角平分线，故A错误；
对于B选项：过A作轴，垂足为D，

则，，
所以，故B正确；
对于C选项：，
当，即时，取等号，
故的面积最小值，故C错误；
对于D选项：，两式相减，
，
所以PQ方程为，令，，则，
所以，
所以，所以，故D正确；
故选：
设直线AB的倾斜角，即，则，，，根据角平分线的性质判断A选项错误；
过A作轴，垂足为D，表示出，，即可判断B正确；
由，数形结合即可判断C选项错误；
求出直线PQ的方程，令，求出Q的横坐标，求出，即可判断它们的关系，由此判断D选项正确．
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查不等式性质的应用，点差法，考查数形结合思想，属于难题．

12.【答案】BCD

【解析】解：对于A，正四棱台的上、下底面边长分别为4，6，高为，
正四棱台的体积为：
，故A错误；
对于B，连接AC，BD，交于点，连接、，交于点，
若外接球的球心O在正四棱台的内部，
则O在上，，

正四棱台的上、下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，
，，
设外接球O的半径R，，
即，无解，外接球的球心O在正四棱台的外部，如图，

则O在的延长线上，，
正四棱台的上、下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，
，，
设外接球O的半径R，，
即，解得，
正四棱台的外接球的表面积为，故B正确；

对于C，取的中点F，连接AF，EF，，连接AG，
，是的中点，
，，
又，，
，四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面，
，，
平面，平面，平面，
，平面平面AEF，
平面AEF，平面，故C正确；

以为原点，、、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
到平面的距离为，故D正确．
故选：
求出正四棱台的体积，判断A；连接AC，BD交于，连接，，相交于，分外接球的球心O在正四棱台的内部、外部，求出，判断B；取的中点F，利用面面平行的判断定理，可判断平面平面AEF，从而可判断C；以为坐标原点，、、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】答案不唯一

【解析】解：不妨设双曲线C：，双曲线C的一条渐近线方程为l：，
可得，实轴长小于4，可以令，则，
所以双曲线的一个标准方程为：
故答案为：答案不唯一
利用双曲线的渐近线方程，结合实轴长小于6，写出一个标准方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，标准方程的求法，是基础题．

14.【答案】

【解析】解：由已知可得，所以，
则二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的系数为，
故答案为：
利用已知建立方程求出n的值，然后再求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为5，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：连结AE，取AE中点G，设上点F到距离，连结EF，
过G作GO垂直平面ABCD，设，O为三棱锥的外接球的球心，
以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则球半径，
，
三棱锥的外接球的表面积取最小值时，，
此时，解得，
外接球的半径，
三棱锥的外接球的表面积最小值为：

故答案为：
连结AE，取AE中点G，设上点F到距离，连结EF，过G作GO垂直平面ABCD，设，则O为三棱锥的外接球的球心，以D为原点，建立空间直角坐标系，由外接球半径相等，列式求得三棱锥的外接球半径的最小值，则三棱锥外接球表面积的最小值可求．
本题考查三棱锥的外接球的表面积，训练了利用空间向量求解空间中两点间距离的最值问题，考查运算求解能力，是中档题．

16.【答案】70

【解析】解：因为P是面ABC内任意一点，
所以P，A，B，C四点共面，
因为，
所以，即，
解得或，
可转化为组合计数问题
若，则，只有1个，
若，则，有个，
若，则，有个，
若，则，有个，
若，则，只有1个，
共70个．
故答案为：
根据A，B，C，P共面得出与关系后分类讨论求解．
本题考查了空间共面向量定理的应用，属于中档题．

17.【答案】解：设等差数列的公差为d，则由得，，
由，，成等比数列得
所以，由知，
从而
若选①：，，则当时，；
当，时，
当时，也满足上式，所以，
所以，所以数列为首项为1，公比为2的等比数列．
所以数列的前n项和为
若选②：，
当时，，，；
当时，，
两式相减得：，即，，，所以
所以数列为首项，公比的等比数列，所以，
所以数列的前n项和为
若选③：，
，
得：，，
所以，数列是公比为的等比数列，且时，
解得，所以，
所以数列的前n项和为

【解析】设等差数列的公差为d，，根据，，成等比数列求出d的值，再写出通项公式
若选①，根据求出，再判断数列为等比数列，从而求出数列的前n项和．
若选②，根据，求出，判断数列为等比数列，从而求出数列的前n项和．
若选③，根据，先判断数列是等比数列，再求数列的前n项和．
本题来源于课本改编，考查了等差数列与等比数列的定义概念求和问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，即，
因为，
所以，可得，
因为，，
所以，可得，
所以，可得；
因为点D在边BC上，且，，可得，，
所以在中，，可得，
在中，由正弦定理，可得，由正弦定理可得，
在中，由余弦定理，可得，整理可得，，
所以的面积

【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等方式可得，结合的范围可求的值，进而可求得A的值；
由题意可求，在中，可得，在中，由正弦定理可得，进而在中，由余弦定理即可解得b，c的值，从而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19.【答案】解：如图，连接
在菱形ABCD中，，所以为正三角形，
因为E为AB的中点，所以
因为，所以
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
而，且，平面，平面，所以平面
又因为平面DEF，所以平面平面

以D为原点，以直线DE，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，
设为平面DEF的法向量，
由，得，取，得
易知为平面的一个法向量，
所以，
所以二面角的余弦值为

【解析】通过，可证平面可证明平面平面；
以D为原点，以直线DE，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求两平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，以及二面角的求法，空间想象能力，属中档题．

20.【答案】本小题共13分
解：…………………分
设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A组的客户”为事件M，
则…………………分
所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率是
依题意的可能取值为0，1，
则，
，
…………………分
所以随机变量的分布列为：

	0	1	2
P

所以随机变量的数学期望…………………分
即…………………分

【解析】
设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A组的客户”为事件M，利用古典概型及排列组合能求出从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率．
依题意的可能取值为0，1，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望．
本题考查平均数、概率的求法，考查离散型随机事件概率分布列、数学期望的求法，考查茎叶图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

21.【答案】解：由题意，，，，
由，得，即，可得，
又，解得，，
椭圆C的方程为；
证明：设，，可得，
以MN为直径的圆经过O点，，即，
，
，：，
联立，得
，得，
，则；
同理可得
，
又，

又，
，即

【解析】由题意得A，D，B的坐标，再由，整理可得，结合隐含条件即可求得a与b的值，则椭圆方程可求；
设，，可得，由已知可得，推出，写出AM所在直线方程，与椭圆方程联立求得P点坐标，同理求得Q点坐标，再由即可证明
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．