2022北京中考数学一轮复习系列系列——函数（教师版）

这是一份2022北京中考数学一轮复习系列系列——函数（教师版），共87页。

2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（3）函数
五年中考
一．选择题（共3小题）
1．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
【解答】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
2．有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（　　）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型．
【解答】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：
h＝0.2t+10，
∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，熟记一次函数的定义是解题关键．
3．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）

A．10m B．15m C．20m D．22.5m
【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【解答】解：
法一：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则
解得，
所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．

法二：∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越近，位置越高，
从A、C两点来看，对称轴更靠近A，即在20左边，
从A、B两点来看，对称轴更靠近B，即在10右边，
故选：B．

【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．
二．填空题（共3小题）
4．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为 　﹣2　．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣m＝1×2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），
∴﹣m＝1×2，解得m＝﹣2，
即m的值为﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
5．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为 　0　．
【分析】联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解．
【解答】解：方法一、∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴联立方程组得：，
解得：，，
∴y1+y2＝0，
方法二、∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A，点B关于原点对称，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 　0　．
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
三．解答题（共10小题）
7．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据平移的规律即可求得．
（2）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到y＝x﹣1，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y＝x﹣1．
（2）把x＝﹣2代入y＝x﹣1，求得y＝﹣2，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝x﹣1的交点为（﹣2，﹣2），
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x﹣1的值，
∴≤m≤1．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n＝1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2，
∴m＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y＝，
∴k＝3×1＝3，
（2）①PM＝PN，证明如下：
当n＝1时，P（1，1），
令y＝1，代入y＝x﹣2，
x﹣2＝1，
∴x＝3，
∴M（3，1），
∴PM＝2，
令x＝1代入y＝，
∴y＝3，
∴N（1，3），
∴PN＝2
∴PM＝PN，
②P（n，n），n＞0
点P在直线y＝x上，
∴M（n+2，n），
∴PM＝2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN＝|﹣n|，
||≥2
∴0＜n≤1或n≥3

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
9．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
【分析】（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；
（2）直线OA的解析式为：y＝x，可知直线l与OA平行，
①将b＝﹣1时代入可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．
【解答】解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；
（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，
解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，），
而C（0，﹣1），
如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；
②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，
且经过（5，0），
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．
如图3，直线l在OA的上方时，
∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，
当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝，
当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．
综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．



【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
10．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点（1，2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（1，2）代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，y＝1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点；
②当k＞0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；
当k＜0时，W内点的横坐标在k到0之间，故﹣1≤k＜0时W内无整点；
当﹣2≤k＜﹣1时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1）；
当k不为整数时，其上必有整点，但k＝﹣2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；
当k≤﹣2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），线段长度为﹣k+1＞3，故必有整点．
【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），
①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；
②由题意，点B的横坐标判断出点B始终直线x＝﹣1的右侧（也就是直线x＝﹣2在直线y＝k的右侧，点B的左侧），
当k＞0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；
当﹣1≤k＜0时，W内点的横坐标在﹣1到0之间，故﹣1≤k＜0时W内无整点；
当﹣2≤k＜﹣1时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1），MN＝1；
当k不为整数时，其上必有整点，但k＝﹣2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；
当k≤﹣2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），线段长度为﹣k+1＞3，故必有整点．
综上所述：﹣1≤k＜0或k＝﹣2时，W内没有整数点；
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．
12．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
解得a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
解得a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．



【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；
（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3得到：y＝（x﹣3）（x﹣1），
所以A（1，0），B（3，0），
当x＝0时，y＝3，所以C（0，3）．
设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以直线BC的表达式为y＝﹣x+3；

（2）由y＝x2﹣4x+3得到：y＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）．
∵y1＝y2，
∴x1+x2＝4．
令y＝﹣1时，则由y＝﹣x+3得到x＝4．
∵x1＜x2＜x3，
∴3＜x3＜4，即7＜x1+x2+x3＜8．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答（2）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度．
14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）将点（1，3），（3，15）代入解析式求解．
（2）分类讨论b的正负情况，根据mn＜0可得对称轴在x＝与直线x＝之间，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小．
【解答】解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，
将（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：
，
解得，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而增大，n＞m＞0不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＜0，x＝3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝之间，
即＜﹣＜，
∴点（2，y2）与对称轴距离2﹣（﹣）＜，
点（﹣1，y1）与对称轴距离＜﹣﹣（﹣1）＜，
点（4，y3）与对称轴距离＜4﹣（﹣）＜
∴y2＜y1＜y3．
解法二：∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴a+b＜0，3a+b＞0，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，
∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，
∴y3＞y1，
∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，
y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
15．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x＝，
∴满足条件的值为：t≤．
解法二：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞﹣＝2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤
∴满足条件的值为：t≤．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称；
（3）①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，所以函数与PQ无交点；
②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；
【解答】解：（1）A（0，﹣）
点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称，
∴抛物线对称轴x＝1；
（3）∵对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣，
①a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣＜2，
当y＝﹣时，x＝0或x＝2，
∴函数与PQ无交点；
②a＜0时，

观察图象可知，﹣≤2，
解得，a≤﹣，
∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．

三年模拟
一．选择题（共11小题）
1．在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（　　）

A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【分析】根据动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂即可得到结论．
【解答】解：∵确保杠杆水平平衡，
∴力F与力臂L满足的函数关系是反比例函数关系，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象不过点（1，1）的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝﹣x+1 D．y＝x3
【分析】把点（1，1）分别代入解析式判断即可．
【解答】解：A．x＝1，则y＝＝1；故函数y＝的图象过点（1，1）；
B．x＝1，则y＝x2＝1，故函数y＝x2的图象过点（1，1）；
C．x＝1，则y＝﹣x+1＝0≠1，故函数y＝﹣x+1的图象不过点（1，1）；
D．x＝1，则y＝x3＝1，故函数y＝x3的图象过点（1，1）；
故选：C．
【点评】本题考查了反比函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征．图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
3．如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t表示小球滚动的时间，v表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时v与t的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同即可判断．
【解答】解：由题意得，
∵小球从静止开始，设速度每秒增加的值相同为a．
∴v＝v0+at＝0+a×t，
即v＝at．故是正比例函数图象的一部分．
故选：D．
【点评】本题考查了函数关系式．这是一个跨学科的题目，实际上是利用“即时速度＝初始速度+加速度×时间”列出函数关系式．
4．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5℃时，风寒温度T（℃）和风速v（km/h）的几组对应值，那么当气温为5℃时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（　　）
风速v（单位：km/h）
0
10
20
30
40
风寒温度T（单位：℃）
5
3
1
﹣1
﹣3
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【分析】利用待定系数法求解即可．
【解答】解：当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系，
设风寒温度T和风速v的关系式为：T＝kv+b，
根据题意，得：，
解得，
所以T＝﹣0.2v+5，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
5．已知y是x的函数，如表是x与y的几组对应值：
x
…
﹣3
3
6
…
y
…
﹣2
2
1
…
对于y与x的函数关系有以下4个描述：
①可能是正比例函数关系；
②可能是一次函数关系；
③可能是反比例函数关系；
④可能是二次函数关系．
所有正确的描述是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据图表数据可知，三个点不在同一直线上，三个点的横坐标和纵坐标的积都为6，利用待定系数法求得二次函数解析式，然后即可进行选择．
【解答】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①②错误；
三个点的横坐标和纵坐标的积都为6，故都在反比例函数y＝图象上，故③正确；
设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
把三个点的坐标代入得，
解得，
y＝﹣x2+x+1，
所以是二次函数，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数和二次函数的解析式，根据表格数据的特点判断出三点不共线，并求出函数解析式是解题的关键．
6．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，﹣2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先联立直线y＝x与双曲线组成方程组求出点B坐标，然后再用待定系数法求出直线BC的解析式，再令y＝0求出x即可．
【解答】解：∵点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，
∴联立方程得：，
解得：或，
∵点B在第一象限，
∴B（2，2），
∵点C的坐标为（6，﹣2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把B（2，2），C（6，﹣2）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∵直线BC交x轴于点D，
∴令y＝0，即﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点D横坐标是4，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点，关键是列方程组求交点坐标．
7．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；
②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；
④当0＜x＜6时，m＜y＜8．
所有正确结论的序号是（　　）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据函数图象和性质逐一求解即可．
【解答】解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为（2，9），抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入上式得：0＝a（8﹣2）2+9，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+8，故①错误，不符合题意；

②从点A、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故n＞m正确，符合题意；

③抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），则另外一个交点为（﹣4，0），
故③正确，符合题意；

④从图象看，当0＜x＜6时，m＜y≤9，故④错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
8．已知二次函数y＝x2+mx+n，当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（　　）
A．抛物线y＝x2+mx+n的开口向上
B．抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点
C．当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴有交点
D．若P（﹣1，y1），Q（3，y2）是抛物线y＝x2+mx+n上两点，则y1＝y2
【分析】根据函数图象的性质和特点，逐次求解即可．
【解答】解：A．∵1＞0，故抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；

B．二次函数y＝x2+mx+n为开口向上的抛物线，一定和y轴有交点，故B正确，不符合题意；

C．当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x＝（0+2）＝1＝﹣，解得m＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+n，当n＞1时，
则△＝4﹣4n＜0，故抛物线y＝x2+mx+n与x轴无交点，故C错误，符合题意；

D．由点P、Q的坐标知，这两个点关于抛物线对称轴对称，故y1＝y2正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
9．反比例函数y＝（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为（2，1），则k的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】假设点A（2，1）在反比例函数y＝（k为正整数）第一象限的图象上，得k＝2，再由题意得k＜2，求解即可．
【解答】解：假设点A（2，1）在反比例函数y＝（k为正整数）第一象限的图象上，
则1＝，
∴k＝2，
但是点A在反比例函数y＝（k为正整数）第一象限的图象的上方，
∴k＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质；熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
10．如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
11．在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．下列四个函数图象中．

所有正确的函数图象的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，
当x1﹣x2＞0时，y1﹣y2＞0；
当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＜0．
∴y随x的增大而增大，
故正确的函数图象的序号是②④．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
二．填空题（共14小题）
12．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为　y＝2x+1　．
【分析】根据一次函数平移时k不变可知k＝2，然后把（0，1）代入求出b的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，
∴k＝2，
∵一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，1），
∴b＝1，
∴一次函数表达式为y＝2x+1．
故答案为y＝2x+1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．
13．如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为　0＜x＜3　．

【分析】先求出点A，点B坐标，结合图象可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点A，交x轴正半轴于点B，
∴点A（0，3），
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点B（3，0），
∴不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为0＜x＜3，
故答案为0＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的应用，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x﹣1，双曲线y＝﹣，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…，记点An的横坐标为an，若a1＝﹣2，则a2021＝　　；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取的值是　0、1　．

【分析】求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2021的值，根据题意可得A1不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1不可能取的值．
【解答】解：当a1＝﹣2时，B1的纵坐标为，
B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2＝，
A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2＝﹣，
B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3＝，
A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3＝﹣3，
B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4＝﹣2，
A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4＝，
即当a1＝﹣2时，a2＝，a3＝，a4＝﹣2，a5＝，
b1＝，b2＝﹣，b3＝﹣3，b4＝，b5＝﹣，
∵＝673…2，
∴a2020＝a2＝；
点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即x≠0，
点A1不能在x轴上（此时A2，在y轴上，找不到B2），即y＝x﹣1≠0，
解得：x≠1；
综上可得a1不可取0、1．
故答案为：；0、1．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．
15．将二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是　0≤x≤3　．
【分析】由函数y＝x2的图象平移可得出平移后函数的解析式为：y＝（x﹣3）2，分别得出两个函数的增减性即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位得到新函数：y＝（x﹣3）2，
函数图象如图所示：

由y＝x2可知，当x＞0时，y随x的增大而增大，即函数的图象从左往右上升；x＜0时，y随x的增大而减小，即函数的图象从左往右下降；
由y＝（x﹣3）2，当x＞3时，y随x的增大而增大，即函数的图象从左往右上升；当x＜3时，y随x的增大而减小，即函数的图象从左往右下降．
∴当0≤x≤3时，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降．
故答案为：0≤x≤3．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数的平移等内容，同时利用数形结合思想解决问题，使问题更直观．
16．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式：　y＝2x2﹣16x﹣34（答案不唯一）　．
【分析】设抛物线y＝ax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴x＝﹣＝4，顶点到x轴的距离为2，即可得顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式，即2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，根据b、c的关系取值即可得到抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
【点评】本题考查了二次函数的性质．解本题的关键熟练掌握二次函数的顶点坐标和对称轴．
17．写出一个反比例函数表达式，使它的图象与直线y＝x+4有公共点，这个函数的表达式为　y＝（答案不唯一）　．
【分析】根据一次函数与反比例函数的图象和性质即可得结论．
【解答】解：设这个反比例函数为y＝（k≠0），
联立，得x2+4x﹣k＝0，
由题意可知，△＝16+4k＞0，即k＞﹣4，且k≠0．
故答案为：y＝（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，联立，利用一元二次根的判别式判断即可．
18．用一个k的值推断命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，这个值可以是k＝　﹣1（答案不唯一）　．
【分析】根据一次函数的性质：对于一次函数y＝kx+b，当k＜0时，y随x的增大而减小解答即可．
【解答】解：当k＝﹣1时，一次函数为y＝﹣x+1，y随着x的增大而减小，
∴命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题和定理、一次函数的性质，掌握对于一次函数y＝kx+b，当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
19．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴的交点的坐标为　（﹣2，0）　．
【分析】令解析式中的y＝0，求得x的值即可得到结论．
【解答】解：令y＝0，
则x+2＝0．
∴x＝﹣2．
∴直线y＝x+2与x轴的交点的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象上的点的坐标的特征．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝x，直线l2：y＝x+，直线x＝交l1于点A1，交l2于点B1，过点B1作y轴的垂线交l1于点A2，过点A2作x轴的垂线，交l2于点B2，过点B2作y轴的垂线交l1于点A3，…，按此方式进行下去，则B1的坐标为　（，）　，Bn的坐标为　（，）　（用含n的式子表示，n为正整数）．

【分析】根据直线l1：y＝x，直线l2：y＝x+，直线x＝交l1于点A1，交l2于点B1，可得A1（，），B1（，），过点B1作y轴的垂线交l1于点A2，可得A2的纵坐标为，过点A2作x轴的垂线，交l2于点B2，可得B2（，），过点B2作y轴的垂线交l1于点A3，…，进而发现规律即可得Bn的坐标为（，）．
【解答】解：∵直线l1：y＝x，直线l2：y＝x+，直线x＝交l1于点A1，交l2于点B1，
∴A1（，），B1（，），
∴A2的纵坐标为，
∴A2（，），
∴B2（，），
同理：A3（，），B3（，），
A4（，），B4（，），
……，
∴Bn的坐标为（，）．
故答案为：（，），（，）．
【点评】此题考查规律型：点的坐标，一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，关键是利用一次函数的性质解决问题．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象的一个交点坐标为（p，q），则其另一个交点坐标为　（﹣p，﹣q）　．
【分析】联立正比例函数和反比例函数解析式，可得两个交点关于原点对称，可得另一个交点坐标为（﹣p，﹣q）．
【解答】解：联立，可得x2＝，
∴x＝±，
∵其中一个交点坐标为（p，q），
∴另一个交点坐标为（﹣p，﹣q），
故答案为：（﹣p，﹣q）．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点坐标，经过计算会发现，两个交点关于原点对称．
22．写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式 　y＝（x﹣1）2　．
【分析】由顶点式y＝a（x﹣h）2+k，可知要使顶点在x轴上，即当k＝0，a≠0时，即满足题意．
【解答】解：抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k
∵由开口向上，
∴a＞0．
∵顶点在x轴上．
∴k＝0．
满足这两个条件即可．
答案不唯一，如：y＝（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质进行求解是解决本题的关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为　﹣4　．
【分析】联立两个函数表达式得：kx＝，即kx2﹣4＝0，则x1x2＝﹣，故x1•y2＝kx1x2＝k（﹣）＝﹣4，即可求解．
【解答】解：联立两个函数表达式得：kx＝，即kx2﹣4＝0，
则x1x2＝﹣，
点N在直线上，则y2＝kx2，
故x1•y2＝kx1x2＝k（﹣）＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，利用根与系数的关系是本题解题的关键．
24．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线y＝﹣上．若a＜0，则点A在第　二　象限．
【分析】把点A（a，b）代入y＝﹣得，ab＝﹣1，由a＜0，得出b＞0，即可判定点A在第二象限．
【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线y＝﹣上．
∴ab＝﹣1，a＜0，
∴b＞0，
∴点A在第二象限，
故答案为二．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
25．在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（1，1），有以下4种说法：
①一次函数y＝x的图象与线段AB无公共点；
②当b＜0时，一次函数y＝x+b的图象与线段AB无公共点；
③当k＞1时，反比例函数y＝的图象与线段AB无公共点；
④当b＞1时，二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与线段AB无公共点．
上述说法中正确的是　②③　．
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征以及它们的性质即可判断．
【解答】解：①∵一次函数y＝x的图象经过点（1，1），
∴一次函数y＝x的图象与线段AB有公共点，故①错误；
②∵b＜0，
∴1+b＜1，
∵一次函数y＝x+b的图象经过点（1，1+b），
∴b＜0时，一次函数y＝x+b的图象与线段AB无公共点，故②正确；
③∵当x＝1时，反比例函数y＝＝k＞1，
∴当k＞1时，反比例函数y＝的图象与线段AB无公共点，故③正确；
④∵二次函数y＝x2﹣bx+1的图象经过点（0，1），
∴二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与线段AB有公共点，故④错误；
故答案为②③．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
三．解答题（共35小题）
26．在平面直角坐标系xOy中，将点A（m，2）向左平移2个单位长度，得到点B，点B在直线y＝x+1上．
（1）求m的值和点B的坐标；
（2）若一次函数y＝kx﹣1的图象与线段AB有公共点，求k的取值范围．
【分析】（1）先求得B的坐标，代入y＝x+1即可求得m的值；
（2）分别求出直线y＝kx﹣1过点A、点B时k的值，再结合函数图象即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（m，2）向左平移2个单位长度得到点B，
∴点B（m﹣2，2），
又∵点B（m﹣2，2）在直线y＝x+1上，
∴2＝m﹣2+1，
∴m＝3，
∴B（1，2）．
（2）∵一次函数y＝kx﹣1图象过点（0，﹣1），且A（3，2），B（1，2），
∴当一次函数y＝kx﹣1图象过点A（3，2）时，k＝1，
当一次函数y＝kx﹣1图象过点B（1，2）时，k＝3，
如图，若一次函数y＝kx﹣1与线段AB有公共点，则k的取值范围是1≤k≤3．

【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣平移，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．
27．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（2，m），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长得到点B．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若一次函数的图象过点B，且与反比例函数y＝（k≠0）的图象没有公共点，写出一个满足条件的一次函数的表达式．
【分析】（1）将点A（2，m）代入一次函数解析式求解．
（2）联立一次函数与反比例函数方程，求出Δ＜0时k的取值范围．
【解答】解：（1）将（2，m）代入y＝x+1得m＝3，
∴点A坐标为（2，3），k＝2×3＝6，
∴y＝．
点B坐标为（0，4）．
（2）y＝﹣10x+4，理由如下：
∵一次函数图象经过点B（0，4），
∴设一次函数解析式为y＝kx+4，
联立方程可得kx2+4x﹣6＝0，
∵一次函数图象与反比例函数y＝无交点，
∴△＝16+24k＜0，
∴k＜﹣即可．
∴y＝﹣10x+4满足题意．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数、一元二次方程的综合应用，解题关键是熟练掌握求函数解析式的方法及一元二次方程的判别式．
28．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）经过一个定点P，直线l与反比例函数y＝（x＞0）图象相交于点P．
（1）直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）可以看成是直线y＝kx+3（k≠0）沿x轴向　右　（填“左”或“右”）平移1个单位得到的，请直接写出定点P的坐标；
（2）求m的值；
（3）直线y＝kx﹣k+3（k≠0）与x轴、y轴分别交于点M，N．若PM＝2PN，求k的值．
【分析】（1）由平移的性质得出向右平移，再令x﹣1＝0，求出定点P的坐标；
（2）将点P的坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论；
（3）先求出点M，N的坐标，进而得出PM2，PN2，利用PM＝2PN，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）y＝k（x﹣1）+3（k≠0）可以看成是直线y＝kx+3（k≠0）沿x轴向右平移1个单位得到的，
针对于y＝k（x﹣1）+3（k≠0），
令x﹣1＝0，即x＝1时，y＝3，
∴定点P（1，3），
故答案为右；

（2）由（1）知P（1，3），
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝1×3＝3；

（3）针对于直线y＝kx﹣k+3（k≠0），
令x＝0则y＝﹣k+3，
∴N（0，﹣k+3），
令y＝0，则kx﹣k+3＝0，
∴x＝1﹣，
∴M（1﹣，0），
由（1）知，P（1，3），
∴PM2＝（1﹣﹣1）2+32＝+9，PN2＝12+k2＝k2+1，
∵PM＝2PN，
∴PM2＝4PN2，
∴+9＝4（k2+1），
∴4k4﹣5k2﹣9＝0，
∴（4k2﹣9）（k2+1）＝0，
∴k＝或k＝﹣．
【注】（3）的第二种方法提示：分k大于0和小于0两种情况，利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再将点M的坐标代入直线解析式中，即可得出结论．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，两点间的距离公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
29．已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．

【分析】（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，即可求解；
（2）①设点P的坐标为（m，﹣2m），当y＝﹣2m＝时，x＝﹣，即可求解；
②由△POQ的面积＝PQ×yP＝×（﹣﹣m）×（﹣2m）＞3，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，
即k＝﹣2；

（2）①由（1）知，y＝﹣2x，
设点P的坐标为（m，﹣2m），
当y＝﹣2m＝时，x＝﹣，
故点Q的坐标为（﹣，﹣2m）；
②△POQ的面积＝PQ×yP＝×（﹣﹣m）×（﹣2m）＞3，

解得m＞1或m＜﹣1，
由函数y＝（x＞0），则m＜0，
故m＜﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
30．在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x≠0）的图象相交于点P（1，1）．
（1）求k的值；
（2）过点M（0，a）平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数y＝x、反比例函数y＝的图象相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）当≤a≤2时，求x1+x2的取值范围．

【分析】（1）运用待定系数法将点P（1，1）代入y＝（k≠0，x≠0），求出k即可；
（2）由题意得：y1＝y2＝a，进而可得x1+x2＝a+，根据a2+b2≥2ab，即可求出x1+x2≥2，再由≤a≤2，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0，x≠0）的图象经过点P（1，1），
∴1＝，
∴k＝1，
（2）由题意得：y1＝y2＝a，
∴x1＝y1＝a，x2＝＝，
∴x1+x2＝a+，
∵a＞0，
∴a+≥2＝2，
∴x1+x2≥2，
当a＝时，M（0，），A（，），B（2，），
∴x1+x2＝+2＝，
当a＝2，M（0，2），A（2，2），B（，2），
∴x1+x2＝2+＝，
∴x1+x2的取值范围为：2≤x1+x2≤．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，不等式性质等知识，熟练掌握待定系数法及反比例函数图象和性质等相关知识是解题关键．
31．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与直线y＝3x平行，且过点A（2，7）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线l2与直线l1关于y轴对称，直线y＝m与直线l1，l2围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意直线l1：y＝kx+b（k≠0）中k＝3，把点A（2，7）代入即可求得b，从而求得直线l1的函数表达式；
（2）分两种情况，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝3x平行，
∴k＝3，
把点A（2，7）代入直线y＝3x+b中，得到7＝6+b，
解得b＝1，
∴直线l1的解析式为y＝3x+1；
（2）∵直线l2与直线l1关于y轴对称，
∴直线l2为y＝﹣3x+1，
画出函数图象如图，
结合图象，可得﹣4≤m＜﹣3或5＜m≤6时，区域W内恰有6个整点．

【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，两条直线平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
32．在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y＝（k＜4）的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．
（1）当k＝﹣4时，求线段AC，BD的长；
（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）分别把x＝2，y＝2分别代入解析式求得对应的函数值和自变量的值，即可求得B（2，﹣2），C（﹣2，2），D（2，0），从而求得AC＝4，BD＝2；
（2）根据题意得出AB＜2BD，即可得出2﹣＜2×或2﹣＜2×（﹣），解得即可．
【解答】解：（1）当k＝﹣4时，反比例函数为y＝﹣，
把x＝2代入得，y＝﹣2，把y＝2代入得，x＝﹣2，
∴B（2，﹣2），C（﹣2，2），D（2，0）．
∴AC＝4，BD＝2；
（2）∵点A（2，2），
∴B（2，），D（2，0），C（，2），
∵AB＝2﹣，AC＝2﹣，
∴AB＝AC，
∵AC＜2BD，
∴AB＜2BD，
当k＞0时，如图1，
2﹣＜2×，
∴k＞，
∴＜k＜4；
当k＜0时，如图2，
2﹣＜2×（﹣），
∴k＜﹣4，
综上，当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围是k＜﹣4或．


【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
33．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，2）是直线l：y＝x﹣1与函数y＝（x＞0）的图象G的交点．
（1）①求a的值；
②求函数y＝（x＞0）的解析式．
（2）过点P（n，0）（n＞0）且垂直于x轴的直线与直线l和图象G的交点分别为M，N，当S△OPM＞S△OPN时，直接写出n的取值范围．

【分析】（1）①A（a，2）代入y＝x﹣1即可得a，
②把A（3，2）代入y＝可得k的值，即可求出反比例函数解析式；
（2）S△OPM＞S△OPN即是yM＞yN，观察图形交点，数形结合即可得到答案．
【解答】解：（1）①A（a，2）代入y＝x﹣1得：2＝a﹣1，
∴a＝3；
②∵a＝3，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入y＝得：2＝，
∴k＝6，
∴函数y＝（x＞0）的解析式为y＝；
（2）如图：

∵S△OPM＝OP•PM，S△OPN＝OP•PN，S△OPM＞S△OPN
∴PM＞PN，即yM＞yN，
由图象G：y＝与直线l：y＝x﹣1交于A（3，2）知，当x＞3时，yM＞yN，
∴当S△OPM＞S△OPN时，x＞3，即n＞3．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数解析式及交点问题，数形结合是解题的关键．
34．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A，点B的横坐标xA，xB满足xA＞xB，直线y＝﹣x+b与x轴的交点为C（3，0），与y轴的交点为D．
（1）求b的值；
（2）若xA＝2，求k的值；
（3）当AD≥2BD时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）将点C代入y＝﹣x+b求解．
（2）把xA＝2代入一次函数解析式求出点坐标，再代入反比例函数解析式求解．
（3）分类讨论k＞0与k＜0两种情况，根据坐标系中中点公式求解．
【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝﹣x+b得0＝﹣3+b，
∴b＝3．
（2）将x＝2代入y＝﹣x+3得y＝﹣2+3＝1，
∴点A坐标为（2，1）．
将（2，1）代入y＝得1＝，
解得k＝2．
（3）由（1）得一次函数解析式为y＝﹣x+3．
∴直线与y轴交点D的坐标为（0，3）．
如图，当k＞0时，直线与双曲线交点在第一象限，

当AD＝2BD时点B为AD中点，设点A坐标为（m，），点B坐标为（a，b），
∴，
∵b＝，
∴，
解得m＝k，
∴b＝＝2，
将y＝2代入y＝﹣x+3中得x＝1，
∴点B坐标为（1，2），k＝1×2＝2．
∵|k|越大双曲线越远离坐标轴，
∴0＜k≤2．
当k＜0时，交点B在第二象限，交点A在第四象限，作AE，BF垂直于y轴．

联立方程，
解得xA＝，xB＝
∵BF∥AE，
∴△BDF∽△ADE，
∴＝，
当AD≥2BD时，≥2，
解得k≥﹣18，
∴﹣18≤k＜0．
综上所述，0＜k≤2或﹣18≤k＜0．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数及反比例函数的性质．
35．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与直线l：y＝﹣x﹣2交于点A（a，﹣4），直线l与x轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）在y轴上存在一点C，使得S△ABC＝3，求点C的坐标．
【分析】（1）先将点A坐标代入y＝﹣x﹣2中可求出a＝2，然后把A点坐标代入反比例函数y＝中可确定k的值；
（2）利用一次函数解析式可确定B点坐标，设C（0，t），利用三角形面积公式得到×|t+2|×2+×|t+2|×2＝3，然后求出t可得到C点坐标．
【解答】解：（1）将点A（a，﹣4）的坐标代入y＝﹣x﹣2中，
得﹣4＝﹣a﹣2，
解得a＝2；
∴点A（2，﹣4），
将点A（2，﹣4）的坐标代入反比例函数y＝中，
得k＝2×（﹣4）＝﹣8；
答：a，k的值为2，﹣8；
（2）当y＝0，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0）．
设C（0，t），
∵S△ABC＝3，
∴×|t+2|×2+×|t+2|×2＝3，
即|t+2|＝，
∴t＝﹣或﹣，
∴C（0，﹣）或C（0，﹣）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
36．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，0）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣2x+n的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）通过待定系数法将A（0，﹣1），B（1，0）代入解析式求解．
（2）解含参不等式﹣2x+n≤kx+b．
【解答】解：（1）将A（0，﹣1），B（1，0）代入解y＝kx+b得，
，解得，
（2）由（1）得y＝x﹣1，
解不等式﹣2x+n≤x﹣1得x≥，
由题意得≤1，即n≤2．
故答案为：n≤2．
【点评】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
37．在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．
（1）求k和m的值；
（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法可求k，然后把B（1，m）代入即可求得m；
（2）由图象可知，P点在x轴的上方、B点的下方或P点在A点的下方符合题意．
【解答】解：（1）∵双曲线过点A（﹣3，﹣1），
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝＝3；
（2）∵直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，3），且点Q位于点P的右侧，
∴0＜n＜3或n＜﹣1．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，数形结合是解决本题的关键．
38．平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（2，3）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝x+a的值都大于一次函数y＝kx﹣1的值，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）将点（2，3）代入y＝kx﹣1，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点（2，3）可画图解决．
【解答】解：（1）将点（2，3）代入y＝kx﹣1，得2k﹣1＝3，即k＝2，
故这个一次函数的解析式是y＝2x﹣1．
（2）把点（2，3）代入y＝x+a，得3＝2+a，即a＝1，
∵当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝x+a的值都大于一次函数y＝kx﹣1的值，
∴a≥1．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
39．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣k+2（k＞0），函数y＝（x＞0）的图象为F．
（1）若A（2，1）在函数y＝（x＞0）的图象F上，求直线l对应的函数解析式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l：y＝kx﹣k+2（k＞0），图象F和直线y＝围成的区域（不含边界）为图形G．
①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；
②若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）把A（2，1）代入y＝（x＞0）中可得k的值，从而求得直线l对应的函数解析式；
（2）①画图可得整点的个数；
②画图计算边界时k的值，可得k的取值范围．
【解答】解：（1）把A（2，1）代入y＝（x＞0）得2k＝2×1，
∴k＝1，
∴直线l对应的函数解析式为y＝x+1；
（2）①解方程＝x+1得x1＝﹣2（舍去），x2＝1，则直线l：y＝kx﹣k+2（k＞0）与函数y＝（x＞0）的图象的交点为（1，2），
如图1所示，区域G内的整点有（1，1）一个；


②如图2，当k＝2时，则直线l：y＝2x，函数y＝（x＞0）经过点（2，2）、（1，4）、（4，1），此时图形G内有（1，1），（2，1），（3，1）三个整点；
当k＝时，则直线l：y＝x+，函数y＝（x＞0）经过点（1，3）和（3，1），此时图形G内有（1，1），（2，1）两个整点，
当k＝1时，则直线l：y＝x+1，函数y＝（x＞0）经过点（1，2）和（2，1），此时图形G内有（1，1）一个整点；
当k＝时，则直线l：y＝x+，函数y＝（x＞0）经过点（1，1），此时图形G内没有整点；
当k＝时，则直线l：y＝x+，函数y＝（x＞0），此时图形G内有（﹣1，1）、（0，1）两个整点；
当k＝时，则直线l：y＝x+，函数y＝（x＞0）此时图形G内有（﹣2，1）、（﹣1，1）、（0，1）3个整点；


观察图象可知：当＜k≤2或≤k时，区域G内有三个整点．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
40．在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y＝交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求m，n的值及直线l的解析式；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是线段AB上两点且x1＜x2，PQ＝2，若线段PQ与双曲线y＝无交点，求x1的取值范围．

【分析】（1）将B代入反比例函数解析式求出m，再求点A坐标，再通过A，B坐标求一次函数解析式．
（2）当点Q与A重合时求x1最大值，点P与B重合时求x1最小值．
【解答】解：（1）将B（﹣2，﹣1）代入y＝得m＝2，
将A（1，n）代入y＝得n＝2．
∴点A坐标为（1，2）．
设直线l解析式为：y＝kx+b，
将A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝x+1．
（2）作AC∥y轴，BC平行于x轴交于点C，
∴AC＝BC＝3，△ABC为等腰直角三角形，
作PE∥x轴交AC于点E，
当点Q与点A重合时，
△PQE为等腰直角三角形，PQ＝2，
∴AE＝PE＝2，
∴点E坐标为（1，0），
1﹣2＝﹣1，
∴点P坐标为（﹣1，0），
∴x1＝﹣1．

当点P与B重合时，x1＝﹣2，
∴﹣2＜x1＜﹣1．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数的解析式．
41．在平面直角坐标系xOy中点A（1，4）为双曲线y＝上一点．
（1）求k的值；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值大于y＝的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把点A（1，4）代入y＝即可；
（2）找到临界点（2，2），求出当函数过（2，2）时，m的值，再结合图象可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（1，4）代入y＝，
可得k＝4．
（2）已知函数y＝mx﹣2（m≠0），过点（0，﹣2），
当x＝2时，y＝＝2，
当y＝mx﹣2过（2，2）时，可得2m﹣2＝2，
解得m＝2，
∵当x＞2时，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值大于y＝的值，
∴当x＞2时，函数y＝mx﹣2（m≠0）的图象在y＝的上方，如图所示，

∴m的取值范围为：m≥2．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式；一次函数与反比例函数交点问题；还用到数形结合的数学思想．
42．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（x＞0）的图象G交于点P（4，b）．
（1）求a，b的值；
（2）直线l1：y＝kx（k≠0）与直线l交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为d1，点N到y轴的距离记为d2，当d1＞d2时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）将P（4，b）先代入y＝x﹣3求出b，再通过反比例函数xy＝k求出a．
（2）分别求出两直线与双曲线交于同一点的两种情况求临界值．
【解答】解：将（4，b）代入y＝x﹣3得b＝4﹣3＝1，
∴点P坐标为（4，1），
∴a＝4×1＝4，
故a＝4，b＝1．
（2）∵图象G：y＝在第一象限，
∴正比例函数y＝kx中k＞0时与图象G有交点，
∵直线l1：y＝kx（k≠0）与直线l有交点，
∴k≠1，
当交点M在第一象限时，0＜k＜1，
当交点M，P，N时重合时，d1＝d2，
此时k＝1÷4＝，
∴＜k＜1满足题意．

当交点M在第三象限且d1＝d2时，
由对称性可知点M，N同时在双曲线上，
联立方程，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴点M横坐标为﹣1，
把x＝﹣1代入y＝x﹣3得y＝﹣4，
∴点M坐标为（﹣1，﹣4），
此时k＝＝4，
∴1＜k＜4．

综上所述，＜k＜1或1＜k＜4．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的应用，解题关键是掌握数形结合方法求解．
43．已知抛物线y＝x2﹣4x+c经过点（﹣1，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴交点的坐标．
【分析】（1）将（﹣1，8）代入抛物线表达式得：8＝（﹣1）2+4+c，即可求解；
（2）令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，即可求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，8）代入抛物线表达式得：8＝（﹣1）2+4+c，解得c＝3，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，
故抛物线和x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
44．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y轴交于点A．
（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a围成的区域（不包括边界）记作G．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．
①当a＝1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；
②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）把y＝ax2﹣4ax+3a化成顶点式y＝a（x﹣2）2﹣a，可得顶点坐标；令x＝0，y＝3a，可求出点A的坐标；
（2）①当a＝1时，则y＝﹣x+3，y＝x2﹣4x+3，再根据整点的定义可得结论；
②对a进行讨论，再结合整点的定义进行分析．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴顶点坐标（2，﹣a）；
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，3a）；
（2）①当a＝1时，y＝﹣x+3，y＝x2﹣4x+3，
可得y＝﹣x+3与y＝x2﹣4x+3的交点为（3，0），（0，3）；
则（1，1），（2，0）是区域G中的两个整点，即区域G中整点的个数为2个；
②联立直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a，可得交点为（0，3a），（3，0），
∴区域G是0≤x≤3，﹣a≤y≤3a组成；
当x＝1时，与直线的交点为（1，2a），与抛物线的交点为（1，0），
同理可得，当x＝2时，与直线的交点为（2，a），与抛物线的交点为（2，﹣a），
区域G中的整点不包括边界，整点有6个，如图，

当0＜a＜1时，G中最多有1个整点；
当a＝1时，G中有2个整点；
当1＜a≤1.5时，G中最多有5个整点；
当1.5＜a≤2时，G中最多有6个整点；
当2＜a≤3.5时，G中最多有13个整点；
∴当时，区域G中恰有6个整点．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查二次函数图象的性质，利用数形结合思想分析会更直观．
45．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；
（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；
（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，
∴顶点坐标为（b，﹣2）；
（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），
得b＝2，或b＝﹣2（舍去），
∴b＝2，
∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；
顶点坐标为（2，﹣2），

结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；
当x＝0时，y＝2，
∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．
（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，
ymax＝（3﹣b）2﹣2≤2，
∴1≤b≤5，矛盾，不成立；
②若3≤b≤5时，
则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，
且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，
∴3≤b≤5；
③当b≤3≤m≤5时，
ymax＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；
综上，b的取值范围为3≤b≤5．

【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．
46．在平面直角坐标系xOy中，点P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ahx+ah2+1（a＜0）上的两点．
（1）当h＝1时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于0≤x1≤2，4﹣h≤x2≤5﹣h，都有y1≥y2，求h的取值范围．
【分析】（1）先化抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+1，依此可求抛物线的对称轴；
（2）设抛物线上四个点的坐标为A（0，yA），B（2，yB），C（4﹣h，yC），D（5﹣h，yD），由于a＜0，分情况讨论即可求得答案．
【解答】解：（1）当h＝1时，抛物线的表达式为y＝ax2﹣2ax+a+1，
∴y＝a（x﹣1）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）设抛物线上四个点的坐标为A（0，yA），B（2，yB），C（4﹣h，yC），D（5﹣h，yD），
∵a＜0，
∴y1的最小值必为yA或yB．
①由a＜0可知，当时，存在y2≥y1，不符合题意．
②当h＜2时，总有4﹣h＞2．
∵当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴yB＞yC＞yD．
当时，4﹣h﹣h≥|h|．
∴yA≥yC＞yD，符合题意．
当时，4﹣h﹣h＜h．
∴yA＜yC，不符合题意．
③当＜h＜5时，
∵当x＜h时，y随x的增大而增大，
∴yC＜yD，yA＜yB．
当时，5﹣h＞0．
∴yD＞yA，不符合题意．
④当h≥5时，5﹣h≤0．
∴yD≤yA，符合题意．
综上所述，h的取值范围是或h≥5．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式及求顶点坐标的方法是解本题的关键，根据图象及性质确定t的范围是本题的难点．
47．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与x轴的交点为点A（1，0）和点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）分别过点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．
①当a＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m﹣n的最小值；
②若存在实数t，使得m﹣n＝2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据A点的坐标代入函数可以得出系数关系式，根据对称轴公式可求出对称轴，再根据对称性求出B点坐标；
（2）①当a＝2时，根据函数解析式可以求出顶点坐标，根据给出的P、Q点坐标可以确定t值，即进一步确定G的图像，即可求出m﹣n最小值；
②分a＞0和a＜0两大情况，再每种情况下按t的取值范围分四小类，分别讨论a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与x轴的交点为点A（1，0），
∴0＝a+b+3a，
即b＝﹣4a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵B点是函数图象与x轴的另一交点，
根据对称性可得，B（3，0）；
（2）①当a＝2时，函数解析式为y＝2x2﹣8x+6（a≠0），图像如右图，
∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣2），
∵由图像知当图象G为对称图形时m﹣n有最小值，P（t，0）Q（t+2，0），
∴2﹣t＝t+2﹣2，
∴t＝1，
∵点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，
∴M（1，0），N（3，0），
∵顶点坐标为（2，﹣2），
∴m﹣n的最小值为0﹣（﹣2）＝2；
②∵点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，
由（1）知b＝﹣4a，
∴M（t，at2﹣4at+3a），N（t+2，a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a），
又∵抛物线对称轴为2，顶点坐标为（2，﹣2），
∴根据M、N点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论a的取值：
（Ⅰ）当a＞0，且t≤0时，即图象G在对称轴左侧时，
此时M点的纵坐标最大，N点的纵坐标最小，
∴at2﹣4at+3a﹣[a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a]＝2，
解得t＝1﹣，
又∵t≤0，a＞0，
∴1﹣≤0且a＞0，
∴0＜a≤，
（Ⅱ）当a＞0，且t≥2时，即图象G在对称轴右侧时，
此时N点的纵坐标最大，M点的纵坐标最小，
∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a﹣（at2﹣4at+3a）＝2，
解得t＝1+，
又∵t≥2，a＞0，
∴1+≥2且a＞0，
∴0＜a≤，
（Ⅲ）当a＞0，且0＜t≤1时，即最低点是图形顶点时且M点纵坐标大，
此时M点的纵坐标最大，当x＝2时的纵坐标最小，
∴m＝at2﹣4at+3a，
n＝4a﹣8a+3a＝﹣a，
即at2﹣4at+3a﹣（﹣a）＝2，
解得t＝2±，
又∵0＜t≤1，a＞0，
∴t＝2﹣，
即0＜2﹣≤1，
∴≤a＜2，
（Ⅳ）当a＞0，且1＜t＜2时，即最低点是图形顶点时且N点纵坐标大，
此时N点的纵坐标最大，当x＝2时的纵坐标最小，
∴m＝a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a，
n＝4a﹣8a+3a＝﹣a，
即a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a﹣（﹣a）＝2，
解得t2＝，
又∵1＜t＜2，a＞0，
∴1＜＜4，
∴＜a＜2，
同理可得当a＜0时，﹣2≤a＜0也符合条件，
综上，a的取值范围为0＜a≤2或﹣2≤a＜0．

【点评】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象G上纵坐标的大小值．
48．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0）（其中x1＜x2），且满足x1＜6﹣2x2，求a的取值范围．

【分析】（1）由二次函数的对称轴x＝﹣，求出对称轴x＝1；
（2）由二次函数与x轴有两个交点，Δ＞0，求根公式求出x1，x2，且x1＜6﹣2x2，求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），
∴a＝a，b＝﹣2a，c＝1，
∴函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1；
（2）由求根公式得：
x1＝＝，
x2＝＝，
∴x1+x2＝2，
∵x1＜6﹣2x2，
∴x1+2x2＜6，
即x1+x2+x2＜6，
∴x2＜4，即＜4，
∵二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0），
∴△＝4a2﹣4a＞0，
解得•：a＞1或a＜0，
①当a＞1时，2a+＜8a，解之得a＞1或a＜﹣（舍去），
∴a＞1，
②当a＜0时，2a+＞8a，即＞6a恒成立，
∴a＜0．
③a小于0的时候，x2需要小于4，所以x＝4时应该保证y＜0，即16a﹣8a+1＜0，
所以a＜﹣．
∴a的取值范围：a＞1或a＜﹣．
解法二：（2）y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1，
对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣a+1），
∴x1+x2＝2，
又x1＜6﹣2x2，
解得：x2＜4，
①当a＞0时，二次函数开口向上，如图：

二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0），
∴顶点在x轴的下方，x＝4时，y＞0，
则，
解得：a＞1；
②当a＜0时，二次函数开口向下，如图：

顶点在x轴的上方，x＝4时，y＜0，
则，
解得：a＜﹣．
∴a的取值范围：a＞1或a＜﹣．
【点评】本题考查了，二次函数对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，判别式Δ＞0，解不等式等知识．关键是二次函数的应用．
49．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将抛物线y＝ax2﹣3ax+1化成顶点式，抛物线对称轴可得；
（2）先求出点A坐标，利用抛物线的对称性即可求点B的坐标；
（3）分a＞0和a＜0两种情形讨论解答，首先依据题意画出图形，观察图象，利用点Q的位置确定Q的横坐标a+1的大小，a的取值范围可以求得．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣3ax+1＝a（x2﹣3x）+1＝a+，
∴抛物线y＝ax2﹣3ax+1的对称轴为直线x＝．
（2）令x＝0，则y＝1．
∴A（0，1）．
∵点B是点A关于对称轴的对称点，
∴A与B的纵坐标相同．
∵对称轴为直线x＝，
∴点A与B到直线x＝的距离均为，
∴点B的横坐标为．
∴B（3，1）．
（3）由题意：a≠0．
①当a＞0时，如图，

∵Q（a+1，1），A（0，1），B（3，1），
∴点Q，A，B在直线y＝1上．
∵P（0，2），
∴从图上可以看到：当点Q在点A的左侧（包括点A）或在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∵A（0，1），B（3，1），
∴a+1≤0（不合题意，舍去）或a+1≥3．
∴a≥2．
②当a＜0时，如图，

由①知：点Q，A，B在直线y＝1上．
∵P（0，2），
∴从图上可以看到：当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∵A（0，1），B（3，1），
∴0≤a+1＜3．
∴﹣1≤a＜2．
又∵a＜0，
∴﹣1≤a＜0．
综上，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，a的取值范围为：﹣1≤a＜0或a≥2．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的对称轴，开口方向，图象上点的坐标的特征．利用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标是解决此类问题的重要方法．
50．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式x＝﹣，求解即可．
（2）①y1＞y2．利用图象法，根据函数的增减性判断即可．
②通过计算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），分别求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴为直线x＝﹣＝m．
（2）①y1＞y2．
理由：当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴；
所以图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；

∵x1＜x2，
∴y1＞y2．

②通过计算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：
如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），

经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y1＝y2，不符题意；
如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），

点M，N分别和点P，Q重合，y1＝y2，不符题意；
如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），

经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y1＞y2，符合题意．
此时有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2．
综上所述，m的取值范围为﹣2＜m＜2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
51．在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．
（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；
（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，可以求得点A坐标；
（2）因为OA与x轴夹角为45°，则点A到坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时，也可以发现点A在直线y＝2x+1上运动；
（3）先由平移知识，可以得到Q点坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线y＝2x+1也经过P点，并且当A与P重合时，此时m取得最小值，当A沿直线y＝2x+1向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过Q点时，同时，要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x﹣m）2+2m+1，
∴顶点 A（m，2m+1）；
（2）设x＝m，y＝2m+1，消掉m，得y＝2x+1，
∴A在直线y＝2x+1上运动，
∴A所在象限可能为第一、第二、第三象限，
∵射线OA与x轴所成的夹角为45°，
∴可以分两类讨论，
①当A在第一、第三象限时，m＝2m+1，
解得m＝﹣1，
②当A在第二象限时，m+2m+1＝0，
解得m＝，
∴m＝﹣1或；
（3）当P（0，1）向右平移4个单位长度得到Q，
则Q（4，1），且PQ∥x轴
∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y＝2x+1上运动，
∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m＝0，
由图2，数形结合，当顶点A沿直线y＝2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，
当抛物线经过Q点时，即当x＝4，y＝1时，﹣（4﹣m）2+2m+1＝1，
∴m＝2或8，
当m＝2时，抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，
当m＝8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，
∴当0≤m≤8，且m≠2时，抛物线与线段PQ只有一个交点

【点评】此题考查的是二次函数综合题，主要考查的是数形结合思想，根据题意，充分挖掘题目中的数据参数，是画图的关键，根据图像，判断临界位置，即可解决问题．
52．在平面直角坐标系xOy中，M（a，y1），N（a+t，y2）为抛物线y＝x2+x上两点，其中t＞0．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若t＝1，点M，点N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当△MNQ为等腰直角三角形时，求a的值；
（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）令y＝x2+x＝0，解得x＝0或﹣1，即可求解；
（2）由题意得，此时点Q的坐标为（a+t，y1），再利用MQ＝NQ，即可求解；
（3）①当点M、N在对称轴同侧时，当点M、N均为对称轴的右侧时，即a≥﹣，则y2﹣y1＝t2+2at+t＝1，进而求解；当点M、N均在对称轴左侧时，同理可解；②当点M、N在对称轴两侧时，同理可解．
【解答】解：（1）令y＝x2+x＝0，解得x＝0或﹣1，
故抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）或（﹣1，0）；

（2）由题意得，此时点Q的坐标为（a+t，y1），
∵△MNQ为等腰直角三角形，故MQ＝NQ，
则MQ＝a+t﹣a＝t＝1，
NQ＝|y1﹣y2|＝|（a+1）2+a+1﹣a2﹣a|＝MQ＝1，
解得a＝﹣或﹣；

（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（﹣，﹣），
①当点M、N在对称轴同侧时，
当点M、N均为对称轴的右侧时，即a≥﹣，
则y2﹣y1＝（a+t）2+（a+t）﹣a2﹣a＝t2+2at+t＝1，
∴a＝（1﹣t﹣t2）≥﹣，解得0≤t≤1；
当点M、N均在对称轴左侧时，可得：0≤t≤1；
∴0≤t≤1；
②当点M、N在对称轴两侧时，
则最小值为﹣，最大值为y1或y2，
当最大值为y1时，则y1﹣（﹣）＝1，
即a2+a+＝1，解得a＝﹣，
则与点M关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，
故点N的横坐标a+t在﹣和之间，即﹣≤t﹣≤，
解得1≤t≤2；
当最大值为y2时，同理可得，1≤t≤2；
故1≤t≤2；
综上，0＜t≤2．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形性质、解不等式等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
53．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x．
（1）若抛物线过点（2，0），求抛物线的对称轴；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点．
①当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，求a的值；
②若对于x1＞x2≥﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）把点（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣（a+1）x，求出解析式，再利用对称轴公式计算即可；
（2）当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，说明M（x1，y1）与N（x2，y2）对称，根据对称轴公式计算a即可；
（3）利用二次函数的性质，即可求得．
【解答】解：（1）∵函数图象过点（2，0），
∴0＝4a﹣2（a+1），
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x，
对称轴x＝﹣＝﹣＝1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1．

（2）①∵x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，
二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，
∴，
∴．
②由题意可知，对于任意的x≥﹣2，y随x的增大而减小，从而：，
解得：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．
54．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）当b＝﹣2时，
①若c＝4，求该函数最小值；
②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；
（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．
【分析】（1）①利用配方法，把二次函数的解析式写成顶点式即可．
②由题意，判断出x＝2时，y＝5，利用待定系数法可得结论．
（2）当c＝2b时，y＝x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，分三种情形：①当﹣＜b，即b＞0时，②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，③当﹣＞b+2，即b＜﹣，分别利用待定系数法，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）①由题意，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
∴函数的最小值为3．
②∵y＝x2﹣2x+c，
∴对称轴x＝1，
∵2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，
∴x＝2时，y＝5，
∴5＝4﹣4+c，
∴c＝5．
（2）当c＝2b时，y＝x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b•b+2b＝2b2+2b最小值，
∴2b2+2b＝12，解得，b1＝﹣3（舍去），b2＝2；
②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，
∴x＝﹣，y的值最小，
∴b2﹣+2b＝12，方程无解．
③当﹣＞b+2，即b＜﹣，
在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+2时，y＝（b+2）2+b（b+2）+2b＝2b2+8b+4为最小值，
∴2b2+8b+4＝12．解得，b1＝﹣2+2（舍去），b2＝﹣2﹣2；
综上所述，满足条件的b的值为2或﹣2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
55．在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．

【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可判断；
（3）当t≤1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，当t＞1时，令x1＝﹣1时，y1＞y2，不符合题意，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+1＝（x﹣t）2﹣t2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝t；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝t，
∴点M（t﹣2，m）关于对称轴的对称点为（t+2，m），
t＜t+2＜t+3，
∴m＜n，
故答案为：＜；
（3）当t≤﹣1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，符合题意；
只要满足x1到对称轴距离小于3到对称轴距离，从而取﹣1与3的中点1，即可得之．
综上所述：t≤1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．
56．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．

（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为　y3＞y1＞y2　；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
【分析】（1）先将m＝2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；
（2）①根据函数对称轴为直线x＝﹣计算可得结论；
②函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较y1，y2，y3的大小关系；
（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＞﹣3，分别求解即可．
【解答】解：（1）当m＝2时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴函数对称轴为直线x＝﹣＝m；
②∵函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，
∴离对称轴距离越远，函数值越大，
∵m﹣1＜m＜m+3，且点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，
∴y3＞y1＞y2；
故答案为：y3＞y1＞y2；
（3）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b的表达式并解得：b＝3，
则B（0，3），直线AB的表达式为：y＝x+3，
如图，

在直线y＝3上，当∠AOP＝90°时，点P与B重合，
当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，
则x＝m±2，
∵点P在对称轴的左侧，
∴x＝m+2＞m不符合题意，舍去，
则点P（m﹣2，3），
当△OAP为钝角三角形时，
则0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，
解得：m＞2或m＜﹣1，
∴m的取值范围是：m＞2或m＜﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．
57．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）抛物线的对称轴x＝﹣，计算即可；
（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a，计算即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，即可得出x1的值．
（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；
（2）①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a
＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a
＝0；
②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，
∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，
∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝a﹣2；
（3）方法一、①当a≥﹣1时，
∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，
∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．
若x1＜x2＜a﹣1，
∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意；
若x1＜a﹣1＜x2，
∵a﹣1≥﹣2，
∴2（a﹣1）≥﹣4，
∵x1+x2＜﹣4，
∴x1+x2＜2（a﹣1）．
∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．
∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意．
②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．

方法二、
y1﹣y2＝﹣x12+（2a﹣2）x1+x22﹣（2a﹣2）x2＝（x2﹣x1）（x2+x1）+（2a﹣2）（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（2a﹣2﹣x1﹣x2）＜0，
∵2a﹣2＞x1+x2，
∴x1+x2＜﹣4，
∴2a﹣2≥﹣4，
∴a≥﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
58．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．
①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；
②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2变形为y＝a（x﹣1）2﹣2，即可得到顶点坐标；
（2）①a＝2时，抛物线对称轴x＝1，由图象G为轴对称图形，可得t的值，从而求出A、B坐标，得到m的值；
②分四种情况讨论：t≤﹣1，﹣1＜t≤0，0＜t＜1，t≥1，根据m＝2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2的顶点为（1，﹣2）；
（2）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x，抛物线对称轴x＝1，
∵图象G为轴对称图形，M（t，0），N（t+2，0），
∴1﹣t＝t+2﹣1，
∴t＝0，
∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，
∴A（0，0），B（2，0），
∵顶点为（1，﹣2），
∴m＝0﹣（﹣2）＝2；
②∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，
∴A（t，at2﹣2at+a﹣2），B（t+2，a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2），
又a＞0，抛物线对称轴x＝1，
（一）当t+2≤1，即t≤﹣1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小，
（at2﹣2at+a﹣2）﹣[a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2]＝2，
解得t＝﹣，
∴﹣≤﹣1，
∴a≤；
（二）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1≤1﹣t，即﹣1＜t≤0时，图象G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，
∴（at2﹣2at+a﹣2）﹣（﹣2）＝2，
∴a＝，
又﹣1＜t≤0，
∴＜a≤2；
（三）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1＞1﹣t，即0＜t＜1时，图象G上B的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，
∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（﹣2）＝2，
∴a＝，
又0＜t＜1，
∴＜a＜2；
（四）当t≥1时，图象G上B的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小，
∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（at2﹣2at+a﹣2）＝2，
∴t＝，
又t≥1，
∴a≤，
综上所述，若存在实数t，使得m＝2，则0＜a≤2．
【点评】本题考查二次函数知识的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象G上纵坐标的最大值与最小值列方程．
59．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若AB＝4，求抛物线所对应的函数解析式；
（3）已知点P（a+4，1），Q（0，a+1），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式即可的；
（2）根据题意求得a＝±2，即可求得抛物线所对应的函数解析式；
（3）根据点P（a+4，1），Q（0，a+1），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；
（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝±2，
∴a＝±2，
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝2x2﹣8x+1或y＝﹣2x2﹣8x+1；
（3）当a＞0时，抛物线过点P（a+4，1）时，则＝a，解得a＝4，

∴Q（0，5），
此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．
当a＜0时，抛物线过点P（a+4，0）时，a+4＝0，解得a＝﹣4，

此时，Q（0，0），抛物线与线段PQ有一个公共点；
综上所述，当0＜a≤4或﹣4≤a＜0时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
60．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
【分析】（1）利用x＝﹣求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；
（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；
（3）分类讨论，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，
∵a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，
∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，
y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．