福建省泉州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

这是一份福建省泉州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量监测数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（ ）
A．－1B．C．D．
2．不透明的袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取两个球，则两球所标数字之和为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．某工厂有，两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周，两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为（ ）
A．0.95B．0.6C．0.35D．0.15
5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（ ）
A．28 mmB．28.5 mm
C．29 mmD．29.5 mm
6．若直线与平面所成的角为，直线在平面内，则直线与直线所成的角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，则BC等于（ ）
A．B．C．2D．3
8．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，若球O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
二、多选题
9．统计某商城一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况，并制作折线图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．利润最高的月份是2月份
B．7月份至9月份的月平均支出为50万元
C．支出的最高值与支出的最低值的比是3∶1
D．2月份至3月份的收入的变化量与11月份至12月份的收入的变化量相同
10．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若存在非零向量使得，则
B．已知向量，则在方向上的投影向量是
C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是
D．若{，}是它们所在平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
11．四棱台的底面ABCD是正方形，平面ABCD，，则（ ）
A．该四棱台的体积为B．平面⊥平面
C．直线与直线为异面直线D．直线与直线CD所成的角为
12．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（ ）
A．△ABC面积的最大值为B．的最大值为
C．D．的取值范围为
三、填空题
13．若，为z的共轭复数，则 ．
14．已知圆锥的高为3，轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的侧面积是 ．
15．在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点．若平面平面，，则＝ ．
16．在菱形中，，已知点在线段上，且，则 ，若点为线段上一个动点，则的最小值为 .
四、解答题
17．2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍．
(1)求第一组、第五组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图（用阴影涂黑）；
(2)现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数，方差，第五组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？
18．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
三个内角的对应边分别为，且满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若D为边AC的中点，且，求中线BD长．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
19．如图所示，在四棱锥中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCD．
20．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
21．在平面四边形中，，，．
(1)若为等边三角形，求的面积．
(2)若，求的最大值．
22．在矩形ABCD中，．点E，F分别在AB，CD上，且，沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE．
(1)若平面⊥平面BCFE，求三棱锥的体积；
(2)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求tan的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】由复数的除法法则求解即可
【详解】，
故选：B
2．C
【分析】先求得4个小球随机选2个共有的不同选法，其中两球所标数字之和为奇数的不同的选法，根据古典概型概率公式计算可得答案.
【详解】解：因为4个小球随机选2个有：，共有6种不同选法，其中两球所标数字之和为奇数的有，共有3种不同的选法，
所以根据古典概型概率公式得：，
故选：C．
3．D
【分析】根据向量的夹角公式求解即可
【详解】由题意，，，故与夹角的余弦值
故选：D
4．A
【分析】由相互独立事件概率计算公式可得结果.
【详解】由题可得至多有一套生产线需要维护的概率.
故选：A.
5．C
【分析】根据给定的频率分布直方图，利用80%分位数的意义计算作答.
【详解】棉花纤维的长度在25 mm以下的比例为，
在30 mm以下的比例为，因此，80%分位数一定位于内，
因，所以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29 mm.
故选：C
6．C
【分析】根据线面角的定义可知直线与直线所成的角的最小值，根据异面直线所成的角的定义知最大角为直角，从而可得答案
【详解】解：由题意可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以直线与直线所成的角的最小值为，
因为直线与直线所成的角的最大值为，
所以直线与直线所成的角的取值范围是，
故选：C
7．D
【分析】根据，得到，再由得到，然后利用正弦定理求解.
【详解】解：因为，
所以，又，
所以，
则，
解得，
由正弦定理得，
解得，
故选：D
8．A
【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出三角形ABC的外接圆半径，三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，求出三角形ABC为等边三角形时，三角形ABC面积最大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.
【详解】设球的半径为R，则，解得：，
设三角形ABC的外接圆半径为r，则，
即，解得：，
当三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，
如图所示：
要想面积最大，当A位于BC垂直平分线与圆的交点（BC与A点位于圆心两侧）时，此时三角形ABC为等腰三角形时，面积最大，
连接BO并延长，交圆于点D，连接CD，则，BC⊥BC，
设，则，，，
则，
令，则，
当，即时，，当，
即时，，
即在单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
，
则三棱锥S－ABC的体积的最大值为
故选：A
【点睛】立体几何外接球问题，要能够画出图形，解题的突破口，找到外接球球心在某个特殊平面的投影，进而找到半径，列出方程，或空间想象，数形结合求出最值等.
9．ABC
【分析】根据统计图逐个分析判断即可
【详解】对于A，由图可得1-12月份的利润分别为20万元， 20万元， 30万元，20万元，20万元，20万元，20万元，10万元，20万元，30万元，20万元，20万元，所以利润最高的月份为3月份和10月份，所以A错误，
对于B，7月份至9月份的月平均支出为万元，所以B错误，
对于C，由图可知支出最高的为60万元，最低的为10万元，所以支出的最高值与支出的最低值的比是6∶1，所以C错误，
对于D，由图可知2月份至3月份的收入的变化量为减少了20万元，11月份至12月份的收入的变化量也减少了20万元，所以2月份至3月份的收入的变化量与11月份至12月份的收入的变化量相同，所以D正确，
故选：ABC
10．BD
【分析】选项A可由向量的运算性质判断；选项B根据投影向量的定义判断；选项C将向量的夹角转化为数量积进行运算；选项D根据共线向量基本定理进行运算.
【详解】选项A，，则，所以或，所以A错误；
选项B，在方向上的投影向量的长度为，所以投影向量为，B正确；
选项C，，则，所以；当与共线时，，，则k的取值范围是，C错误；
选项D，不是基底，即共线，则存在，使得，，故，或，所以D正确；
故选：BD.
11．ABD
【分析】根据台体体积公式判断A，根据面面垂直的判定定理判断B，根据棱台的性质判断C，根据异面直线的夹角判断D
【详解】对于A：设正方形的面积为，正方形的面积为，
棱台的高为，棱台的体积为，
因为平面ABCD，
所以，
又，故A正确；
对于B：因为四边形是正方形，
所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面⊥平面，故B正确；
对于C：由棱台的性质可知直线与直线相交于一个点，
所以直线与直线不是异面直线，故C错误；
对于D：因为，
所以是直线与直线CD所成的角（或补角），
因为四边形是正方形，
所以，
所以直线与直线CD所成的角为，故D正确；
故选：ABD
12．AB
【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.
【详解】由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以，故，A正确；
，
其中由正弦定理得：，
所以
，
因为，所以，
故最大值为，的最大值为，
B正确；
，
故C错误；
，
因为，所以，
所以，D错误.
故选：AB
【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.
13．5
【分析】由共轭复数的概念与复数的运算法则求解即可
【详解】因为，，
所以，
故答案为：5
14．6π
【分析】根据圆锥的高为3，圆锥的轴截面为等边三角形可求得底面直径和母线长，由圆锥的侧面积公式即可求得答案.
【详解】解：圆锥的高为3，轴截面是等边三角形.
则圆锥的底面直径为，母线长为，
故该圆锥的侧面积为 ，
故答案为：.
15．/
【分析】建立坐标系，用向量法求解即可
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立坐标系，如图所示：
则，
设，由可得，
设平面的一个法向量为，，
则，即，
令，则；
设平面的一个法向量为，，
则，即，
令，则；
因为平面平面，
所以，
所以，即，解得，
故答案为：
16． 7
【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解．
【详解】解：因为，，所以，，
所以，，
因为点在线段上，
可设，
而，所以，解得，，
所以，
则，
所以，
因为点为线段上一个动点，
可设，，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：7，．
【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性和数量积的运算法则，平面向量的基本定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，有一定的难度．
17．(1)第一组的频率为0.05，第五组的频率为0.10；作图见解析
(2)，
【分析】（1）由题意计算出第一组与第五组的频率，即可求解；
（2）先确定第四组与第五组抽取的人数，再由平均数与方差的公式计算即可
【详解】（1）设第一组的频率为x，则第五组的频率为2x．
依题意，解得．
所以第一组的频率为0.05，则第五组的频率为0.10
频率直方图如下：
（2）因为第4组和第5组的频数之比为，
所以从第4组抽取4人，第5组抽取2人．
所以这6人得分的平均数
方差
18．(1)
(2)
【分析】（1）若选①：由正弦定理把边化为角即可求解；若选②：由正弦定理把边化为角再结合三角恒等变换求解即可；若选③：由正弦定理把角化为边，再结合余弦定理求解即可；
（2）由余弦定理求解即可
【详解】（1）若选①：可化为．
由正弦定理，可得，
因为，
所以，
因为，
所以．
若选②：由正弦定理，可得
移项得
即，
又因为，
所以，故．
若选③：由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得．
因为，
所以
（2）由余弦定理，可得，即
因为D为边AC的中点，所以，
在中，由余弦定理，可得．
在中，由余弦定理，可得，
因为，所以，
即，
解得
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可
【详解】（1）（1）过E作交PA于点F，连接BF，
因为，所以．
又，所以．
又，所以
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以，
又CE平面PAB，BF平面PAB，
所以平面PAB．
（2）在梯形ABCD中，，，，，
所以．
所以，即
因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
所以．
又，所以CD⊥平面PAC，
又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可；
（2）写出投篮结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解.
【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（k=1，2，3），记“甲获胜”为事件C，则
.
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.
则
.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，进而可求得的大小，利用三角形的面积公式可求得的面积；
（2）设，利用正弦定理可得出，利用余弦定理可得出关于的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】（1）解：在中，由余弦定理，得．
即，所以，
所以，因此，
因为为等边三角形，所以，，所以．
所以.
（2）解：设，则，
在中，由正弦定理得，
即，所以．
在中，由余弦定理，得，
，
，则，故当时，即当时，
取到最大值，即的最大值为.
22．(1)
(2)1
【分析】（1）在平面内作交于，根据面面垂直的性质得到⊥平面，再过点作交于，即可求出线段的长度，最后根据计算可得．
（2）作辅助线找到二面角的平面角，设，利用勾股定理求出，则，再换元，利用二次函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：在平面内作交于．
∵平面⊥平面，平面平面，平面，
∴⊥平面．
∴即点到平面的距离．
在梯形中，过点作交于，则，
∴，．
在中，
∴三棱锥的体积
（2）如图，在平面内作直线交FE延长线于点O，交CB延长线于点K．
∵，，，平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面⊥平面，
作交OK于点M．
∵平面⊥平面，平面平面，，平面，
∴⊥平面，
∴．
作交BC于点N，连接．
∵，∴BC⊥平面，
∴，又∵，∴为二面角的平面角．
∵在中，，
∴，
设，
则，
∴
令，则，
当且仅当时，取到最大值1，综合可知的最大值为1