专训三十七：二次函数与几何综合：等腰三角形存在性判定-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

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计算力专训三十七：二次函数与几何综合：等腰三角形存在性判定

牛刀小试
1．（2021·温州市第二十三中学初三月考） 如图① 已知抛物线（≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N ，问在对称轴上是否存在点P，使△CNP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）； （2）存在， P（-1，），P（-1，-），P（-1，-6），P（-1，-）；
【解析】
【分析】
（1）由抛物线（a≠0）点A（1，0）和点B （﹣3，0），由待定系数法就可以直接求出a、b的值而求出抛物线的解析式；
（2）由（1）的解析式就可以求出C点的坐标，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP1=NP1时，作P1H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P1N的值，从而求出P1的坐标；
【详解】
（1）如图①，
∵（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （﹣3，0），
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∴N（﹣1，0），
∴ON=1．
∴当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC=3．
在Rt△CON中，由勾股定理，得：CN=，
当P1N=P1C时，△P1NC是等腰三角形，作P1H⊥CN，
∴NH=，△P1HN∽△NOC，
∴，
∴，
∴NP1=，
∴P1（﹣1，），
当P4N=CN时，P4N=，∴P4（﹣1，），
当P2N=CN时，P2N=，∴P2（﹣1，﹣），
当P3C=CN时，P3N=6，∴P3（﹣1，﹣6）
∴P点的坐标为：（﹣1，）、（﹣1，﹣）、（﹣1，﹣6）和（﹣1，）；
2．（2021·辽宁龙城·初三二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得：．
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如答图1，

∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x＝＝﹣1，
∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，
∴P点坐标为：P1（﹣1，）；
∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，
∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．
3．（2021·南通市东方中学初三月考）二次函数过、两点，与轴正半轴交于，
（1）求二次函数解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点，使得三角形为等腰三角形，若存在，直接写出坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1，），D（1，-），（1，6）；
【解析】
【分析】
（1）先求出C（0，3），再把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入，求出a，b，c的值即可；
（2）分三种情形讨论即可①CD=AD，②AD=AC，③AC=CD，画出图形即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵过、两点，且，
∴C（0，3），
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，
∴ ；
（2）抛物线的对称轴为x=，顶点坐标为（1，4），
设D点坐标为：D（1，a），
①如图1，以AC为底，CD=AD时，

∴，
∴
解得，a=1
∴D(1,1);
②以CD为底，AD=AC，如图2，

∵AC=
∴
解得，
∴D（1，），或D（1，-）；
③以AD为底，AC=CD=,如图3，

∴
解得，a=0或6，
∴D（1，0），或D（1，6）；
综上所述，D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1，），D（1，-），（1，6）；
【点睛】
本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．
4．（2021·广东初三三模）如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式．
（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；
（2）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】
（1）抛物线的对称轴为直线．
又抛物线与轴的交点为，
抛物线的解析式为．
（2）存在．
当时，
，
，
解得（舍去）或，此时．
当时，


解得（舍去）或，此时．
当时，
，
，
解得或，均不符合题意，舍去．
综上所诉，存在点使为等腰三角形，点的坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
5．（2021·海口市第九中学初三其他）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）
【解析】
【分析】
（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，
故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；
（2）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），
CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，
①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；
②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；
③当CM＝PM时，同理可得：m＝；
故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
熟能生巧
6．（2021·辽宁铁东·初三月考）如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣x﹣交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣，﹣），B（3，﹣9）；（2）(-3，0)，(，0），（，0），（，0）；（5）(，)，(，)．
【解析】
【分析】
（1）令，即可得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值后再代入抛物线解析式可以得到A、B两点的坐标；
（2）分OA=OP、AP=OP、AP=OA三种情况讨论；
【详解】
解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣x﹣交于A，B两点．
∴﹣x2＝﹣x﹣，解得x1＝3，x2＝﹣，
∴y1＝﹣9，y2＝﹣，
∴A（﹣，﹣），B（3，﹣9），
（2）设P（x,0)，则有：
当OA=OP时，有：
当AP=OP时，有：
当AP=OA时，有：x=0(舍去）或x=-3；
∴在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形，其中点P的坐标为：
(-3，0)或(，0）或（，0）或（，0）．
7．（2021·广东初三其他）如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10．，抛物线经过点B，C，D．
(1)求抛物线的解析式：
(2)抛物线对称轴上是否存在点P，使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】(1)；(2)存在，P点坐标为或 或或
【解析】
【分析】
（1）由菱形对边平行、邻边相等的性质，解得，再由锐角三角函数及勾股定理解得OB、OC的长，进而得到点B、C、D的坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）将抛物线解析式配方成顶点式，解出对称轴方程，三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，则分两种情况讨论：①如果CP=CB，②如果BP=BC，据此解题．
【详解】
解：(1)因为四边形ABCD是菱形，
所以ADBC，BC=AB=10．



又因为在直角三角形OCB中，OC²+OB²=BC，
即
解得OB=6(负值已舍去）
所以OC=8
所以B(-6，0)，C(0，8)，D(-10，8)．
设抛物线的解析式为，·
因为抛物线经过点B，C，D，
解得，
所以抛物线的解析式为
(2)抛物线的解析式为
所以抛物线的对称方程为x=-5
设抛物线的对称轴上存在点P(-5，y)，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形．
由（1）知B(-6，0)，C(0，8)，BC=10．
分两种情况：
①如果CP=CB，那么，
解得
②如果BP=BC，那么
解得．
所以抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形，此时P点坐标为或或)或．
【点睛】
本题考查二次函数综合，其中涉及菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理、待定系数法解二次函数解析式、一次函数解析式、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
8．（2021·浙江高照实验学校初三月考）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

9．（2019·浙江衢州·初三期中）已知抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a<0)的顶点为A，与y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．
(1)当a=﹣2时，求线段OB的长．
(2)是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出计算过程并求出a的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2 （2）a=﹣1或-
【解析】
【分析】
（1）把a=-2代入y=-2（x-1）（x-3）=-2x2+8x-6，解方程得到点C（0，-6），根据勾股定理即可得到结论；
（2）解方程得到C（0，3a），B（4，3a），过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，根据三角形的中位线的性质得到DG=2AE=-2a，求得BD=DG+BG=-5a，当△OBD为等腰三角形时，①当OB=BD=-5a，②当OD=BD=-5a时，③当OD=OB时，DG=BG，解方程即可得到结果；
【详解】
(1)当a=﹣2时，y=﹣2(x﹣1)(x﹣3)=﹣2x2+8x﹣6，
当x=0时，得y=﹣6，
∴点C(0，﹣6)，
当y=﹣6时，即﹣6=﹣2x2+8x﹣6，
解得：x=0，或x=4，
∴点B(4，﹣6)，
∴BC=4，OC=6，
∴OB═ =2 ；
(2)在y═a(x﹣1)(x﹣3)中，令x═0，得y═3a，
∴C(0，3a)，B(4，3a)，
∵点A是抛物线的顶点，
∴A(2，－a)，
过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，
将BD与x轴的交点记为点G，
则E为OG的中点，
∵AE∥BD，
∴DG=2AE=﹣2a，
∴BD=DG+BG=﹣5a，
当△OBD为等腰三角形时，分类讨论：
①当OB=BD=﹣5a，在Rt△OBC中，BC=﹣4a=4，
∴a=﹣1，
②当OD=BD=﹣5a时，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2=16，
∴a=±；∵a<0
∴a=-
③当OD=OB时，DG=BG，但﹣2a≠﹣3a，
   ∴此种情况不可能；
∴a=﹣1或-；
【点睛】
本题考查二次函数的综合题，求函数的解析式，勾股定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题关键．
10．（2021·淮北市西园中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上的一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）存在满足条件的P点，其坐标为；（3）16．
【解析】
【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2-3x-4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，

∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，-4），
∴D（0，-2），
∴P点纵坐标为-2，
代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=（小于0，舍去）或x=，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，-2）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出四边形PBOC的面积是解题的关键．
庖丁解牛
11．（2021·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；

【答案】（1）；（2）或；
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝，
同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．