专题10 几何初步及相交线、平行线-2022年中考数学真题分类集训营（全国通用）

专题10  几何初步及平行线、相交线

考点一  直线与线段

1、（2021·凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（   ）

A．10 cm              B．8  cm          C．10 cm或8 cm    D．2 cm或4 cm

{答案}C{解析}如答图，由中点及三点分点可知，BD＝6＋2＝8或BD＝6＋4＝10，从而线段BD的长为10 cm或8 cm，故选C．

2、（2021·河北）如图1，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有

 A.0条    B.1条    C.2条    D.无数条

{答案}D

{解析}在平面内，过任意一点都能作出直线m的一条垂线，故这样的垂线有无数条，选项D正确.

3．（2021•吉林）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是　垂线段最短　．

【答案】垂线段最短．

【解析】过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．

故答案为：垂线段最短．

考点二  角、余角、补角及角的计算

4．（2021•武威）若α＝70°，则α的补角的度数是（　　）

A．130° B．110° C．30° D．20°

【分析】根据补角的定义，两个角的和是180°即可求解．

【解析】α的补角是：180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．

故选：B．

4．（2021·陕西）∠A＝23°，则∠A的余角是（　　）

A．57° B．67° C．77° D．157°

{答案}B{解析}如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角，∴∠A的余角是90°－23°＝67°．

5．（2021•自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）

A．50° B．70° C．130° D．160°

【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．

【解析】设这个角是x°，根据题意，得

x＝2（180﹣x）+30，

解得：x＝130．

即这个角的度数为130°．

故选：C．

6.（2021·湖北孝感）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O，若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为(   )

A.40°         B.50°        C.60°       D.140°

{答案}B

{解析}∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠BOE=40°，∴∠BOD=50°，利用对顶角相等得∠AOC=50°，故答案为B.

考点三 相交线、平行线

7、（2021·安顺）如图，直线，相交于点，如果，那么是（    ）

A.                B.                 C.               D.

{答案} A．{解析}解：∵∠1+∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），∴∠1＝30°，

∵∠1与∠3互为邻补角，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°．故选：A．

8、．（2021•北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5

【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．

【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，

∴∠1＝∠2，

故A正确；

B．∵∠2＝∠A+∠3，

∴∠2＞∠3，

故B错误；

C．∵∠1＝∠4+∠5，

故③错误；

D．∵∠2＝∠4+∠5，

∴∠2＞∠5；

故D错误；

故选：A．

9、（2021•丽水）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（　　）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 

C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 

D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

{答案}B{解析}由题意可知：a⊥AB，b⊥AB，∴a∥b（垂直于同一条直线的两条直线平行），因此本题选B．

10（2021•自贡）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°

【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．

【解析】如图所示：

∵a∥b，

∴∠3＝∠1＝50°，

∴∠2＝∠3＝50°；

故选：B．

11、（2021•常德）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．35° D．5°

【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．

【解析】作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴AB∥DE∥DE，

∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，

∵∠1＝30°，∠2＝35°，

∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，

∴∠BCE＝65°，

故选：B．

12．（2021•铜仁市）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）

A．70° B．100° C．110° D．120°

【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．

【解析】∵直线AB∥CD，

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝70°，

∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．

故选：C．

13．（2021•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．180° B．360° C．270° D．540°

【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．

【解析】过点P作PA∥a，

∵a∥b，PA∥a，

∴a∥b∥PA，

∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，

∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°．

故选：B．

14/（2021·本溪）6．（3分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．40°

{答案} C

{解析}∵AB∥CD，

∴∠3＝∠1＝20°，

∵三角形是等腰直角三角形，

∴∠2＝45°﹣∠3＝25°．

15、（2021•长沙）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．25°

【分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．

【解析】∵AB平分∠CAD，

∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，

又∵DF∥HG，

∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，

故选：C．

/16、（2021•枣庄）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°

【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝60°，进而得出答案．

【解析】由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，

∵AB∥CF，

∴∠ABD＝∠EDF＝45°，

∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．

故选：B．

/17、（2021•铜仁市）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　7或17　cm．

【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．

【解析】分两种情况：

①当EF在AB，CD之间时，如图：

∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，

∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．

②当EF在AB，CD同侧时，如图：

∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，

∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．

综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．

故答案为：7或17．

/18．（2021•杭州）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　20°　．

【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．

【解析】∵AB∥CD，

∴∠ABF+∠EFC＝180°，

∵∠EFC＝130°，

∴∠ABF＝50°，

∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，

∴∠A＝20°．

故答案为：20°．

19（2021•新疆）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝　70　°．

【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数，再结合∠1，∠2互补，即可求出∠1的度数．

【解析】∵AB∥CD，

∴∠2＝∠A＝110°．

又∵∠1+∠2＝180°，

∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°．

故答案为：70．

20、（2021·张家界）如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．

{答案}76°

{解析}本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．

根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．

解：∵DC∥OB，

∴∠ADC=∠AOB=38°，

由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，

∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，

故答案为：76°．

21、（2021•武汉）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．

【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB＝∠EFC，进而得出AB∥CD．

【解答】证明：∵EM∥FN，

∴∠FEM＝∠EFN，

∠BEF＝∠CFE，

又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，

∴∠FEB＝∠EFC，

∴AB∥CD．

考点四 反正法 命题与证明

22、（2021·德州）8.下列命题：

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；

③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；

④对角线相等的平行四边形是矩形.

其中真命题的个数是

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

{答案}B

{解析}①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故命题①是假命题；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；

③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故③是假命题；

④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题.

 23． （2021·岳阳）下列命题是真命题的是（    ）

A．一个角的补角一定大于这个角    B．平行于同一条直线的两条直线平行

C．等边三角形的是中心对称图形    D．旋转改变图形的形状和大小

{答案}B

{解析}和为180°的两个角互为补角，所以一个角的补角不一定大于这个角，故选项A错误；平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故选项B正确；等边三角形绕它的中心旋转180°后不能跟自身重合，所以不是中心对称图形，选项C错误；旋转前后两个图形全等，不改变图形的形状和大小，所以选项D错误．

24．（2021·深圳）以下说法正确的是（　　）

A．平行四边形的对边相等     B．圆周角等于圆心角的一半

C．分式方程＝－2的解为x＝2  D．三角形的一个外角等于两个内角的和

{答案}A

{解析}根据平行四边形的性质可知选项A正确；根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，选项B错误；去分母得1＝x－1－2（x－2），解得x＝2，显然x＝2是增根，选项C错误；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，选项D错误；因此本题选A．

25、（2021·包头）10、下列命题正确的是（    ）

A．若分式的值为0，则x的值为±2

B．一个正数的算术平方根一定比这个数小

C．若，则

D．若，则一元二次方程有实数根

{答案}D

{解析}说明一个命题是假命题时，经常采用的一种方法是列举一个它的反例不成立，即可.分式的值为0时，需要满足分子等于0，分母不为0 .因此当x=2时分母为0 ，无意义，故选项A错误；一个正数的算术平方根不一定比这个数小，如1的算术平方根是1，等于它本身,0.04的算术平方根是0.2，比本身的数大.故选项B错误；取2>1>0，，故选项C错误.一元二次方程的根的判别式.当时，，所以方程有实数根.故选项D正确.故选D.