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广东省深圳市民治中学八年级上学期期末数学试卷
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这是一份广东省深圳市民治中学八年级上学期期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市民治中学 八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分．）
1．9 的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C． D．
2．二元一次方程 2x﹣y=1 有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．某班抽取期 2016 届中考试中 6 名同学的数学成绩是 80，90，50，70，60，80．则众数和中位数
分别是（
）
A．80，80
B．80，75
C．80，70
D．70，75
4．已知 是方程 kx﹣y=3 的一个解，那么 k 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
6．在直角坐标系中，若点 P（a，b）在第二象限中，则点 Q（﹣a，﹣b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知正比例函数 y=kx 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则一次函数 y=kx﹣k 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 穴的分孽数后，计算出样本方差分别为 S 甲 2=11，S 乙 2=3.4， 由此可以估计（ ）
A．甲比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐
C．分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比
10．下列说法中正确的个数是（ ）
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②数据 3，5，4，2，﹣1 的中位数是 3．
③正比例函数 y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k）．
④无限小数都是无理数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
11．小强每天从家到学校上学行走的路程为 900m，某天他从家去上学时以每分 30m 的速度行走了
450m，为了不迟到他加快了速度，以每分 45m 的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程 s
（m）与他行走的时间 t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
12．如图，四棱柱的高为 9 米，底面是边长为 6 米的正方形，一只蚂蚁从如图 1 的顶点 A 开始，爬 向顶点 B．那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10 米B．12 米C．15 米D．20 米
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分．）
13．点（﹣2，3）在正比例函数 y=kx 的直线上，则 k= ．
14．如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是，则[来源:Zxxk.Com]
“炮”所在位置的坐标是 ．
15．某公司招聘广告策划人员一名，对前来应聘的两人进行了 3 项素质测试，右表记录了他们两人 的测试成绩：如果公司根据实际需要，对创新、语言、综合知识三项测试成绩分别赋予权 4，3，2， 那么将录用素质测试成绩最高的人员是 ．
素质测试
测试成绩
小赵
小李
创新
70
90
语言
50
75
综合知识
82
36
16．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点
E，则 CD= ．
三、解答题（本大题共七个小题，共计 52 分）
17．化简：
①[来源:学科网]
② ．
18．解方程组： ．
19．如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD 平分∠CAE．
20．为了进一步了解 2015～2016 学年度八年级学生的身体素质情况，体育老师对 2015～2016 学年 度八年级（1）班 50 位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表 和部分频数分布直方图．如下所示：
组别
次数 x
频数（人数）
第 1 组
80≤x＜100
6
第 2 组
100≤x＜120
8
第 3 组
120≤x＜140
a
第 4 组
140≤x＜160
18
第 5 组
160≤x＜180
6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的 a= ； 请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第 组；
（4）若 2015～2016 学年度八年级学生一分钟跳绳次数（x）在 x≥120 时为达标，计算该班学生测试 成绩达标率为多少．
21．列方程组解应用题：打折前，买 10 件 A 商品和 5 件 B 商品共用了 400 元，买 5 件 A 商品和 10
件 B 商品共用了 350 元．
（1）求打折前 A 商品、B 商品每件分别多少钱？
打折后，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共用了 3800 元．比不打折少花多少钱？
22．已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5）
（1）求一次函数的表达式；
此函数与 x 轴的交点是 A，与 y 轴的交点是 B，求△AOB 的面积；
（3）求此函数与直线 y=2x+4 的交点坐标．
23．已知四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，分别以 OA、OC 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图
1 所示的平面直角坐标系，直线 l 经过 A、C 两点．
（1）求直线 l 的函数表达式；
若 P 是直线 l 上的一个动点，请直接写出当△OPA 是等腰三角形时点 P 的坐标；
（3）如图 2，若点 D 是 OC 的中点，E 是直线 l 上的一个动点，求使 OE+DE 取得最小值时点 E 的 坐标．
广东省深圳市民治中学 八年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分．）
1．9 的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C． D．
【考点】算术平方根．
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：9 的算术平方根是 3， 故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
2．二元一次方程 2x﹣y=1 有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程的解．
【分析】根据二元一次方程 2x﹣y=1 的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方 程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解答】解：A、把 x=1，y=1 代入方程，左边=2﹣1=1=右边，所以是方程的解；
B、把 x=2，y=3 代入方程，左边=右边=1，所以是方程的解；
C、把 x=﹣1，y=﹣3 代入方程，左边=1=右边，所以是方程的解； D、把 x=﹣1，y=﹣2 代入方程，左边=0≠右边，所以不是方程的解． 故选 D．
【点评】考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x，y 的值代入原方 程验证二元一次方程的解．
3．某班抽取期 2016 届中考试中 6 名同学的数学成绩是 80，90，50，70，60，80．则众数和中位数 分别是（ ）
A．80，80 B．80，75 C．80，70 D．70，75
【考点】众数；中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行求解，即可得出答案；．
【解答】解：在这一组数据中 80 是出现次数最多的，故众数是 80； 将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是 70，80，它们的平均数是 75，那么由中位 数的定义可知，这组数据的中位数是 75．
故选 B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定 要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为 所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
4．已知 是方程 kx﹣y=3 的一个解，那么 k 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【考点】二元一次方程的解．
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数 k 的一元一次方程，从 而可以求出 k 的值．
【解答】解：把 代入方程 kx﹣y=3，得： 2k﹣1=3，
解得 k=2． 故选：A．
【点评】解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数 k 为未知数的方程，利用方 程的解的定义可以求方程中其它字母的值．
5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误； B、42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误； C、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误； D、82+152=172，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长， 只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．在直角坐标系中，若点 P（a，b）在第二象限中，则点 Q（﹣a，﹣b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】根据点 P 在第二象限判断出 a，b 的符号，进而得到﹣a，﹣b 的符号判断出 Q 所在象限即 可．
【解答】解：∵点 P（a，b）在第二象限中，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∴点 Q（﹣a，﹣b）在第四象限， 故选 D．
【点评】考查点的坐标的知识；掌握各个象限点的符号的特点是解决本题的关键．
7．已知正比例函数 y=kx 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则一次函数 y=kx﹣k 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象．
【分析】由于正比例函数 y=kx（k≠0）函数值随 x 的增大而减小，可得 k＜0，﹣k＞0，然后，判断 一次函数 y=kx﹣k 的图象经过象限即可；
【解答】解：∵正比例函数 y=kx（k≠0）函数值随 x 的增大而减小，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数 y=kx﹣k 的图象经过一、二、四象限； 故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数 y=kx+b，当 k＞0，b＞0 时，图象过一、 二、三象限；当 k＞0，b＜0 时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0 时，图象过一、二、四象限； k＜0，b＜0 时，图象过二、三、四象限．
8．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故 A 选项错误；
B、 没有意义，故 B 选项错误；
C、正确；
D、不是同类二次根式，不能合并，故 D 选项错误． 故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确理解同类二次根式的定义是关键．
9．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 穴的分孽数后，计算出样本方差分别为 S 甲 2=11，S 乙 2=3.4， 由此可以估计（ ）
A．甲比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐 C．分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比
【考点】方差．
【专题】应用题．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定来判断．
【解答】解：∵S 甲 2＞S 乙 2，
∴乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐． 故选 B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据 偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各 数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．下列说法中正确的个数是（ ）
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②数据 3，5，4，2，﹣1 的中位数是 3．
③正比例函数 y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k）．
④无限小数都是无理数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】命题与定理．
【分析】利用逆命题的定义、中位数的定义、正比例函数的性质及无理数的定义分别判断后即可确 定正确的选项．
【解答】解：①“对顶角相等”的逆命题是真命题，错误．
②数据 3，5，4，2，﹣1 的中位数是 3，正确．
③正比例函数 y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k），正确．
④无限小数都是无理数，错误， 故选 B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解逆命题的定义、中位数的定义、正比例 函数的性质及无理数的定义等知识，难度不大，属于基础题．
11．小强每天从家到学校上学行走的路程为 900m，某天他从家去上学时以每分 30m 的速度行走了
450m，为了不迟到他加快了速度，以每分 45m 的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程 s
（m）与他行走的时间 t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据行程，按照路程的一半分段，先慢后快，图象先平后陡．
【解答】解：小强离学校的路程 S（米）应随他行走的时间 t（分）的增大而减小，因而选项 A、B
一定错误；
他从家去上学时以每分 30 米的速度行走了 450 米，所用时间应是 15 分钟，因而选项 C 错误； 行走了 450 米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项 D 正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象，解决问题的关键理解以下两点：①理解图象是反映的是哪两个 变量的关系．②理解函数变量是随自变量的增大是如何变化的．理解一些转折点的实际意义．
12．如图，四棱柱的高为 9 米，底面是边长为 6 米的正方形，一只蚂蚁从如图 1 的顶点 A 开始，爬 向顶点 B．那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10 米B．12 米C．15 米D．20 米
【考点】平面展开-最短路径问题．
【专题】计算题．[来源:学科网ZXXK]
【分析】将立体图形展开，有两种不同的展法，连接 AB，利用勾股定理求出 AB 的长，找出最短的 即可．
【解答】解：如图，
（1）AB= = ；
AB= =15，
由于 15＞， 则蚂蚁爬行的最短路程为 15 米． 故选 C．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，要注意，展开时要根据实际情况将图形安不同形 式展开，再计算．
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分．）
13．点（﹣2，3）在正比例函数 y=kx 的直线上，则 k= ﹣ ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（﹣2，3）代入正比例函数 y=kx，求出 k 的值即可．
【解答】解：∵点（﹣2，3）在正比例函数 y=kx 的直线上，
∴3=﹣2k，解得 k=﹣． 故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此
函数的解析式是解答此题的关键．
14．如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是，则
“炮”所在位置的坐标是 （﹣3，2） ．
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据“兵”的位置向左平移两个单位的直线是 y 轴，向下平移三个单位的直线是 x 轴，可得 平面直角坐标系，根据“炮”的位置，可得点的坐标．
【解答】解：由“兵”的位置向左平移两个单位的直线是 y 轴，向下平移三个单位的直线是 x 轴，得
平面直角坐标系 ，
“炮“的位置是（﹣3，2）， 故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，利用“兵”的位置向左平移两个单位的直线是 y 轴，向下平移三 个单位的直线是 x 轴得出平面直角坐标系是解题关键．
15．某公司招聘广告策划人员一名，对前来应聘的两人进行了 3 项素质测试，右表记录了他们两人 的测试成绩：如果公司根据实际需要，对创新、语言、综合知识三项测试成绩分别赋予权 4，3，2， 那么将录用素质测试成绩最高的人员是 小李 ．
素质测试
测试成绩
小赵
小李
创新
70
90
语言
50
75
综合知识
82
36
【考点】加权平均数．
【分析】将小赵和小李的各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，求出加权平均数再比较成绩即可．
【解答】解： = =66；
= =73．
可见，小李分数高， 故答案为：小李．
【点评】本题考查了加权平均数，本题易出现的错误是求 90，75，36 这三个数的平均数，对平均数 的理解不正确．
16．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点
E，则 CD= 3cm ．
【考点】角平分线的性质；勾股定理．
【分析】先利用勾股定理求出 AB，根据角平分线的性质得到 DC=DE，然后得出△ADC≌△ADE， 求出 AE=AC 与 BE 的长，设 CD=x，则 DE=x，DB=8﹣x，在 Rt△BDE 中，利用勾股定理得到 BD2=DE2+BE2，即（8﹣x）2=x2+42，再解方程即可得到 CD 的长．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在 Rt△ADC 和 Rt△ADE 中，
∵ ，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AE=AC=6cm，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4cm，
设 CD=x，则 DE=x，DB=8﹣x，
在 Rt△BDE 中，BD2=DE2+BE2，即（8﹣x）2=x2+42， 解得 x=3，
则 CD 的长为 3cm． 故答案为：3cm．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了勾股定理 以及三角形全等的判定与性质．
三、解答题（本大题共七个小题，共计 52 分）
17．化简：
①
② ．
【考点】实数的运算．
【分析】（1）首先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法公式计算即可求解； 首先分别利用二次根式的性质、0 指数幂的定义、立方根的定义及绝对值的性质化简，然后利用实 数的运算法则计算即可求解．
【解答】解：（1）原式=
=
=6；
原式=
= ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地 2016 届中考题中常见的计算题型．解决此类题目的 关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．解方程组： ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
①+②得：4x=2，即 x=， 把 x=代入①得：y= ，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD 平分∠CAE．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和角平分线的定义进行做题．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠B=∠EAD（两直线平行，同位角相等）
∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等） 又∵∠B=∠C（已知）
∴∠EAD=∠DAC（等量代换）
∴AD 平分∠CAE（角平分线的定义）．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
20．为了进一步了解 2015～2016 学年度八年级学生的身体素质情况，体育老师对 2015～2016 学年 度八年级（1）班 50 位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表 和部分频数分布直方图．如下所示：
组别
次数 x
频数（人数）
第 1 组
80≤x＜100
6
第 2 组
100≤x＜120
8
第 3 组
120≤x＜140
a
第 4 组
140≤x＜160
18
第 5 组
160≤x＜180
6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的 a= 12 ； 请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第 三 组；
（4）若 2015～2016 学年度八年级学生一分钟跳绳次数（x）在 x≥120 时为达标，计算该班学生测试 成绩达标率为多少．
[来源:Zxxk.Com]
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据各组频数之和等于学生总人数列式计算即可得解； 根据图表数据补全条形统计图即可；
（3）根据中位数的定义找出第 25、26 两人所在的组即可；
（4）用第 3、4、5 组的人数之和除以学生总人数，计算即可得解．
【解答】解：（1）6+8+a+18+6=50， 解得 a=12；
补全频率分布直方图如下所示：
（3）∵按照跳绳次数从少到多，第 25、26 两人都在第三组，
∴中位数落在第三组；
（4）∵ ×100%=72%，
∴该班学生测试成绩达标率为 72%． 故答案为：（1）12；（3）三．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时， 必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．列方程组解应用题：打折前，买 10 件 A 商品和 5 件 B 商品共用了 400 元，买 5 件 A 商品和 10
件 B 商品共用了 350 元．
（1）求打折前 A 商品、B 商品每件分别多少钱？
打折后，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共用了 3800 元．比不打折少花多少钱？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）本题的等量关系可表示为：打折前：10 件 A 商品的钱数+5 件 B 商品的钱数=400 元； 5 件 A 商品的钱数+10 件 B 商品的钱数=350 元．据此列出方程组求出打折前 A 商品、B 商品每件分 别多少钱；
先由（1）得出的打折前 A 商品、B 商品每件分别多少钱计算出买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共 用多少钱与打折后，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共用了 3800 元进行比较．
【解答】（1）解：设打折前 A 商品每件 x 元、B 商品每件 y 元，根据题意，得 …
由题意得 …
解之得 …
答：打折前 A 商品每件 30 元、B 商品每件 20 元．… 解：打折前，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共用： 100×30+100×20=5000 （元）…
比不打折少花：5000﹣3800=1200 （元）…
答：打折后，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品比不打折少花 1200 元．…
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
22．已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5）
（1）求一次函数的表达式；
此函数与 x 轴的交点是 A，与 y 轴的交点是 B，求△AOB 的面积；
（3）求此函数与直线 y=2x+4 的交点坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．
【分析】（1）直接把点（﹣1，1）和点（1，﹣5）代入一次函数 y=kx+b，求出 k、b 的值即可； 先令 y=0 求出 x 的值，再令 x=0 求出 y 的值即可；
（3）联立两直线的解析式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数 y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5），
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为：y=﹣3x﹣2；
∵令 y=0，则 x=﹣ ；令 x=0，则 y=﹣2，
∴A（﹣，0），B（0，﹣2），
∴S△AOB= × ×2= ；
（3）∵解方程组 得， ，
∴此函数与直线 y=2x+4 的交点坐标为（﹣，）．
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式一般 步骤是解答此题的关键．
23．已知四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，分别以 OA、OC 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图
1 所示的平面直角坐标系，直线 l 经过 A、C 两点．
（1）求直线 l 的函数表达式；
若 P 是直线 l 上的一个动点，请直接写出当△OPA 是等腰三角形时点 P 的坐标；
（3）如图 2，若点 D 是 OC 的中点，E 是直线 l 上的一个动点，求使 OE+DE 取得最小值时点 E 的 坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】数形结合．
【分析】（1）易得 A，C 两点的坐标，设出一次函数解析式，把这两点代入可得所求函数解析式； 分别以点 O 或点 A 为圆心，以 OA 长为半径画弧，可得 3 个可能的点 P，作出 OA 的垂直平分线可 得第 4 个点 P；
（3）易得点 O 与点 B 关于直线 l 对称，那么连接 BD，与 l 的交点即为点 E，得到 DB 的解析式与 l
的解析式联立可得 E 的坐标．
【解答】解：（1）设直线 l 的函数表达式 y=kx+b（k≠0），经过 A（4，0）和 C（0，4）得， 解之得 ，
∴直线 l 的函数表达式 y=﹣x+4；
P1（0，4）、P2、P3、P4；
（3）∵O 与 B 关于直线 l 对称，
∴连接 DB，交 AC 于点 E，则点 E 为所求，此时 OE+DE 取得最小值， 设 DB 所在直线为 y=k1x+b1 （k1≠0），经过点 D（0，2）、B（4，4）
，
解得
∴直线 DB 为，
解方程组： ，得 ，
∴点 E 的坐标为．
【点评】考查一次函数的应用；在本题中应注意可能为等腰三角形的不同情况；在求平面图形中的 最短距离和时，应找到特殊点关于直线的对应点．
广东省深圳市民治中学 八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分．）
1．9 的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C． D．
2．二元一次方程 2x﹣y=1 有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．某班抽取期 2016 届中考试中 6 名同学的数学成绩是 80，90，50，70，60，80．则众数和中位数
分别是（
）
A．80，80
B．80，75
C．80，70
D．70，75
4．已知 是方程 kx﹣y=3 的一个解，那么 k 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
6．在直角坐标系中，若点 P（a，b）在第二象限中，则点 Q（﹣a，﹣b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知正比例函数 y=kx 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则一次函数 y=kx﹣k 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 穴的分孽数后，计算出样本方差分别为 S 甲 2=11，S 乙 2=3.4， 由此可以估计（ ）
A．甲比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐
C．分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比
10．下列说法中正确的个数是（ ）
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②数据 3，5，4，2，﹣1 的中位数是 3．
③正比例函数 y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k）．
④无限小数都是无理数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
11．小强每天从家到学校上学行走的路程为 900m，某天他从家去上学时以每分 30m 的速度行走了
450m，为了不迟到他加快了速度，以每分 45m 的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程 s
（m）与他行走的时间 t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
12．如图，四棱柱的高为 9 米，底面是边长为 6 米的正方形，一只蚂蚁从如图 1 的顶点 A 开始，爬 向顶点 B．那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10 米B．12 米C．15 米D．20 米
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分．）
13．点（﹣2，3）在正比例函数 y=kx 的直线上，则 k= ．
14．如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是，则[来源:Zxxk.Com]
“炮”所在位置的坐标是 ．
15．某公司招聘广告策划人员一名，对前来应聘的两人进行了 3 项素质测试，右表记录了他们两人 的测试成绩：如果公司根据实际需要，对创新、语言、综合知识三项测试成绩分别赋予权 4，3，2， 那么将录用素质测试成绩最高的人员是 ．
素质测试
测试成绩
小赵
小李
创新
70
90
语言
50
75
综合知识
82
36
16．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点
E，则 CD= ．
三、解答题（本大题共七个小题，共计 52 分）
17．化简：
①[来源:学科网]
② ．
18．解方程组： ．
19．如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD 平分∠CAE．
20．为了进一步了解 2015～2016 学年度八年级学生的身体素质情况，体育老师对 2015～2016 学年 度八年级（1）班 50 位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表 和部分频数分布直方图．如下所示：
组别
次数 x
频数（人数）
第 1 组
80≤x＜100
6
第 2 组
100≤x＜120
8
第 3 组
120≤x＜140
a
第 4 组
140≤x＜160
18
第 5 组
160≤x＜180
6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的 a= ； 请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第 组；
（4）若 2015～2016 学年度八年级学生一分钟跳绳次数（x）在 x≥120 时为达标，计算该班学生测试 成绩达标率为多少．
21．列方程组解应用题：打折前，买 10 件 A 商品和 5 件 B 商品共用了 400 元，买 5 件 A 商品和 10
件 B 商品共用了 350 元．
（1）求打折前 A 商品、B 商品每件分别多少钱？
打折后，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共用了 3800 元．比不打折少花多少钱？
22．已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5）
（1）求一次函数的表达式；
此函数与 x 轴的交点是 A，与 y 轴的交点是 B，求△AOB 的面积；
（3）求此函数与直线 y=2x+4 的交点坐标．
23．已知四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，分别以 OA、OC 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图
1 所示的平面直角坐标系，直线 l 经过 A、C 两点．
（1）求直线 l 的函数表达式；
若 P 是直线 l 上的一个动点，请直接写出当△OPA 是等腰三角形时点 P 的坐标；
（3）如图 2，若点 D 是 OC 的中点，E 是直线 l 上的一个动点，求使 OE+DE 取得最小值时点 E 的 坐标．
广东省深圳市民治中学 八年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分．）
1．9 的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C． D．
【考点】算术平方根．
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：9 的算术平方根是 3， 故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
2．二元一次方程 2x﹣y=1 有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程的解．
【分析】根据二元一次方程 2x﹣y=1 的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方 程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解答】解：A、把 x=1，y=1 代入方程，左边=2﹣1=1=右边，所以是方程的解；
B、把 x=2，y=3 代入方程，左边=右边=1，所以是方程的解；
C、把 x=﹣1，y=﹣3 代入方程，左边=1=右边，所以是方程的解； D、把 x=﹣1，y=﹣2 代入方程，左边=0≠右边，所以不是方程的解． 故选 D．
【点评】考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x，y 的值代入原方 程验证二元一次方程的解．
3．某班抽取期 2016 届中考试中 6 名同学的数学成绩是 80，90，50，70，60，80．则众数和中位数 分别是（ ）
A．80，80 B．80，75 C．80，70 D．70，75
【考点】众数；中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行求解，即可得出答案；．
【解答】解：在这一组数据中 80 是出现次数最多的，故众数是 80； 将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是 70，80，它们的平均数是 75，那么由中位 数的定义可知，这组数据的中位数是 75．
故选 B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定 要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为 所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
4．已知 是方程 kx﹣y=3 的一个解，那么 k 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【考点】二元一次方程的解．
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数 k 的一元一次方程，从 而可以求出 k 的值．
【解答】解：把 代入方程 kx﹣y=3，得： 2k﹣1=3，
解得 k=2． 故选：A．
【点评】解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数 k 为未知数的方程，利用方 程的解的定义可以求方程中其它字母的值．
5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误； B、42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误； C、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误； D、82+152=172，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长， 只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．在直角坐标系中，若点 P（a，b）在第二象限中，则点 Q（﹣a，﹣b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】根据点 P 在第二象限判断出 a，b 的符号，进而得到﹣a，﹣b 的符号判断出 Q 所在象限即 可．
【解答】解：∵点 P（a，b）在第二象限中，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∴点 Q（﹣a，﹣b）在第四象限， 故选 D．
【点评】考查点的坐标的知识；掌握各个象限点的符号的特点是解决本题的关键．
7．已知正比例函数 y=kx 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则一次函数 y=kx﹣k 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象．
【分析】由于正比例函数 y=kx（k≠0）函数值随 x 的增大而减小，可得 k＜0，﹣k＞0，然后，判断 一次函数 y=kx﹣k 的图象经过象限即可；
【解答】解：∵正比例函数 y=kx（k≠0）函数值随 x 的增大而减小，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数 y=kx﹣k 的图象经过一、二、四象限； 故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数 y=kx+b，当 k＞0，b＞0 时，图象过一、 二、三象限；当 k＞0，b＜0 时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0 时，图象过一、二、四象限； k＜0，b＜0 时，图象过二、三、四象限．
8．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故 A 选项错误；
B、 没有意义，故 B 选项错误；
C、正确；
D、不是同类二次根式，不能合并，故 D 选项错误． 故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确理解同类二次根式的定义是关键．
9．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 穴的分孽数后，计算出样本方差分别为 S 甲 2=11，S 乙 2=3.4， 由此可以估计（ ）
A．甲比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐 C．分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比
【考点】方差．
【专题】应用题．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定来判断．
【解答】解：∵S 甲 2＞S 乙 2，
∴乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐． 故选 B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据 偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各 数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．下列说法中正确的个数是（ ）
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②数据 3，5，4，2，﹣1 的中位数是 3．
③正比例函数 y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k）．
④无限小数都是无理数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】命题与定理．
【分析】利用逆命题的定义、中位数的定义、正比例函数的性质及无理数的定义分别判断后即可确 定正确的选项．
【解答】解：①“对顶角相等”的逆命题是真命题，错误．
②数据 3，5，4，2，﹣1 的中位数是 3，正确．
③正比例函数 y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k），正确．
④无限小数都是无理数，错误， 故选 B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解逆命题的定义、中位数的定义、正比例 函数的性质及无理数的定义等知识，难度不大，属于基础题．
11．小强每天从家到学校上学行走的路程为 900m，某天他从家去上学时以每分 30m 的速度行走了
450m，为了不迟到他加快了速度，以每分 45m 的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程 s
（m）与他行走的时间 t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据行程，按照路程的一半分段，先慢后快，图象先平后陡．
【解答】解：小强离学校的路程 S（米）应随他行走的时间 t（分）的增大而减小，因而选项 A、B
一定错误；
他从家去上学时以每分 30 米的速度行走了 450 米，所用时间应是 15 分钟，因而选项 C 错误； 行走了 450 米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项 D 正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象，解决问题的关键理解以下两点：①理解图象是反映的是哪两个 变量的关系．②理解函数变量是随自变量的增大是如何变化的．理解一些转折点的实际意义．
12．如图，四棱柱的高为 9 米，底面是边长为 6 米的正方形，一只蚂蚁从如图 1 的顶点 A 开始，爬 向顶点 B．那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10 米B．12 米C．15 米D．20 米
【考点】平面展开-最短路径问题．
【专题】计算题．[来源:学科网ZXXK]
【分析】将立体图形展开，有两种不同的展法，连接 AB，利用勾股定理求出 AB 的长，找出最短的 即可．
【解答】解：如图，
（1）AB= = ；
AB= =15，
由于 15＞， 则蚂蚁爬行的最短路程为 15 米． 故选 C．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，要注意，展开时要根据实际情况将图形安不同形 式展开，再计算．
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分．）
13．点（﹣2，3）在正比例函数 y=kx 的直线上，则 k= ﹣ ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（﹣2，3）代入正比例函数 y=kx，求出 k 的值即可．
【解答】解：∵点（﹣2，3）在正比例函数 y=kx 的直线上，
∴3=﹣2k，解得 k=﹣． 故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此
函数的解析式是解答此题的关键．
14．如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是，则
“炮”所在位置的坐标是 （﹣3，2） ．
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据“兵”的位置向左平移两个单位的直线是 y 轴，向下平移三个单位的直线是 x 轴，可得 平面直角坐标系，根据“炮”的位置，可得点的坐标．
【解答】解：由“兵”的位置向左平移两个单位的直线是 y 轴，向下平移三个单位的直线是 x 轴，得
平面直角坐标系 ，
“炮“的位置是（﹣3，2）， 故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，利用“兵”的位置向左平移两个单位的直线是 y 轴，向下平移三 个单位的直线是 x 轴得出平面直角坐标系是解题关键．
15．某公司招聘广告策划人员一名，对前来应聘的两人进行了 3 项素质测试，右表记录了他们两人 的测试成绩：如果公司根据实际需要，对创新、语言、综合知识三项测试成绩分别赋予权 4，3，2， 那么将录用素质测试成绩最高的人员是 小李 ．
素质测试
测试成绩
小赵
小李
创新
70
90
语言
50
75
综合知识
82
36
【考点】加权平均数．
【分析】将小赵和小李的各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，求出加权平均数再比较成绩即可．
【解答】解： = =66；
= =73．
可见，小李分数高， 故答案为：小李．
【点评】本题考查了加权平均数，本题易出现的错误是求 90，75，36 这三个数的平均数，对平均数 的理解不正确．
16．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点
E，则 CD= 3cm ．
【考点】角平分线的性质；勾股定理．
【分析】先利用勾股定理求出 AB，根据角平分线的性质得到 DC=DE，然后得出△ADC≌△ADE， 求出 AE=AC 与 BE 的长，设 CD=x，则 DE=x，DB=8﹣x，在 Rt△BDE 中，利用勾股定理得到 BD2=DE2+BE2，即（8﹣x）2=x2+42，再解方程即可得到 CD 的长．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在 Rt△ADC 和 Rt△ADE 中，
∵ ，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AE=AC=6cm，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4cm，
设 CD=x，则 DE=x，DB=8﹣x，
在 Rt△BDE 中，BD2=DE2+BE2，即（8﹣x）2=x2+42， 解得 x=3，
则 CD 的长为 3cm． 故答案为：3cm．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了勾股定理 以及三角形全等的判定与性质．
三、解答题（本大题共七个小题，共计 52 分）
17．化简：
①
② ．
【考点】实数的运算．
【分析】（1）首先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法公式计算即可求解； 首先分别利用二次根式的性质、0 指数幂的定义、立方根的定义及绝对值的性质化简，然后利用实 数的运算法则计算即可求解．
【解答】解：（1）原式=
=
=6；
原式=
= ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地 2016 届中考题中常见的计算题型．解决此类题目的 关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．解方程组： ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
①+②得：4x=2，即 x=， 把 x=代入①得：y= ，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD 平分∠CAE．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和角平分线的定义进行做题．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠B=∠EAD（两直线平行，同位角相等）
∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等） 又∵∠B=∠C（已知）
∴∠EAD=∠DAC（等量代换）
∴AD 平分∠CAE（角平分线的定义）．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
20．为了进一步了解 2015～2016 学年度八年级学生的身体素质情况，体育老师对 2015～2016 学年 度八年级（1）班 50 位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表 和部分频数分布直方图．如下所示：
组别
次数 x
频数（人数）
第 1 组
80≤x＜100
6
第 2 组
100≤x＜120
8
第 3 组
120≤x＜140
a
第 4 组
140≤x＜160
18
第 5 组
160≤x＜180
6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的 a= 12 ； 请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第 三 组；
（4）若 2015～2016 学年度八年级学生一分钟跳绳次数（x）在 x≥120 时为达标，计算该班学生测试 成绩达标率为多少．
[来源:Zxxk.Com]
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据各组频数之和等于学生总人数列式计算即可得解； 根据图表数据补全条形统计图即可；
（3）根据中位数的定义找出第 25、26 两人所在的组即可；
（4）用第 3、4、5 组的人数之和除以学生总人数，计算即可得解．
【解答】解：（1）6+8+a+18+6=50， 解得 a=12；
补全频率分布直方图如下所示：
（3）∵按照跳绳次数从少到多，第 25、26 两人都在第三组，
∴中位数落在第三组；
（4）∵ ×100%=72%，
∴该班学生测试成绩达标率为 72%． 故答案为：（1）12；（3）三．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时， 必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．列方程组解应用题：打折前，买 10 件 A 商品和 5 件 B 商品共用了 400 元，买 5 件 A 商品和 10
件 B 商品共用了 350 元．
（1）求打折前 A 商品、B 商品每件分别多少钱？
打折后，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共用了 3800 元．比不打折少花多少钱？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）本题的等量关系可表示为：打折前：10 件 A 商品的钱数+5 件 B 商品的钱数=400 元； 5 件 A 商品的钱数+10 件 B 商品的钱数=350 元．据此列出方程组求出打折前 A 商品、B 商品每件分 别多少钱；
先由（1）得出的打折前 A 商品、B 商品每件分别多少钱计算出买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共 用多少钱与打折后，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共用了 3800 元进行比较．
【解答】（1）解：设打折前 A 商品每件 x 元、B 商品每件 y 元，根据题意，得 …
由题意得 …
解之得 …
答：打折前 A 商品每件 30 元、B 商品每件 20 元．… 解：打折前，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品共用： 100×30+100×20=5000 （元）…
比不打折少花：5000﹣3800=1200 （元）…
答：打折后，买 100 件 A 商品和 100 件 B 商品比不打折少花 1200 元．…
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
22．已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5）
（1）求一次函数的表达式；
此函数与 x 轴的交点是 A，与 y 轴的交点是 B，求△AOB 的面积；
（3）求此函数与直线 y=2x+4 的交点坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．
【分析】（1）直接把点（﹣1，1）和点（1，﹣5）代入一次函数 y=kx+b，求出 k、b 的值即可； 先令 y=0 求出 x 的值，再令 x=0 求出 y 的值即可；
（3）联立两直线的解析式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数 y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5），
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为：y=﹣3x﹣2；
∵令 y=0，则 x=﹣ ；令 x=0，则 y=﹣2，
∴A（﹣，0），B（0，﹣2），
∴S△AOB= × ×2= ；
（3）∵解方程组 得， ，
∴此函数与直线 y=2x+4 的交点坐标为（﹣，）．
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式一般 步骤是解答此题的关键．
23．已知四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，分别以 OA、OC 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图
1 所示的平面直角坐标系，直线 l 经过 A、C 两点．
（1）求直线 l 的函数表达式；
若 P 是直线 l 上的一个动点，请直接写出当△OPA 是等腰三角形时点 P 的坐标；
（3）如图 2，若点 D 是 OC 的中点，E 是直线 l 上的一个动点，求使 OE+DE 取得最小值时点 E 的 坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】数形结合．
【分析】（1）易得 A，C 两点的坐标，设出一次函数解析式，把这两点代入可得所求函数解析式； 分别以点 O 或点 A 为圆心，以 OA 长为半径画弧，可得 3 个可能的点 P，作出 OA 的垂直平分线可 得第 4 个点 P；
（3）易得点 O 与点 B 关于直线 l 对称，那么连接 BD，与 l 的交点即为点 E，得到 DB 的解析式与 l
的解析式联立可得 E 的坐标．
【解答】解：（1）设直线 l 的函数表达式 y=kx+b（k≠0），经过 A（4，0）和 C（0，4）得， 解之得 ，
∴直线 l 的函数表达式 y=﹣x+4；
P1（0，4）、P2、P3、P4；
（3）∵O 与 B 关于直线 l 对称，
∴连接 DB，交 AC 于点 E，则点 E 为所求，此时 OE+DE 取得最小值， 设 DB 所在直线为 y=k1x+b1 （k1≠0），经过点 D（0，2）、B（4，4）
，
解得
∴直线 DB 为，
解方程组： ，得 ，
∴点 E 的坐标为．
【点评】考查一次函数的应用；在本题中应注意可能为等腰三角形的不同情况；在求平面图形中的 最短距离和时，应找到特殊点关于直线的对应点．
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