2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第13讲.因动点产生的一次函数关系（含答案）

         可怜的邮递员

本讲内容主要分为三个题型，前两个题型主要是在平面直角坐标系中某些图形上运动的点与面积之间所产生的一次函数关系，这类习题在考试中出现频率较高，在探讨这类问题时首先需要对点所处位置进行分析，看是否需要分类讨论，然后用所设的参数来表示相关线段长度，最终利用求图形面积的一些方法列出等量关系，所涉及的题目难度并不大，并且题目套路性较强，对于初学的同学来说建立这种做题思路是非常重要的；题型三是点的存在性问题之“将军饮马”模型与一次函数的综合，与之前在轴对称版块的学习侧重点不同，主要是把解析法融入到几何题目当中，需要学生一会画图，二会根据点的坐标求直线解析式，最后再求交点坐标，需熟练掌握．

本讲的最后一道例题是师达中学的期中考试题，题中考查了分类讨论思想，需要设出动点坐标，并表示相关线段长度，最后还计算了面积，综合性强，总结并检验了学生在本讲所接受的知识点是否能够牢固掌握，老师可重点强调并讲解．

此类问题的两个难点：

一、分类讨论思想，需要求出动点运动到不同位置时路程与所形成图形的面积之间的关系；

二、用动点运动的路程来表示所需线段的长度．

另外，需要注意自变量的取值范围．

【引例】       如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（    ）

【解析】       B

【例1】         如图，正方形的边长是1，是边上的中点，为正方形边上的一个动点，动点从点出发，沿→→→运动，到达点，若点经过的路程为，的面积为，求与的关系式；并求当时，的值等于多少？

                                                （人大附单元测试）

【解析】       当在上时，，，∴  ①

当在上时，，

化简得  ②

当在上时，，，∴  ③

将代入上述三个关系式中，

① ，解得

②，解得

③，解得（不符合的取值范围，舍去）

∴ 的值为或

【例2】         如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点的坐标分别为．

⑴ 直接写出点的坐标；

⑵ 若过点的直线交边于点，且把长方形的周长分为两部分，求直线的解析式；

⑶ 设点沿的方向运动到点（但不与点重合），求的面积与点所行路程之间的函数关系式及自变量的取值范围．

                                                        （2012昌平区期末）

【解析】       ⑴ .    

⑵ 如图1，

∵长方形中，,

∴.

∴长方形的周长为16．

∵直线分长方形的周长分为两部分，

∴.

∴.

∴．      

设直线的解析式为．

∴    

∴．    

∴直线的解析式为．  

⑶ ①当点在上运动时，．

  ∴．

  ∴与的函数关系式为．

②当点在上运动时，．

  ∴.

  ∴与的函数关系式为． 

③当点在上运动时，．

  ∴．

∴．

  ∴与的函数关系式为．  

【例3】         如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，沿→→→D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成的面积为y，点P运动的路程为x，请写出y与x之间的函数关系式               ．

【解析】       如题图，当点在线段上，即时，

如图1，当点在线段上，即时，

如图2，当点在线段上，即时，

∴

图1                    图2

此类问题的两个难点：

一、根据已知直线的解析式表示动点坐标；

二、用动点及已知点的坐标来表示所需线段的长度；

三、根据动点所处不同位置进行分类讨论．

另外，需要注意自变量的取值范围．

【例4】         已知四条直线，，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．

【解析】       ∵，，x=1交于ABCDEF

∴A（，3），B（,-1），C（1，-1），D（1，3），E（，3），F（，-1）

①

        ∴m=－2

      ②

 ∴m=1

综上说述，或m=1．

【引例】       已知直线经过点A（4，3），与y轴交于点B.

⑴ 求B点坐标；

⑵ 若点C是x轴上一动点，当的值最小时，求C点坐标.     （海淀期末）

【解析】       ⑴ 将点代入解析式中，解得

           ∴

        ⑵ 点关于轴的对称点的坐标为，

          设直线的解析式为，依题意得

            解得     

∴直线的解析式为，与轴的交点即为点，坐标为.

【例5】         已知点A（1，2）和B（3，5），试分别求出满足下列条件的点的坐标：

⑴在x轴上找一点C，使得AC+BC的值最小；

⑵在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小；

⑶在直线y=x上找一点C，使得AC+BC的值最小；

⑷在y轴、y=x上各找一点M、N，使得AM+MN+NB的值最小．

【解析】       ⑴作A关于x轴的对称点，易知坐标（1，）

∵B（3，5）

∴  ∴

即  ∴C（，0）

⑵作B关于y轴对称点，易知坐标（，5），

∵A（1，2）

∴  ∴

  ∴C（0，）

⑶作A关于y=x轴的对称点，易知坐标（2，1）

∵B（3，5）

∴  ∴

y=4x-7  ∴C（，）

⑷作A关于y轴的对称点，易知坐标（-1，2），

作B关于y=x的对称点，易知坐标（5，3），

∴  ∴

∴

∴M（0，） N（，）

【例6】         已知直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动，且，.

⑴根据题意，画出直线，直线（不写画法）；

⑵求四边形的面积与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围.

                                                           （师达中学期中）

【解析】       ⑴ 见下图1；

⑵ 因为点在上，所以，过作轴交直线于点，则，线段

如图1，当时，

如图2，当时，

∴当，，即时，

图1                                       图2

【教师备选】

如图1，、分别在轴和轴上，轴，轴．点从点出发，以的速度，沿五边形的边匀速运动一周（即途经线路为：点）.记顺次连接、、三点所围成图形的面积为，点运动的时间为秒．已知S与之间的函数关系如图2中折线段所示．

⑴求、两点的坐标；

⑵直线将五边形分成面积相等的两部分，求直线的函数关系式．

（2013北大附期中）

【解析】       ⑴连接AD，设点A的坐标为（a，0），

由图2知，则DO+OA=6cm，

DO=6-AO=6-a，

由图2知S△AOD=4，

∴，

整理得：a²-6a+8=0，

解得a=2或a=4，

由图2知，DO＞3，

∴AO＜3，

∴a=2，

∴A的坐标为（2，0），

D点坐标为（0，4），

在图1中，延长CB交x轴于M，

由图2，知AB=5cm，CB=1cm，

∴MB=3，

∴AM=cm．

∴OM=6，

∴B点坐标为（6，3）．

⑵∵在、、上时，直线都不能将五边形分成面积相等的两部分，∴所以点只能在上时，才能将五边形分成面积相等的两部分．

设点，连、，则

∴

即，

同理，由可得

由

解得，

∴，

设直线的函数关系式为，则，

∴，

∴直线的函数关系式为．

训练1.             如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=6，点A、B的坐标分别为、．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段BC扫过的面积为（　　）

A.         B.        C.          D.10

【解析】A

训练2.             已知：如图，等边三角形中，，点是边上的一动点（点可以与点重合，但不与点重合），过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．设，．

⑴ 写出与之间的函数关系式；

⑵ 当的长等于多少时，点与点重合；

⑶ 当线段、相交时，写出线段、、所围成三角形的周长的取值范围．（不必写出解答过程）

（四中期末复习试题）

【解析】       ⑴ 由题意可知,，∴

，

∴

⑵ 当与重合时，即，∴，即时，、重合．

⑶ 当、重合时，周长取最大值为

当与重合时，周长取最小值为

∴周长

训练3.             在平面直角坐标系中，一动点从点出发，在由，，，四点组成的正方形边线上（如图1所示），按一定方向匀速运动．图2是点运动的路程与运动时间（秒）之间的函数图象，图3是点的纵坐标与点运动的路程之间的函数图象的一部分．

请结合以上信息回答下列问题：

⑴ 图②中，与之间的函数关系式是             ；

⑵ 与图③中的折线段相对应的点的运动路程是     →     →     →     ；

（填“”、“”、“”、“”、“”、或“”）

⑶ 当时，直接写出与之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．

（西城期末试题）

【解析】       ⑴

⑵ 点的运动路程是  M   →   D  →   A  →   N 

⑶ 当时，

当时，

当时，，补全图形如下：

训练4.             已知A（，），B（，），点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E，且E点在第二象限。

⑴ 求直线AB的解析式；

⑵ 若点D（0，1），过点B作于F，连接BC，求的度数及的面积；

⑶ 若点G（G不与C重合）是动直线CD上一点，且，试探究与之间满足的等量关系，并加以证明．                               （海淀期末）

【解析】       ⑴ 依题意，设直线AB的解析式为.

∵ A（-1，0）在直线上，

∴.   ∴

∴直线AB的解析式为.

⑵ 如图1，依题意，C（1，0），OC＝1.

由D（0，1）,得OD＝1.

在△DOC中，∠DOC＝90°，OD＝OC＝1.

可得 ∠CDO＝45°.                     

∵ BF⊥CD于F,                                                 

∴ ∠BFD＝90°.

∴ ∠DBF＝ =45°.                                    

可求得直线CD的解析式为                            

由 解得                                         

∴ 直线AB与CD的交点为E(，3).                                   

过E作EH⊥y轴于H, 则EH＝2.

∵ B(0，),  D(0，1), 

∴ BD＝4.

∴

⑶连接BC, 作BM⊥CD于M.

∵ AO=OC,BO⊥AC,

∴ BA=BC.

∴ ∠ABO=∠CBO.

设 ∠CBO=，则∠ABO=，∠ACB=

∵ BG=BA，

∴ BG=BC.

∵ BM⊥CD,

∴ ∠CBM=∠GBM.

设∠CBM=，则∠GBM=，∠BCG＝.

(i) 如图2，当点G在射线CD的反向延长线上时，

∵ ∠ABG=

∠ECA=

∴ ∠ABG=2∠ECA.              

(ii) 如图3，当点G在射线CD的延长线上时，

∵ ∠ABG=

∠ECA=

∴ ∠ABG=2∠ECA.              

综上，∠ABG=2∠ECA.                

题型一  点运动的路程与面积之间的一次函数关系  巩固练习

【练习1】   如图1，边长为2的正方形中，是边的中点，点从出发，按

的顺序运动，设点经过的路程为，的面积为，

⑴ 写出与之间的函数关系式；

⑵ 当时，求点的坐标.

【解析】       ⑴ 如图1，当时，；

如图2，当时，；

如图3，当时，

⑵ 将代入⑴中的三个解析式中，或3.

【练习2】   如图1，边长为2的正方形中，顶点的坐标为，一次函数的图象随着的不同取值变化时，位于的右下方由与正方形的边围成的图形面积为，求与之间的函数关系式（关系式不用化简）.

【解析】       如图1，当时，

如图2，当时，

如图3，当时，

题型二  动点的坐标与面积之间的一次函数关系  巩固练习

【练习3】   已知一次函数图象经过点和点两点，

⑴求此一次函数的解析式；

⑵若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．

⑶若此一次函数的图象与x轴交点C，点是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．

【解析】       ⑴利用A、B两点坐标用待定系数法求得此一次函数解析式为：；

⑵；

⑶C点坐标为，由于P点在直线上，∴

∴

∴①（）

  ②（）

【练习4】   如图，直线OC、BC的函数关系式分别是和，动点在OB上运动，过点P作直线m与x轴垂直.

⑴求点C的坐标，并回答当x取何值时；

⑵设中位于直线左侧部分的面积为，求出与之间的函

  数关系式；

⑶当为何值时，直线平分的面积？

【解析】       ⑴，；

⑵作CD⊥x轴于点D，则D（2，0）．

①（0<x≤2）；

②当P点运动到D、B之间时：

∴；

⑶直线m平分△COB的面积，则点P只能在线段OD上，即0<x<2

△COB的面积等于3，故，解之得.

题型三  一次函数与“将军饮马”问题  巩固练习

【练习5】   在平面直角坐标系中，若点的坐标是，点的坐标是，在轴上求一点，使得最短，则点的坐标为             .                      

【解析】       作点关于轴的对称点，求得直线的解析式为，

其与轴的交点即为所求点.

此题作点的对称点亦可．