专题11 圆问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版）

这是一份专题11 圆问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版），共49页。

一、单选题
1．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　）

A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C

【关键点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题
2．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（　　）

A．25° B．35° C．15° D．20°
【答案】A

【关键点拨】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．
3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8
【答案】A
【解析】
利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4，
故选A．学科*网
【关键点拨】
本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
4．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（　　）

A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【答案】D

【关键点拨】
本题考查的知识点是圆周角定理与推论，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与推论.
5．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】

【关键点拨】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE2+BE2的值为 （ ）

A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】
∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，学科&网
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=，
∴EF=4；
连接BD，


【关键点拨】
本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键.
7．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为　　

A．76° B．56° C．54° D．52°
【答案】A
【解析】
∵MN是⊙O的切线，
∴，学科&网
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【关键点拨】
考查了圆周角定理和切线的性质.关键是利用圆的切线垂直于经过切点的半径解题.
8．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是　　

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，连接AD．


故选：D．
【关键点拨】
考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
9．如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．12π+18 B．12π+36 C．6π+18 D．6π+36
【答案】C

∴S扇形BOD==24π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）
==18+6π，
故选C．

【关键点拨】
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．
10．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C

【关键点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．
11．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）

A． B． C．34 D．10
【答案】D
【解析】
设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．


【关键点拨】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
12．如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
连接OD


【关键点拨】
本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
二、填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为_____．

【答案】．
【解析】
如图，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD=AB=5，
连接DF，

∴∠BFG+∠B=90°，
∴FG⊥AB，
∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，
∴FG=，
故答案为.
【关键点拨】
此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．学科*网
14．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为　 　．

【答案】a．
【解析】
如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，同理可得，H为的圆心，


∴GE=FG=a，
同理可得，EH=FH=a，
∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，
∴GO=BC=a，
∴Rt△OEG中，OE=，
∴EF=a，
故答案为：a．
【关键点拨】
本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
15．如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO=15°，则∠ACB=_____．

【答案】60°．

∵∠BDO=15°，
∴∠BDC=30°，
∴∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
故答案为：60°．
【关键点拨】
本题考查了圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的内容是解题的关键．
16．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A,B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1,则该半圆的半径为_______________.

【答案】4

解得r=4，
故答案为：4.

【关键点拨】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
17．如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为_______．

【答案】

∵AE=AO=2，∴AD=CO=1，
在Rt△ABD中，BD=.

【关键点拨】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理等，综合性较强，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.学&科网
18．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为______cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为____cm．

【答案】30 10-10
【解析】
（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．

∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=15，
∴B1C1=30
∴弓臂两端B1，C1的距离为30

【关键点拨】
本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；
②扇形OBC的面积为π；
③△OCF∽△OEC；
④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．

【答案】①③④．

【关键点拨】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定与性质，结合图形以及已知条件，熟练掌握和灵活运算相关知识是解题的关键.学科*网
20．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为a2；
其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．

【答案】①③④

∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，


【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.
21．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为________cm．

【答案】8.
【解析】
设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：


∴OP=7cm，
设OB为x，
∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，
∴BH=X,OH=，
∴PH=5-x，
在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2,即;
解得：x1=8,x2=-3（舍）
故该圆的半径为8cm.
故答案为:8.
【关键点拨】 本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力.试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界；在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题.
22．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．

【答案】2-2
【解析】
如图：

取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，

【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
23．如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为__．（结果保留

【答案】π．
【解析】
如图所示，连接OE交BD于点F，

∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD=2，OE⊥BC，学科*网
∴OE=OD=2，
在矩形中，
∵
∴四边形OECD为正方形，
∴CE=OD=2，
∴BE=BC-CE=2，
∴BE=DO，
∵AD//BC，
∴
∴△EFB≌△OFD，
∴阴影部分的面积= .
故答案为：π．
【关键点拨】
本题考查了切线的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式等知识.正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的求法是解题的关键.学&科网
24．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．

【答案】

【关键点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，扇形面积，熟练掌握相关内容是解题的关键.
三、解答题
25．如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．
（1）求证：CM2=MN.MA；
（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．
[来源:学科网ZXXK]
【答案】（1）见解析；（2）CM=2.

（2）连接、，

是的切线，
，
又，
，
设的半径为，
，
，
解得：，
又是直径，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得，即，
则，学科&网
．
【关键点拨】
本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点
26．如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．
（1）证明：；
（2）若，证明：与相切；
（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
（1）连接OC.

在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；

在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，
∴AO2+AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴DA与⊙O相切；
（3）连接AF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠BAD＝90°．
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴，
即DF•BD＝AD2①．
又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴，
即OD•DE＝AD2②，

【关键点拨】
本题主要考查圆的综合知识. 解题的关键是在圆中综合运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识进行推理证明．
27．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．

（2）如图2，连接OD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，学&科网
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC=DH=1，
在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，
∴∠ACB=60°，
∴BC=AC=OD，
∴DH=OD，
在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°，
设DE交AC于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH=∠ACB=60°，
∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，
∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠DOC=20°，
∴∠CBD=∠OAD=20°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE=∠CBD=20°．
【关键点拨】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键.
28．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．

（1）求证：BE是⊙O的切线；[来源:学+科+网]
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．

（2）∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠EBC，
∴∠A=∠BCG，
∵∠CBG=∠ABC
∴△ABC∽△CBG，
∴，即=BG•BA=48，
∴BC=，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，[来源:Z#xx#k.Com]
∴△BFC∽△BCD，
∴=BF•BD，
∵DF=2BF，
∴BF=4，学科&网
在RT△BCF中，CF==，
∴CG=CF+FG=，
在RT△BFG中，BG==，
∵BG•BA=48，
∴BA=，即AG=，
∴CG=AG，
∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，
∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=，
∵△ABC∽△CBG，
∴，
∴AC==，
∴AH=AC﹣CH=．

【关键点拨】
证明切线常用方法为链接切点与圆心，通过角的代换或者全等，平行等来证明直角.并且构造直径所对的圆周角是常见找直角的方法.灵活运用圆周角定理找等角及相似三角形.
29．如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．
求证：DC为的切线；
线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．

【答案】证明见解析；．
【解析】
（1）如图，连接OC，

为的直径，
，
，
，
，
，
，即，
为的切线；

，
舍或，
，，
，
设，
，
，
，
，
∽，
，
，，
．学&科网
【关键点拨】
本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
30．如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）

【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）连接OD．

【关键点拨】
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
31．如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

【答案】（1）∠PMO=135°；（2）内心M所经过的路径长为2πcm．
【解析】
（1）∵△OPE的内心为M，
∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，
∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），
∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，
∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°；

【关键点拨】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹．
32．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

（2）∵tan∠ABC==2，
∴设BC=a、则AC=2a，
∴AD=AB=，
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，
在△AED中，DE==2a，
在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，
OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则DA与⊙O相切；
（3）如图，连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴，即DF•BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，学科*网
∴，即OD•DE=AD2②，
由①②可得DF•BD=OD•DE，即，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∴，
∵BC=1，
∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，
∴，
∴EF=.

【关键点拨】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形是解题的关键.
33．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2=CE•CP；
（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

（2）∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，[来源:Zxxk.Com]
∴∠BCE=∠BCP，
∵CD是直径，
∴∠CBD=∠CBP=90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴，
∴BC2=CE•CP；

∴BM=a，
∴tan∠BCM=，
∴∠BCM=30°，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴的长=．

【关键点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.
34．已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．

（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
【答案】（1）AC=；（2）cot∠ABD=；（3）S△ACD=．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【解析】
（1）∵OD⊥AC，
∴+，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴=，即+=+，
∴=，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF=1×=，
则AC=2AF=；
（2）如图1，连接BC，


∴OF是△ABC的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO﹣OF=1﹣t，
∴1﹣t=2t，
解得：t=，
则DF=BC=、AC==，
∴EF=FC=AC=，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
则cot∠ABD=cot∠D=；
（3）如图2，


【关键点拨】本题考查了圆的综合题、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活应用垂径定理、正弦三角函数、余弦三角函数、余切三角函数、全等三角形的判定与性质、正多边形与圆等知识是解题的关键.
35．已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．
（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）如图1，


（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，


∵EP⊥BN，
∴∠BPE=∠EPL=90°，
∴∠LEP+∠ELP=90°，
∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，
∵HM⊥KD，
∴∠KMH=∠BPE=90°，
∴△BEP≌△HKM，
∴BE=HK；
（3）解：如图3，连接BD，

∵3HF=2DF，BP=FH，
∴设HF=2a，DF=3a，
∴BP=FH=2a，

∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°-∠ABF，∠BDE=45°-∠ADE，
∴∠DBF=∠BDE，
∵∠BED=∠F，BD=BD，
∴△BED≌△DFB，
∴BE=FD=3a，
过H作HS⊥BD，垂足为S，
∵tan∠ABH=tan∠ADE=，
∴设AB=3m，AH=2m，
∴BD=AB=6m，DH=AD-AH=m，
∵sin∠ADB=，
∴HS=m，
∴DS==m，
∴BS=BD-DS=5m，
∴tan∠BDE=tan∠DBF=，
∵∠BDE=∠BRE，∴tan∠BRE=，
∵BP=FH=2a，
∴RP=10a，

【关键点拨】此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
36．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　．

【答案】（1）AP=；（2）＜AP＜或AP=5．

（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S▱ABCD=×6×8×2=10PG，
PG=，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP=5，学科*网
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．
故答案为：＜AP＜或AP=5．

【关键点拨】
本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.