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    专题08 函数综合问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
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    专题08 函数综合问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)

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    这是一份专题08 函数综合问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品(解析版),共56页。试卷主要包含了反比例函数y=,如图,反比例函数y=等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.二次函数的图象如图所示,下列结论:;;;;,其中正确结论的是  
    [来源:Zxxk.Com]
    A. B. C. D.
    【答案】C

    ∴,
    ∴,故④错误,
    ∵x=﹣1时,y取得最大值a﹣b+c,
    ∴ax2+bx+c≤a﹣b+c,
    ∴x(ax+b)≤a﹣b,故⑤正确.
    故选:C.学科*网
    【关键点拨】
    本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识,解题的关键是读懂图象信息,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
    2.反比例函数y=(a>0,a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示,点M在y=的图象上,MC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A;MD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点M在y=的图象上运动时,以下结论:①S△ODB=S△OCA;②四边形OAMB的面积不变;③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.其中正确结论是(  )

    A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
    【答案】D

    则△OAM和△OAC的面积相等,
    ∵△ODM的面积=△OCM的面积=,△ODB与△OCA的面积相等,
    ∴△OBM与△OAM的面积相等,学科&网
    ∴△OBD和△OBM面积相等,
    ∴点B一定是MD的中点.正确;
    故选:D.
    【关键点拨】
    本题考查了反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.
    3.抛物线y=ax2+bx+1的顶点为D,与x轴正半轴交于A、B两点,A在B左,与y轴正半轴交于点C,当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点)时,b的值为(  )

    A.2 B.﹣2或﹣4 C.﹣2 D.﹣4
    【答案】D

    ∴点C的坐标为(0,1),
    ∴OC=1,
    ∵△OBC为等腰直角三角形,
    ∴OC=OB,学&科网
    ∴OB=1,
    ∴抛物线y=ax2+bx+1与x轴的一个交点为(1,0),
    ∴a+b+1=0,得a=﹣1﹣b,
    设抛物线y=ax2+bx+1与x轴的另一个交点A为(x1,0),
    ∴x1×1= ,
    ∵△ABD为等腰直角三角形,
    ∴点D的纵坐标的绝对值是AB的一半,
    ∴,
    ∴ ,
    【关键点拨】
    本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.
    4.如图,一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点,与反比例函数y=相交于C、D两点,分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线,垂足为E、F,连接CF、DE、EF. 有下列三个结论:①△CEF与△DEF的面积相等;②△DCE≌△CDF;③AC=BD.其中正确的结论个数是(  )
     
    A.0      B.1      C.2     D.3
    【答案】C
    【关键点拨】
    本题考查了平行四边形的性质和判定,三角形的面积,全等三角形的判定,相似三角形的判定等知识点的运用,关键是检查学生综合运用定理进行推理的能力,题目具有一定的代表性,有一定的难度,是一道比较容易出错的题目.学*科网
    5.两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示,点P在y=的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点P在y=的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正确的是(   )

    A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
    【答案】C
    6.如图,正方形的边长为,点,点同时从点出发,速度均2cm/s,点沿向点运动,点沿向点运动,则△的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是( )

    A. B. C. D.
    【答案】C

    ②1<t≤2,P在边CD上,Q在边BC上,如图,∵DP=2(t-1)=2t-2,BQ=2(t-1)=2t-2,QC=PC=4-2t,∴S=S正方形ABCD-S△ABQ―S△ADP―S△CPQ=2×2-×2×(2t-2)-×2×(2t-2)-×(4-2t)2=-2t2+4t=,所以D错误.
    故选C.

    【关键点拨】
    本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积,二次函数的图象与性质,能够对t的取值正确分类并且分别求出S与t之间的函数关系式是解题的关键.学&科网
    7.如图,正方形和正方形的顶点在轴上,顶点,在轴上,点在边上,反比例函数的图象经过点、和边的中点.若,则正方形的面积为( )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    ∵M点为EF的中点,∴M点的坐标为().
    ∵点M在反比例函数y的图象上,∴•2,整理得:3a2+2a﹣8=0,解得:a1,a2=﹣2(舍去),∴正方形DEFG的面积=2•EN•DF=2•••.学科*网
    故选B.

    【关键点拨】
    本题是反比例函数综合题.熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质;理解坐标与图形性质,记住线段中点的坐标公式;会解一元二次方程.
    8.如图,一次函数 y=-x+b 与反比例函数y=(x>0)的图象交于 A,B 两点,与 x 轴、y轴分别交于C,D 两点,连接 OA,OB,过 A 作 AE⊥x 轴于点 E,交 OB 于点F,设点 A 的横坐标为 m. 若 S△OAF+S 四边形 EFBC=4,则 m 的值是( )

    A.1 B. C. D.
    【答案】C
    ∴EF=AM=NB,
    ∴EF是△OBN的中位线,
    ∴N(2m,0),
    ∴点B坐标(2m,)代入直线y=-x+m+,
    ∴=-2m+m+,整理得到m2=2,
    ∵m>0,学科*网
    ∴m=.
    故答案为.
    【关键点拨】
    本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识,解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段,学会设参数解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
    9.如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(﹣2,2),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上,则t的值是( )

    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    如图,∵点A坐标为(﹣2,2),
    ∴k=﹣2×2=﹣4,

    ∴B′P⊥y轴,
    ∴点B′的坐标为(﹣,t),
    ∵PB=PB′,[来源:学#科#网]
    ∴t﹣2=|﹣|=,
    整理得t2﹣2t﹣4=0,解得t1=1+,t2=1﹣(不符合题意,舍去),
    ∴t的值为1+,学&科网
    故选D.

    【关键点拨】
    本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质;解决问题的关键是会用求根公式法解一元二次方程.
    10.如图,抛物线交轴与点和,交轴于点,抛物线的顶点为,下列四个命题:
    ①当时,;
    ②若,则;
    ③抛物线上有两点和,若,且,则;
    ④点关于抛物线对称轴的对称点为,点,分别在轴和轴上,当时,四边形周长的最小值为.
    其中真命题的序号是( )

    A.① B.② C.③ D.④
    【答案】C
    ④如图,作D关于y轴的对称点D′,E关于x轴的对称点E′,
    连接D′E′,D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值.
    当m=2时,二次函数为y=-x2+2x+3,顶点纵坐标为y=-1+2+3=4,D为(1,4),则D′为(-1,4);C点坐标为C(0,3);则E为(2,3),E′为(2,-3);
    则DE=;D′E′=,
    ∴四边形EDFG周长的最小值为+,故本选项错误.

    故选:C.学*科网
    【关键点拨】
    考查了二次函数综合题,涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称--最短路径问题等.
    二、填空题
    11.将抛物线绕顶点旋转180°,再沿对称轴平移,得到一条与直线交于点(2,)的新抛物线,新抛物线的解析式为______________.
    【答案】
    【关键点拨】
    本题考查的是二次函数的图象与几何变换,根据题意得出抛物线y=3x2-6x+5绕顶点旋转180°后所得抛物线的解析式是解答此题的关键.
    12.如图,在第一象限内作射线,与轴的夹角为,在射线上取点,过点作轴于点.在抛物线上取点,在轴上取点,使得以,,为顶点,且以点为直角顶点的三角形与全等,则符合条件的点的坐标是________.

    【答案】,
    ②当∠POx=30°时,kOP=tan30°=,所以,直线OP:y=x,联立抛物线的解析式,,解得: 或
    即P.
    【关键点拨】
    本题考查了三角形的全等与二次函数的应用,此题的难度并不大,抓住两个关键条件:①点Q为直角顶点,②以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等是解题关键.
    13.如图,点A是反比例函数y= (x>0)的图象上一点,OA与反比例函数y= (x>0)的图象交于点C,点B在y轴的正半轴上,且AB=OA,若△ABC的面积为6,则k的值为________.

    【答案】9

    ∴S△AHO=S△AOE=k,
    ∵AB=AO,
    ∴BH=OH,
    ∴S△ABH=S△AOH=k,
    ∴S△AOB=k,
    ∵点C反比例函数y=(x>0)的图象上,
    ∴S△COD=,
    ∵CD∥AE,

    【关键点拨】
    本题考查反比例函数系数k的几何意义,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题关键.
    14.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点P为第一象限抛物线上一点,且∠DAP=45°,则点P的坐标为______.

    【答案】(,)
    【解析】
    如图所示:构造△AKD≌△DNM,连接AM.


    设直线AM的解析式y=kx+b.将点A、点M的解析式代入得:

    解得:.
    ∴直线AM的解析式为y=x+.
    将y=x+与y=-x2+2x+3联立.
    解得:x=,y=或x=-1,y=0(舍去).
    ∴点P的坐标为(,).
    【关键点拨】
    本题主要考查的是二次函数的综合应用,一次函数的图象和性质、解二元二次方程组,构造△AKD≌△DNM是解题的关键.学科*网
    15.如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为_____.

    【答案】
    【解析】
    连接AC,与对称轴交于点P,



    点P是抛物线对称轴上任意一点,
    则PA=PB,
    PA+PC=AC,
    PB+PC=
    DE+DF的最小值为:
    故答案为:
    【关键点拨】
    考查二次函数图象上点的坐标特征,三角形的中位线,勾股定理等知识点,找出点P的位置是解题的关键.
    16.以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的方向为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BE⊥AC,垂足为E.若双曲线y=(x>0)经过点D,则OB•BE的值为___.

    【答案】3
    【解析】
    如图,

    ∵双曲线y=(x>0)经过点D,
    ∴S△ODF=k=,
    则S△AOB=2S△ODF=,即OA•BE=,
    ∴OA•BE=3,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴OA=OB,
    ∴OB•BE=3,
    故答案为:3.
    【关键点拨】
    本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征,解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质.学科*网
    17.如图,

    过抛物线上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣1,在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D,连结BD,则线段BD的最小值为______.
    【答案】2

    ∵A、B关于对称轴对称,
    ∴B(4,3),
    如图1中,


    【关键点拨】
    本题考查抛物线中最短路径问题、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质,学会利用辅助圆解决最短问题,属于中考常考题型.
    18.如图,直线y=-x+b与双曲线分别相交于点A,B,C,D,已知点A的坐标为(-1,4),且AB:CD=5:2,则m=_________.

    【答案】

    【关键点拨】
    本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用轴对称的性质解决问题,属于中考常考题型.
    19.如图,已知△AOD是等腰三角形,点A(12,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P,O两点的二次函数y1,和过P、A两点的二次函数y2,的开口均向下,它们的顶点分别为B,C,点B,C分别在OD、AD上.当OD=AD=10时,则两个二次函数的最大值之和等于_____.

    【答案】8

    由勾股定理得:DE==8.
    设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,
    ∵BF∥DE∥CM,
    ∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,
    ∴,,
    ∵AM=PM=(OA-OP)=(12-2x)=6-x,[来源:Z.xx.k.Com]
    即,,
    解得:BF=x,CM=8-x,
    ∴BF+CM=8.学科*网
    故答案为:8.
    【关键点拨】
    此题考查了二次函数的最值,勾股定理,等腰三角形的性质,以及相似三角形的性质和判定的应用,题目比较好,但是有一定的难度,属于综合性试题.
    20.卤肉店老板小王准备到批发市场购买牦牛肉和黄牛肉,总共不超过120千克,其中黄牛肉至少购买30千克,牦牛肉不少于黄牛肉质量的2倍,已知牦牛肉和黄牛肉单价之和为每千克44元,但小王在做预算时将这两种牛肉的价格记反了,结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了224元,若牦牛肉和黄牛肉的单价和数量均为整数,则小王实际购买这两种牛肉最多需花费______ 元.
    【答案】2752
    【关键点拨】
    本题考查一元一次不等式、一次函数的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题,学会利用一次函数的性质解决最值问题,属于中考填空题中的压轴题.
    三、解答题
    21.如图,在平面直角坐标系中,抛物线分别与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,直线EF垂直平分线段BC,分别交BC于点E,y轴于点F,交x轴于D.
    判定的形状;
    在线段BC下方的抛物线上有一点P,当面积最大时,求点P的坐标及面积的最大值;
    如图,过点E作轴于点H,将绕点E逆时针旋转一个角度,的两边分别交线段BO,CO于点T,点K,当为等腰三角形时,求此时KT的值.

    【答案】 △ABC为直角三角形; 当时,面积最大,最大面积为,此时; 当是等腰三角形时,KT的值为 或.
    【解析】
    为直角三角形,理由如下:


    点A的坐标为,点B的坐标为.
    ,,.

    为直角三角形.





    是直线BC下方抛物线上的点,
    ,学科*网
    当时,面积最大,最大面积为,此时;
    如下图中,


    如图,当时,作于N,于Q,则四边形OQEH是矩形,


    ≌,

    在中,易知,,


    ,,


    综上所述,当是等腰三角形时,KT的值为 或.
    【关键点拨】
    本题考查二次函数综合题、涉及矩形的判定、直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,综合程度较高,属于中考压轴题.学科*网
    22.小明在课外学习时遇到这样一个问题:
    定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2
    (a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求y=-2x2+5x-3函数的“旋转函数”.
    小明是这样思考的:由y=-2x2+5x-3函数可知,a1=-2,b1=5,c1=-3,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的“旋转函数”.
    请参考小明的方法解决下面的问题:
    (1)写出函数y=-2x2+5x-3的“旋转函数”;
    (2)若函数y1=x2+ x-n与y2=-x2-mx-2互为“旋转函数”,求(m+n)2019的值;
    (3)已知函数y=(x-2)(x+3)的图像与轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y= (x-2)(x+3)互为“旋转函数”.
    【答案】(1) y=2x2+5x+3 ;(2)1;(3)见解析.

    ∴(m+n)2019=(3-2)2019 =1

    【关键点拨】
    此题重点考察学生对二次函数的实际应用能力,掌握旋转函数的规律是解题的关键.
    23.如图,直线y=x+c与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,C.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)已知点P是抛物线上的一个动点,并且点P在第二象限内,过动点P作PE⊥x轴于点E,交线段AC于点D.
    ①如图1,过D作DF⊥y轴于点F,交抛物线于M,N两点(点M位于点N的左侧),连接EF,当线段EF的长度最短时,求点P,M,N的坐标;
    ②如图2,连接CD,若以C,P,D为顶点的三角形与△ADE相似,求△CPD的面积.

    【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)①点P坐标为(﹣2,6),点M、N的坐标分别为(,2)、(,2);②△CPD的面积为或4.

    (2)①∵四边形DEOF为矩形,故:EF=OD,
    当OD垂直于AC时,OD最小(即EF最小),
    ∵OA=OC,
    ∴点D为AC的中点,其坐标为(﹣2,2),
    故点P坐标为(﹣2,6),
    把点D纵坐标代入二次函数表达式得:﹣x2﹣3x+4=2,
    解得:x=,学*科网
    故点M、N的坐标分别为(,2)、(,2);
    ②当△ADE∽△CDP时,则∠CPD=90°,PC=PD,
    则PC∥x轴,则点P的纵坐标为4,则点P坐标为(﹣3,4),
    点D在直线AC:y=x+4上,则点D坐标为(﹣3,1),
    则PD=4﹣1=3=PC,
    则S△CPD=×PC•PD=;
    当△ADE∽△PDC时,
    同理可得:S△CPD=×PD•CH=4,
    故:△CPD的面积为或4.
    【关键点拨】
    本题考查的是二次函数知识的综合运用,涉及到三角形相似、矩形基本性质等知识点,其中(2),利用矩形性质OD=EF,确定EF最小值,是本题的难点.学*科网
    24.已知抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a<0)的顶点为A,与y轴交于点C,过C作CB∥x轴交抛物线于点B,过点B作直线l⊥x轴,连结OA并延长,交l于点D,连结OB.
    (1)当a=﹣2时,求线段OB的长.
    (2)是否存在特定的a值,使得△OBD为等腰三角形?若存在,请写出计算过程并求出a的值;若不存在,请说明理由.
    (3)设△OBD的外心M的坐标为(m,n),求m与n的数量关系式.

    【答案】(1)2 (2)a=﹣1或- (3)m=3n2+2

    ∴点B(4,﹣6),
    ∴BC=4,OC=6,
    ∴OB═ =2 ;
    (2)在y═a(x﹣1)(x﹣3)中,令x═0,得y═3a,
    ∴C(0,3a),B(4,3a),
    ∵点A是抛物线的顶点,
    ∴A(2,-a),
    过A作AE⊥x轴于点E,AE延长线与CB交于点F,
    将BD与x轴的交点记为点G,
    则E为OG的中点,
    ∵AE∥BD,
    ∴DG=2AE=﹣2a,
    ∴BD=DG+BG=﹣5a,
    当△OBD为等腰三角形时,分类讨论:

    (3)∵BD=DG+BG=﹣5a,


    【关键点拨】
    本题考查二次函数的综合题,求函数的解析式,勾股定理,三角形的外接圆与外心,等腰三角形的性质,正确的理解题意是解题关键.
    25.如图,一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA,O恰好在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,按如图所示建立直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线经过点B(,2),C(2,).请根据以上信息,解答下列问题;
    (1)求抛物线的函数关系式,并确定喷水装置OA的高度;
    (2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米?
    (3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?

    【答案】(1)y=﹣x2+2x+,喷水装置OA的高度是米;(2)喷出的水流距水面的最大高度是米;(3)水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至于落在池外.

    (2)∵y=﹣x2+2x+=﹣(x﹣1)2+,
    ∴当x=1时,y取得最大值,此时y=,
    答:喷出的水流距水面的最大高度是米;
    (3)令﹣x2+2x+=0,学科*网
    解得,x1=﹣0.5,x2=2.5,
    答:水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
    【关键点拨】
    本题主要考察二次函数的实际应用问题,正确理解题意是解题的关键.
    26.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC=ED,求点E的坐标;
    (3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

    【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E点坐标为(,﹣);(3)点Q的坐标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析.
    (2)连接BE、OE.


    设E点坐标为(m,﹣m),将E(m,﹣m)代入y=x2﹣2x﹣3,
    得m=m2﹣2m﹣3,解得m=,
    ∵点E在第四象限,
    ∴E点坐标为(,﹣);
    (3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,则S△ACQ=S△ACF.

    ∵S△ACQ=2S△AOC,
    ∴S△ACF=2S△AOC,
    ∴AF=2OA=2,
    ∴F(1,0).
    ∵A(﹣1,0),C(0,﹣3),
    ∴直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.
    ∵AC∥FQ,

    【关键点拨】
    本题是二次函数综合题,其中涉及到一元二次方程根与系数的关系,求二次函数的解析式,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数图象与几何变换,待定系数法求直线的解析式,抛物线与直线交点坐标的求法,综合性较强,难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.
    27.已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P(,8),Q(4,m)两点,与x轴交于A点.
    (1)写出点P关于原点的对称点P′的坐标;
    (2)分别求出这两个函数的表达式;
    (3)求∠P′AO的正切值.

    【答案】(1)(﹣,﹣8);(2)y=﹣2x+9;(3).



    【关键点拨】
    本题主要考查了反比例函数综合题型,需要掌握反比例函数与一次函数的交点问题,中心对称以及解直角三角形,解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式.学*科网
    28.如图,已知二次函数和二次函数图象的顶点分别为M、N ,与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边),
    (1))函数的顶点坐标为 ;当二次函数L1 ,L2 的值同时随着的增大而增大时,的取值范围是 ;
    (2)当AD=MN时,求的值,并判断四边形AMDN的形状(直接写出,不必证明);
    (3)当B,C是线段AD的三等分点时,求a的值.

    【答案】(1)顶点坐标为M(-1,-2),;(2)四边形AMDN是矩形,理由见解析;(3)

    (2)如图1,=5,
    当y=0时,即,解得,,
    当y=0时,即,,,
    ∴AD=()-()=,
    当AD=MN时,即=5,解得a=2 .
    当 a=2时,学*科网
    =-2,=3,
    ∵AN=,DM=,
    ∴AN=DM,
    ∵AM=,DN=,
    ∴AM=DN,
    ∴四边形AMDN是平行四边形,
    ∵AD=3-(-2)=5,MN=5,
    ∴AD=MN,
    ∴四边形AMDN是矩形 ;

    (3)当B,C是线段AD的三等分点时,存在以下两种情况: [来源:学科网ZXXK]
    ①点C在点B的左边,如图2,BC=()-()=,AC=BD=3 ,
    即 =3,解得 ;

    【关键点拨】
    本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化,二次函数的图像与性质,两点间的距离公式,矩形的判定,数形结合及分类讨论的数学思想.掌握一般式化顶点式的方法是解(1)的关键;灵活运用两点间的距离公式是解(2)的关键;分两种情况求解是解(3)的关键.
    29.数学问题:如何计算平面直角坐标系中任意两点之间的距离?

    探究问题:
    为解决上面的问题,我们从最简单的问题进行研究.
    探究一:在图1中,已知线段AB,A(﹣2,0),B(0,3),写出线段AO的长,BO的长,所以线段AB的长为多少;把Rt△AOB向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到Rt△CDE,写出Rt△CDE的顶点坐标C,D,E,此时线段CD的长为多少,DE的长为多少,所以线段CE的长为多少.
    探究二:在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d),求出图中AB的长(用含a,b,c,d的代数式表示,不必证明).
    归纳总结:无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,当其端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)时线段AB的长为多少(用含x1,y1,x2,y2的代数式表示,不必证明).
    拓展与应用:
    运用在图3中,一次函数y=﹣x+3与反比例函数y=的图象交点为A、B,交点的坐标分别是A(1,2),B(2,1).
    ①求线段AB的长;
    ②若点P是x轴上动点,求PA+PB的最小值.
    【答案】探究一:AO=2,BO=3,AB=;Rt△CDE的顶点坐标分别为C(1,2),D(3,2),E(3,5),CD=2,DE=3,CE=;探究二: AB=;归纳总结:AB=;拓展与应用:①AB=,②PA+PB的最小值是.
    探究二:在图2中,过B作BC∥y轴,过A作AC∥x轴,交于C.
    ∵A(a,b),B(c,d),∴AC=c﹣a,BC=d﹣b,由勾股定理得:AB.
    故答案为:AB=;
    归纳总结:
    ∵A(x1,y1),B(x2,y2)
    ∴同理得:AB.
    故答案为:;
    拓展与应用:
    ①∵A(1,2),B(2,1),∴AB;
    ②作点A关于x轴的对称点A',连接A'B交x轴于点P,此时PA+PB的值最小.
    ∵A(1,2),∴A'(1,﹣2),∴PA+PB=A'B,即PA+PB的最小值是.

    【关键点拨】
    本题是反比例函数综合题目,考查了两点之间的距离公式、勾股定理和最短路径问题,本题难度适中,本题两点距离公式的得出需要通过作辅助线构建直角三角形完成.学&科网
    30.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(1,4),B(4,n)两点.
    (1)求反比例函数和一次函数的解析式;
    (2)直接写出当x>0时,kx+b<的解集.
    (3)点P是x轴上的一动点,试确定点P并求出它的坐标,使PA+PB最小.

    【答案】(1)y=,y=﹣x+5;(2)0<x<1或x>4;(3)点P的坐标为(,0)
    【解析】

    (2)根据图象得当0<x<1或x>4,一次函数y=﹣x+5的图象在反比例函数y=的下方;
    ∴当x>0时,kx+b<的解集为0<x<1或x>4;
    (3)如图,作B关于x轴的对称点B′,连接AB′,交x轴于P,此时PA+PB=AB′最小,
    ∵B(4,1),学科*网
    ∴B′(4,﹣1),
    设直线AB′的解析式为y=px+q,
    ∴,
    解得,
    ∴直线AB′的解析式为y=﹣x+,
    令y=0,得﹣x+=0,
    解得x=,
    ∴点P的坐标为(,0).

    【关键点拨】
    本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式,轴对称的性质,最小距离问题,这里体现了数形结合的思想,正确的理解距离和最小问题是解题的关键.
    31.如图,以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,4),作直线AC.
    (1)求抛物线解析式;
    (2)点P在抛物线的对称轴上,且到直线AC和x轴的距离相等,设点P的纵坐标为m,求m的值;
    (3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线AC上,点Q为第一象限内抛物线上一点,若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形,请直接写出点Q的坐标.

    【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)m的值为1或﹣4;(3)点Q的坐标为(1,)或(, ).

    (2)设直线AC的解析式为y=kx+p,
    把A(3,0),C(0,4)代入得,解得,
    ∴直线AC的解析式为y=﹣x+4;
    令对称轴与直线AC交于点D,与x轴交于点E,作PH⊥AD于H,如图1,

    当x=1时,y=﹣x+4=,则D(1,),
    ∴DE=,学科&网
    在Rt△ADE中,AD==,
    设P(1,m),则PD=﹣m,PH=PE=|m|,
    ∵∠PDH=∠ADE,
    ∴△DPH∽△DAE,
    ∴,即,解得m=1或m=﹣4,
    即m的值为1或﹣4;
    当CM为菱形的边时,四边形CNQM为菱形,如图3,则NQ∥y轴,NQ=NC,
    ∴N(t,﹣t+4),
    ∴NQ=﹣t2+t+4﹣(﹣t+4)=﹣t2+4t,
    而CN2=t2+(﹣t+4﹣4)2=t2,即CN=t,
    ∴﹣t2+4t=t,解得t1=0(舍去),t2=,此时Q点坐标为(,),
    综上所述,点Q的坐标为(1,)或(,).

    【关键点拨】
    本题主要考查了二次函数的综合,相似三角形的判定与性质,菱形的判定等,综合性强,难度较大,属于中考压轴题,解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
    32.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=k1x+2与x轴、y轴分别交于点A、B两点,OA=OB,直线l2:y=k2x+b经过点C(1,﹣),与x轴、y轴和线段AB分别交于点E、F、D三点.
    (1)求直线l1的解析式;
    (2)如图①:若EC=ED,求点D的坐标和△BFD的面积;
    (3)如图②:在坐标轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1);(2)D(3,),面积为6;(3)存在,满足条件的点P坐标为(0,4﹣6)或(2,0),理由见解析
    【解析】
    (1)∵直线y=k1x+2与y轴B点,
    ∴B(0,2),
    ∴OB=2,
    ∵OA=OB=6,
    ∴A(6,0),
    把A(6,0)代入y=k1x+2得到,k1=﹣,
    ∴直线l1的解析式为y=﹣x+2.
    (2)如图1中,作CM⊥OA于M,DN⊥CA于N.


    解得,
    ∴直线CD的解析式为y=x﹣2,
    ∴F(0,﹣2),
    ∴S△BFD=×4×3=6.
    (3)①如图③﹣1中,当PC=PD,∠CPD=90°时,作DM⊥OB于M,CN⊥y轴于N.设P(0,m).



    【关键点拨】
    本题属于一次函数综合题,考查了待定系数法,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
    33.如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点.[来源:Zxxk.Com]
    求一次函数与反比例函数的表达式;
    求的面积;
    根据所给条件,请直接写出不等式的解集.

    【答案】 ,; ;,.

    即点A的坐标为:,点B的坐标为:,
    把点和点代入一次函数得:

    解得:,
    即一次函数的表达式为:,
    把代入一次函数得:


    【关键点拨】
    本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式;利用待定系数法求函数的解析式.也考查了观察函数图象的能力.
    34.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B.点P是x轴上一个动点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.设点P的横坐标为m.
    (1)点A的坐标为   .
    (2)求这条抛物线所对应的函数表达式.
    (3)点P在线段OA上时,若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似,求m的值.
    (4)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),称E、F、P三点为“共谐点”.直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值.

    【答案】(1)(4,0)(2)y=﹣x2+x+2(3),(4)﹣1或﹣或

    (3)∵P(m,0),E(m,﹣m2+m+2),F(m,﹣m+2),
    ∵且∠BFE=∠AEP,
    ∴∠BEP=∠APF=90°或∠EBF=∠APF=90°,
    则有BE⊥PE,
    ∴E点的纵坐标为2,
    ∴解得m=0(舍去)或m=,
    如图1,过点E作EC⊥y轴于点C,
    则∠EBC+∠BEC=90°,EC=m,BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m,
    ∵∠EBF=90°,
    ∴∠EBC+∠ABO=90°,
    ∴∠ABO=∠BEC,
    ∴Rt△ECB∽Rt△BOA,
    ∴,
    ∴,解得m=0(舍去)或m=,
    解得,m=,
    综上所述,以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似,m的值=,

    【关键点拨】
    本题考查了二次函数的图像和性质,相似三角形的性质,二次函数与动点的问题,综合性强,难度较大,熟悉二次函数的性质是解题关键.


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