2022年中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（13）

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中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（13）

1．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，对称轴是直线．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如图，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且，求点P的坐标；

（3）如图，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当，且△ABM与△PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）线段PQ的长是定值，定值为7
【分析】（1）由点A的坐标为，对称轴是直线，即可得出方程组，解方程组即可求出二次函数的表达式；
（2）设P（x，），在y轴上取点D，，使CD=CA，可求得D（0，9），故∠ACO=2∠ADO，故∠ADO=∠PAB，所以tan∠ADO=tan∠PAB，列出方程，求出x的值即可；
（3）连接AP,由△ABM与△PQM的面积相等，可得△ABP与△PQA的面积相等，故BQ∥AP，故∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，由等腰三角形的判定可得AM=PM,BM=QM，故AQ=PB，根据SAS可证△ABP≌△PQA，即可得出答案．
【详解】（1）∵点A的坐标为，对称轴是直线．
∴
∴
∴
（2）设P（x，），
当x=0时，
∴C（0，4）
∵A(-3，0)C（0．4）
∴OA=4,OC=4
∴AC=5
在y轴上C的上方取点D，使CD=CA=5，

∴OD=OC+CD=4+5=9
∴D（0，9），
连结AD，
∵CD=CA=5，
∴∠DAC-∠ADC
∴∠ACO=2∠ADO，
∴∠ADO=∠PAB，
∴tan∠ADO=tan∠PAB，
∴，
∴
∴P（3，2）或（5，）
（3）线段PQ的长是定值，为7．
连接AP

∵△ABM与△PQM的面积相等
∴△ABP与△PQA的面积相等
∴BQ∥AP
∴∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，
∵∠PBQ＝∠AQB，
∴∠BQA=∠PAQ=∠PBQ=∠APB，
∴AM=PM,BM=QM
∴AM=PM,BM=QM
∴AM+MQ=PM+BM
∴AQ=PB
∵∠QAP＝∠BPA，AP=AP
∴△ABP≌△PQA
∴PQ=AB=7．
【点评】本题考查了函数的图像性质，三角函数，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握函数的图像性质，三角函数等知识点，准确画出图形是解题的关键．
2．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）最大值为
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长；
（3）根据题（1）（2）的结论，列出SΔBNC关于m的表达式，再利用函数的性质求解SΔBNC的最大值即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：，
解得，
故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3），
∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；
（3）如图，

∵S△BNC＝S△MNC+S△MNB＝MN（OD+DB）＝MN•OB，
∴S△BNC＝（﹣m2+3m）•3＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为．
【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出ΔBNC的面积关于m的表达式是解题关键．
3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A （0，3），B （4，3）两点，与x轴交于点E，F，以AB为边作矩形ABCD，其中CD边经过抛物线的项点M，点P是抛物线上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作y轴的平行线1与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，连接AF交直线BD于点N．
（1）求该抛物线的解析式以及顶点M的坐标；
（2）当线段PH＝2GH时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，顶点M的坐标为（2，﹣1）；（2）点P的坐标为（﹣1，8）或（3，0）；（3）存在点P（2，﹣1）时，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；
（2）根据题意，可以表示出线段PH和GH的长，然后即可得到点P的坐标；
（3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，
∴ 得，
即该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点M的坐标为（2，﹣1）；
（2）∵四边形ABCD是矩形，且CD边经过抛物线的顶点M（2，﹣1），
∴D（0，﹣1），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵直线BD经过点B（4，3），D（0，﹣1），
∴ ，
解得，，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，
∵点P为是抛物线上一动点，
∴设P（a，a2﹣4a+3），则G（a，3），H（a，a﹣1），
∴PH＝|a2﹣4a+3﹣（a﹣1）|＝|a2﹣5a+4|，GH＝|3﹣（a﹣1）|＝|4﹣a|，
∵PH＝2GH，
∴|a2﹣5a+4|＝2|4﹣a|，
解得，a1＝﹣1，a2＝3，a3＝4，
∴P1（﹣1，8），P2（3，0），P3（4，3），
∵点P不与点A，B重合
∴P3（4，3）不符合要求，
∴当线段PH＝2GH时，点P的坐标为P（﹣1，8）或P（3，0）；
（3）当y＝0时，0＝x2﹣4x+3，得x1＝3，x2＝1，
则点E的坐标为（1，0），点F的坐标为（3，0），
∵A（0，3），F（3，0），
∴直线AF的解析式为y＝﹣x+3，
联立，得 ，
∴N（2，1），
如图1所示，当点P在直线EF下方时，
∵M（2，﹣1），N（2，1），E（1，0），F（3，0），
∴MN与EF互相垂直平分，
∴当点P在点M的位置时，四边形PENF是平行四边形，
此时P（2，﹣1）；

如图2所示，当点P在点E的左侧时，
若四边形PEFN是平行四边形，则P（0，1），
∵抛物线经过点A（0，3），
∴P（0，1）不符合实际，舍去；

如图3所示，当点P在点F的右侧时，
若四边形PFEN是平行四边形，则P（4，1），
∵抛物线经过点B（4，3），
∴P（4，1）不符合实际，舍去；
综上所述，存在点P（2，﹣1）时，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．

【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，顶点坐标，平行于坐标轴的直线上两点间的距离，一元二次方程的解法，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5
【分析】（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为当y＞0时x的取值范围；
（2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3；
（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），
∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键．
5．如图，已知抛物线经过点，与轴交于两点，为顶点，为抛物线上一动点(与点不重合)

求该抛物线的解析式；
当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值；
该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或
【分析】（1）将点A、B、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）利用S△PBC＝PG（xC−xB），即可求解；
（3）分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】解：抛物线过两点
可设为
又过点


解析式为；
，
设直线BC的解析式为y=kx+b
把B,C坐标代入得
解得
可得直线的解析式为：
过点作轴的垂线，交于点

设点的横坐标为
则点的坐标为，点的坐标为


，．
当时，的面积最大，最大值为；
存在．
∵=
∴顶点的坐标为，
连接

则

是直角三角形，且．
当点在直线下方时，
设的中点为
则，
且点为直线与抛物线的交点(不与点重合)
设直线的表达式为y=px+q
把B,H的坐标代入得
解得
∴直线的表达式为
令，
解得(舍去)或
此时的坐标为
当点在直线上方时，．
设直线CD的解析式为y=mx+n
把C,D的坐标代入得
解得
∴直线的表达式为，
则可设直线的表达式为
将点代入解得
故直线的表达式为．
令，
解得或
此时点的坐标为
综上所述，点的坐标为或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是边长为5的菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，sinB=．
（1）求过A，C，D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1>y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A，E两点之间的一个动点，且直线PE交x轴于点F，问：当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）x＜-2或x＞5；（3）当P(，)时，△PAE的面积最大，最大面积为
【分析】（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的长，进而确定A、C、D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分．
（3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S△APE=AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是边长为5的菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：
A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：2×（﹣3）a=4，a=；
∴抛物线：y=﹣x2+x+4．
（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；
由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：
，解得：，；
由图可知：当y1>y2时，x5．
（3）∵S△APE=AE•h，∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABE最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点即为点P；
设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；求得：b=，即直线L：y=﹣x+；
可得点P（，）．由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；
PE与x轴的交点F的坐标为（，0），AF=OA+OF=；
∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．
综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，最大面积为．
【点评】考查了函数的动点问题和特殊四边形、图形面积的求法等知识，解题关键是找出动点问题中的关键点位置．
7．如图，抛物线过x轴上两点A（9，0），C（﹣3，0），且与y轴交于点B（0，﹣12）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．
【答案】（1）；（2）①不存在这样的点M，理由见解析；②，四边形CBNA面积的最大值为．
【分析】（1）先根据点设抛物线的顶点式，再将点代入求解即可得；
（2）①先求出直线AB的解析式，从而可设点M、N的坐标分别为，，从而可得，再根据平行四边形的性质可得，然后利用一元二次方程的根的判别式即可得出答案；
②先根据点的坐标分别求出的长，再根据三角形面积公式可求出的面积，从而可得出四边形CBNA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）因为抛物线过x轴上两点
所以设抛物线解析式为
将点代入得：
解得
则抛物线解析式为
即；
（2）如图，设直线AB的解析式为
将点代入得：，解得
则直线AB的解析式为
由题意，可设点M的坐标为，点N的坐标为
则
①若四边形OMNB为平行四边形，则
即
整理得：
此方程的根的判别式，方程无实数根
则不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；
②



点B到MN的距离等于，点A到MN的距离等于




因为M为线段AB上一个动点
所以
由二次函数的性质可知，当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小
则当时，取得最大值，最大值为
此时，
故点M的坐标为．

【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边形的性质、二次函数的性质、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2）②，正确求出的表达式是解题关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，其中，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线下方抛物线上任意一点，连接，，求面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A，B，D为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．

【答案】（1）；（2）8，；（3）或或或或．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过点E作y轴的平行线交直线于点H，分别设出E、H点的坐标，由面积，即可求解；
（3）分AB=AD、AB=BD、AD=BD三种情况讨论，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达得：，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）由点A、B的坐标得，直线的表达式为，
如图1，过点E作y轴的平行线交直线于点H，
设点，则点，
则面积
，
∵，故面积有最大值，
当时，面积的最大值为8，此时点；

（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点，
由点A、B、D的坐标得：，
，，
如图2，可分三种情况，
当时，即，解得；
当时，同理可得：；
当时，同理可得：，
故点D的坐标为或或或或．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力的培养，难度较大，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是解决本题的关键．
9．如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的时，求的值．
（3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或或或．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2），则，即可求解；
（3）分是边、是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点坐标公式即可求解．
【详解】解：（1）抛物线经过、两点，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式可知，点，
，
，
设直线的函数表达式为：，
由点、两点的坐标得：，
解得：，
直线的表达式为：，
如图所示，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，作交于点．

点的横坐标为，
，点，
，
，
，
，
，
的面积等于的面积的，
，
（舍去），，
；
（3）当时，点，
设点，点，
则①，
Ⅰ：当是边时，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
同样点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
或②，
联立①②并解得：（不符合题意，舍去）或或或；
点的坐标为或或；
Ⅱ：当是对角线时，
由中点坐标公式得：③，
联立①③并解得：或（不符合题意，舍去），
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线轴，且直线与抛物线和轴分别交于点，，，点为抛物线的顶点．若点的坐标为，点的横坐标为1．
（1）线段的长度等于______；
（2）点为线段上方抛物线上的一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，删除抛物线在直线左侧部分图象并将右侧部分图象沿直线翻折，与抛物线在直线右侧部分图象组成新的函数的图象．现有平行于的直线：，若直线与函数的图象有且只有2个交点，求的取值范围（请直接写出的取值范围，无需解答过程）．


【答案】（1）2，（2），（3）
【分析】（1）先求抛物线的对称轴，由于已知点的坐标，再利用对称性可求点坐标；从而得的长度；
（2）先根据和坐标得出的解析式，然后设与其平行的直线为，过点作的垂线，可求得和，从而得解；
（3）可根据顶点位置的变动，得出抛物线右侧部分图象沿直线翻折后抛物线的解析式；由（2）直线解析式，平行于的直线，其值可求；令与翻折后抛物线相切，可求得的临界值，结合图象可得最后答案．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线．
点的横坐标为1．代入得：，
，由抛物线的对称性得：点的坐标为．
．
故答案为：2．
（2），，
直线解析式为，作，且与抛物线相切，设的解析式为：．
根据该直线与抛物线相切，列一元二次方程，，即，
△，，
，
切点坐标为：，，

过点作的垂线，交于点，交轴于点，则，，
，．
，
．
的最小值为：．
（3）在（2）的条件下，平行于的直线，若直线与函数的图象有且只有2个交点，
，，
，，
抛物线的顶点为，点为，点为，，
抛物线右侧部分图象沿直线翻折后抛物线顶点为，其解析式为．
当直线与抛物线相切时，，
，△
；
时直线与函数的图象有且只有2个交点．
的取值范围为：．

【点评】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的对称性，函数的最值，以及一次函数与二次函数的图象交点个数问题，综合性比较强，难度较大．
11．如图，二次函数的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求BDE的面积．
（4）如果P为抛物线B、E间的一个动点，问是否存在点P使PBE面积最大？如果存在，求PBE面积的最大值及此时P点的坐标；如果不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）顶点（4，－2），D（6，0）；（3）；（4）存在，面积最大值为，此时点P的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式，
（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标．
（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用求出△BDE的面积．
（4）设P(，)，则Q(，)，由三角形面积公式得出函数关系式，进而求出答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象过A（2，0），B（8，6）
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）由得：，
∴函数图象的顶点坐标为（4，-2），
∵点A，D是二次函数的图象与轴的两个交点，
又∵点A（2，0），对称轴为，
∴点D的坐标为（6，0）；
（3）∵二次函数的对称轴交轴于C点．
∴C点的坐标为（4，0），
∵B（8，6），
设BC所在的直线解析式为，
∴，
解得：，
∴BC所在的直线解析式为，
∵E点是直线与二次函数的图象的交点，
∴，
解得：（舍去），
当时，，
∴E(，)，
∴

；
（4）设P(，)，过P作PQ∥y轴交BC于Q，

则Q(，)，
∴

，
∴

，
故当即P(，)，时，△PBE面积最大，最大值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化．第(3)问利用数形结合表示出线段PQ的长是解题关键．
12．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）作直线，若点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点，当时，求的值．

【答案】（1）；（2）存在；坐标为或或或；（3）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由抛物线解析式求出，对称轴是直线，进而得出，设点坐标为，则用勾股定理可知，，，然后分、、三种情况，根据等腰三角形腰相等，分别求解即可；
（3）由点、的坐标可知直线的表达式为：，因为点，所以可知点、的坐标分别为、，则，根据三角形面积公式可知 ，，由，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线与轴交于点和点，
，
解得：，
所求抛物线解析式为：；
（2）抛物线解析式为：，
其对称轴为，
点，
点在对称轴上，
设点坐标为，
当时，，
，
，，，
①当时，
则，
即，
解得：，
点坐标为，
②当时，
则，
即，
解得：，
点坐标为或，
③当时，
则，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
点坐标为，
综上所述，存在符合条件的点，其坐标为或或或；
（3）设直线的表达式为：，
由点、的坐标可知，
，
解得：，
直线的表达式为：，

点，
点、的坐标分别为、，
，
，，
，，
，
，
（不符合题意，舍去），，（不符合题意，舍去），
．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本知识、等腰三角形的性质、三角形面积的计算，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类讨论，不要漏解．
13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），且对一切实数x，都有x≤ax2+bx+cx2x成立．
（1）当x=1时，求y的值；
（2）求此二次函数的表达式；
（3）当x=t+m时，二次函数y=ax2+bx+c的值为y1，当x=2t时，二次函数y=ax2+bx+c的值为y2，若对于t=±1，有y1＜y2，求实数m的取值范围．
【答案】（1）1；（2）yx2x；（3）﹣1＜m＜1．
【分析】(1)直接将x=1代入 ，即可确定y的值；
(2)由题意函数图像过（-1,0）和（1,1），可得 b=，a+c= ，然后再根据 ，确定a和c的值即可解答；
（3）当 −1≤t≤1 时，可得 y1