2022泉州高二上学期期末数学试题含答案

2021～2022学年度上学期泉州市高中教学质量监测

高二数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知点是点在坐标平面内射影，则点的坐标为（）

A.  B.  C.  D.

2. 设等差数列前n项和为．若，则（）

A. 19 B. 21 C. 23 D. 38

3. 设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（）

A. 13 B. 16 C. 20 D.

4. 已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）

A.  B.  C.  D.

5. 在棱长均为1的平行六面体中，，则（）

A.  B. 3 C.  D. 6

6. 已知数列满足，则（）

A.  B. 1 C. 2 D. 4

7. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（）

A.  B.  C.  D.

8. 已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）

A B.  C.  D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 圆与圆的位置关系可能是（）

A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含

10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）

A.  B.

C.  D.

11. 已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（）

A. 曲线C的焦距为

B. 若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且

C. 若满足条件的点P有且只有6个，则

D. 若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是

12. 已知边长为的正三角形中，为中点，动点在线段上（不含端点），以为折痕将折起，使点到达的位置．记，异面直线与所成角为，则对于任意点，下列成立的是（）

A.

B.

C. 存在点，使得

D. 存在点，使得平面

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．

13. 已知，且，则_____________．

14. 若等比数列满足，则的前n项和____________．

15. 已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________．

16. 设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为____________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上．

（1）求p的值及F的坐标；

（2）过F且斜率为直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求．

18. 公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为．若，求的取值范围．

19. 如图，在正四棱锥中，为底面中心，，为中点，．

（1）求证：平面；

（2）求：（ⅰ）直线到平面的距离；

（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

20. 已知数列前n项和．

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．

21. 某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．

（1）在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？

（2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．

22. 曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M满足，且直线的斜率之积等于．

（1）求C的方程；

（2）过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：．

1【答案】D

2【答案】A

3【答案】B

4【答案】D

5【答案】C

6【答案】B

7【答案】D

8【答案】D

9【答案】ABC

10【答案】BC

11【答案】AC

12【答案】ABC

13【答案】2

14【答案】##

15【答案】

16【答案】##

17【答案】（1），

【小问1详解】

将代入，得，解得，

所以

【小问2详解】

由（1）得抛物线方程为，

直线l的方程为，

联立消y得，

解得或，

因为A在第一象限，所以，

所以，，

所以

18【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

依题意，，，所以，

设等差数列的公差为，则，

解得，

所以

【小问2详解】

，则数列是递增数列，

，

所以，

若，则.

19【小问1详解】

证明：连接，则为的中点，且，

在正四棱锥中，平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系，

则、、、、、、、，，

设平面的法向量为，，，

则，取，则，

因为，则，又因为平面，所以，平面.

【小问2详解】

解：（i），所以，直线到平面的距离为.

（ii），则，

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

20【小问1详解】

因，

当时，，

所以，当时，，又，解得，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列，

故

【小问2详解】

因为，所以，，

，

，

所以

，

所以

21【答案】（1）不在（2）17.5米

【小问1详解】

以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系

则，观景直道所在直线的方程为

依题意得：游客所在点为

则直线AB的方程为，化简得，

所以圆心O到直线AB的距离，

故直线AB与圆O相交，

所以游客不在该摄像头监控范围内.

【小问2详解】

由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，

所以设直线l过A且恰与圆O相切，

①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；

②若直线l不垂直于x轴，设，整理得

所以圆心O到直线l的距离为，解得或，

所以直线l的方程为或，

即或，

设这两条直线与交于D，E

由，解得，由，解得，

所以，

观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.

22【小问1详解】

因为C上的点M满足，

所以C表示焦点在x轴上的椭圆，且，即，，

所以，

设，则，①

所以直线的斜率，直线的斜率，

由已知得，

即，②

由①②得，

所以C的方程为

【小问2详解】

当直线l的斜率为0时，A与重合，B与重合，，，

成立.

当直线l的斜率不为0时，设l的方程为

联立方程组，消x整理得

所以，解得或

设，则，

由，得，所以

设，由，得，

所以，

所以，

所以点T在直线上，且，

所以是等腰三角形，且，

所以，

综上，