专题07 角度问题-2022年中考数学二次函数解答题题型全归纳（全国通用）

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如图，已知抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，直线，垂足为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线与该抛物线的另一个交点为，求点的坐标；
（3）设动点在该抛物线上，当时，求的值．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为①；
（2）过点作轴于点，
而直线，轴，
，，
，
，
，则，
而点、的坐标分别为、，则，，设点，
则，，
则，解得（舍去）或，
当时，，
故点的坐标为；
（3）①当点在轴的上方时，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
延长交直线于点，设点，
，直线，
为等腰直角三角形，则，
则，解得，
故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为②，
联立①②并解得（舍去）或，
故点的横坐标；
②当点在轴的下方时，
同理可得，
综上，或．
综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【解答】解：（1）令，得，
解得，，或，
，，
设直线的解析式为，则
，
解得，，
直线的解析式为；
（2）如图1，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，，
，，，
分两种情况：
①当时，得，
解得，，或（舍，
；
②当时，得，
解得，，或（舍，
；
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；
（3）直线与轴交于点，
点的坐标为，
分两种情况：①如图2，当点在轴的正半轴上时，记为点，
过作于点，则，
，
△，
，即
，
，，
，
，
，
连接，
，，
轴，
，
，，
，
，
；
②如图3，当点在轴的负半轴上时，记为点，过作于，则，
，
△，
，即，
，
，，
，
，
，
由①可知，，
，
，
，
，
，
，
综上，点的坐标为或．
如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，线段的垂直平分线与对称轴交于点，与轴交于点，与交于点．对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及对称轴；
（2）求点和点的坐标；
（3）如图2，若点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，请求出此时点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线过点，，
，
，
即所求抛物线的表达式为：，
，
抛物线对称轴为：直线
（2）连接、，作于，如图1所示：
点在直线上
设，
垂直平分，
，
，，
，，
，
解得：，
，
，，
，
，
，即，
，
，
（3）分别延长与，交于点，过点作轴，过点作于点，如图2所示：
，，为的中点，
，
，，
，，
，
，
在和中，，
，
，，
，
又，
设直线的表达式为：，
由题意得：，
解得：，
，
，
（舍去），，
，
，．
如图1，抛物线交轴于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点为轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度；
（3）如图2，连接，点在抛物线上，且满足，求点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线交轴于点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）抛物线与轴交于，两点，
点，
点，点，
，
，
如图1，当点在点上方时，
，
，
，
，
；
若点在点下方时，
，
，
，
，
，
综上所述：线段的长度为或；
（3）如图2，在上截取，连接，过点作，
点，点，
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，当点在的下方时，设与轴交于点，
，
，
，
点，
又点，
直线解析式为：，
联立方程组得：，
解得：或，
点坐标为：，，
当点在的上方时，同理可求直线解析式为：，
联立方程组得：，
解得：或，
点坐标为：，，
综上所述：点的坐标为，，，．
平分角度
如图，二次函数的图象与轴交于点，在左侧），与轴正半轴交于点，点在抛物线上，轴，且．
（1）求点，的坐标及的值；
（2）点为轴右侧抛物线上一点．
①如图①，若平分，交于点，求点的坐标；
②如图②，抛物线上一点的横坐标为2，直线交轴于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求点的坐标．
【解答】解：（1）令，，
或8，
，，
，抛物线的对称轴，
，，
轴，
，
，
点，
，
．
（2）①如图①中，过点作于．
平分，，，
，设，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，把，代入，得到，
直线的解析式为，
，
二次函数的解析式为，
由，解得或（舍弃），
．
②当时，，
，
设直线的解析式为，
把，代入，得到，解得，
直线的解析式为，
点，
，
，
，
．
（Ⅰ）若点在点的上方，如图②中，过点作轴交轴于．
，
轴，
轴，
点与点重合，，
，
，
设，，
轴，
，
，，
，
，
，
或（舍弃），
，
把代入得，，
，．
（Ⅱ）若点在点的下方时，如图③中，过点作轴交的延长线于，过点作交的延长线于，交轴于．
，
四边形是矩形，
，
轴，
，
，
可以假设，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
把点坐标代入，得，，
解得或0（舍弃），
把代入，得到，，
，．
综上所述，满足条件的点的坐标为，或，．
如图1，已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设是（1）中抛物线上的一个动点，当直线平分时，求点的坐标；
（3）如图2，点是线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，若、两点同时出发，运动时间为秒．则当为何值时，的面积是的面积的？
【解答】解：（1），
，，
把，分别代入得：
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）如图，设与轴相交于点，
平分，，
，
，
把代入得，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得：，
解得：，
，
依题意得，
解得，，
；
（3）如图2，过点作轴于点，
轴
，
，
由，，
得，
点运动到点的时间为秒，
点运动到点的时间为秒，
当时，如图2，过点作轴于点，
依题意得：，
，，
，
，，，，
，
，的面积是的面积的，
，
解得：，，
当时，如图3，
，
．
综上所述，当或时，的面积是的面积的．
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点；
①连接，是否存在点，使得平分？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，若点为抛物线上位于下方的一个动点，以、、、为顶点的四边形面积记作，则取何值或在什么范围时，相应的点有且只有两个？
【解答】解：（1）令，得，
令，得，解得，
，，
把，代入中，得
，
解得，，
抛物线的函数表达式为；
（2）①作点关于直线的对称点，过作轴于点，延长与抛物线交于点，
此时，即平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
设直线的解析式为，则
，
解得，，
直线的解析式为：，
联立方程组，
解得，，，
存在点，使得平分，点的横坐标为；
②设．
若点在点的左侧，如图2，过作轴于，连接，，，，，
，
当时，取最大值为，
若点在点的右侧，如图3，过作轴于点，连接，，，．
，
当时，取最大值为，
综上，根据抛物线的对称性质可知，当时，点有且只有两个．
如图，抛物线与.轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴正半轴上的一点，，点在对称轴左侧的抛物线上运动，直线交抛物线的对称轴于点，连接，当平分时，求点的坐标；
（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，
；
点的坐标为，
平分，
，
，
，
，
，
设点，
，
，
或，
当时，
直线的解析式为：，
联立方程组可得：，
，，
点在对称轴左侧的抛物线上运动，
点，；
当时，
直线的解析式为：，
联立方程组可得：，
，，
点在对称轴左侧的抛物线上运动，
点，；
综上所述：点的坐标为，或，；
（3）抛物线与轴交于点，
点，
点，点，
直线解析式为：，
当时，，
点，
点，点，点，点，，
，，，，，
，
如图2，
设点，
当，，，则，
，
解得：，，
点，点；
当，，时，则，
，
解得：，，
点，点；
综上所述：点坐标为或或或．
角度相等
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，该抛物线的对称轴为．
（1）求，的值；
（2）若点在抛物线上，且在轴的下方，作射线，当时，求点的坐标；
（3）若点在抛物线上，点在对称轴上，是否存在点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，对称轴为．
，
解得，．
，．
（2）如图，设直线与交于点，
抛物线解析式与轴交于点，
，
又，
，，
，
，
，
，
，设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
解得，，（舍去），
，．
（3）由（1）知，抛物线解析式为，对称轴直线为，
设，，，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
①当为对角线时，，
，
，，
②当为对角线时，，
，
，，
③当为对角线时，，
，
，，
即：抛物线上存在这样的点，点的坐标分别为：，或，或，．
如图1，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线经过点，点和点，并与直线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为轴上一动点，连接，，，当时，求点的坐标；
（3）如图3，将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，将直线向下平移经过坐标原点，交抛物线于另一点，点，，点是上且位于第一象限内一动点，交于点，轴分别交，于，，试说明：与存在一个确定的数量关系．
【解答】解：（1）令，有，得，
，
把点、和点代入中，得
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）由，得，，
，
，
，，
，
．
．
，，
，，．
，
．
如图2，①当点在点的右边，时，．
，
，
，
；
②当点在点的左边，时，记此时的点为，则有．
过点作轴的垂线，交于点，则，
又公共边，
，
，
直线，
．
的坐标：，或；
（3）．理由如下：
将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，将直线向下平移经过坐标原点，交抛物线于另一点，
抛物线的解析式为，直线的解析式为：，
不妨设，
点，，
直线的解析式为：，
同理，直线的解析式为，
交于点，
，，
轴分别交，于，，
，，，，
，，
．
如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，直线经过点，与轴交于点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点为线段上方抛物线上一动点，若的面积为10，求点的坐标；
（3）点为抛物线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，并使，是否存在点使点恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点、的坐标代入抛物线的解析式得，
，
解得，，
二次函数的解析式为：；
（2）设，，过作轴于点，
则，
，
，
，
解得， 舍 ，或，
点的坐标为，；
（3）①当点在第一象限内，点在轴上时，如图2，
过作轴于点，过作于，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，（舍，或，
此时点的横坐标为；
②当点在轴左边，在轴上时，如图3，过作轴于，过作于，
则，
设，则，，
，
，
，
△，
，，
，，
△，
，
即，
，
，
，
解得，，或（舍，
此时点的横坐标为；
③当点在第四象限内，点在轴上时，如图4，过作轴于，过作于点，
则，
设，则，，
，
，
，
△，
，，
，，
△，
，
即，
，
，
，
解得，（舍，或．
此时点的横坐标为．
综上，存在，其中点的横坐标为或或．
如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．
（1）填空： ；
（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线交直线于点．若，求点的坐标；
（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．
【解答】解：（1）抛物线的图象过点，
，
，
故答案为：；
（2），
抛物线解析式为
抛物线的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，
点，，
（舍去），，
点，
，
顶点坐标，
如图1，当点在点上方时，过点作于，设与轴交于点，
点，点，点，，
点，，，
，，
，
点，点，点，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，
点与点重合，
点是直线与抛物线的交点，
，
，，
点；
当点在点下方上，过点作于，在线段的延长线上截取，连接交抛物线于点，
，，
，
，
，
，
点，点，
直线解析式为：，
点，，
直线解析式为：，
，
解得，
点坐标为，，
，
点，，
直线解析式为：，
联立方程组，
解得：或，
点，；
综上所述：点的坐标为或，；
（3）如图，设直线与的交点为，作于，过点作轴，过点作，连接，，
点，点，
直线解析式为：，
，
，
点坐标为，，
点坐标为，，
，，
，
，
点关于直线对称的点为，
，，
，
，
又，
，
，，
点的横坐标为，
点，，
，
，
点关于直线对称的点为，
，，
，
点，
．