考点01 一元一次方程及其应用-2022年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

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一、方程和方程的解的概念
1．等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．方程
含有未知数的等式叫做方程．
3．方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
二、一元一次方程及其解法
1．一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．
注意：x前面的系数不为0．
2．一元一次方程的解
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3．一元一次方程的求解步骤
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
四、一次方程（组）的应用
1．列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；
（2）设出未知数；
（3）列出含未知数的等式——方程；
（4）解方程（组）；
（5）检验结果；
（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2．一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
考向一 解一次方程
典例引领
1．（2018·福建）解方程
【答案】x=-17
【分析】
先去分母，再去括号，移项、合并同类项，系数化为1可得.
【详解】
解：去分母得：3（x-3）-2（2x+1）=6
去括号得：3x-9-4x-2=6
移项、合并同类项得：-x=17
系数化为1得：x=-17
【点睛】
考核知识点：解一元一次方程.
2．（2020·全国七年级课时练习）解方程：．
【答案】
【分析】
按照解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，求解即可.
【详解】
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
把的系数化为1得，
故方程的解为.
【点睛】
此题主要考查一元一次方程的求解，熟练掌握，即可解题.
3．（2018·河北中考模拟）用◎定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a◎b=ab2+2ab+a，如：1◎2=1×22+2×1×2+l=9．
（1）求（﹣4）◎3；
（2）若（◎3）=8，求a的值．
【答案】（1）﹣64；（2）a=0．
【解析】
【分析】
（1）将a=﹣4、b=3代入公式计算可得；
（2）由a◎b=ab2+2ab+a=a（b+1）2知◎3=×（3+1）2=8，解之可得．
【详解】
解：（1）（﹣4）◎3=﹣4×32+2×（﹣4）×3+（﹣4）=﹣64；
（2）∵a◎b=ab2+2ab+a=a（b+1）2，
∴◎3=×（3+1）2=8，
解得：a=0．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，解题的关键是熟练应用新定义的运算法则及其变形．
4．（2020·湖南九年级一模）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若,则称与是关于2的关联数;
（1）若3与是关于5的关联数,求的值
（2）若与是关于4的关联数，求的值．
（3）若与是关于的关联数, ，的值与无关，求的值．
【答案】（1）-2；（2）0；（3）
【分析】
（1）根据题中的新定义确定出a的值即可；
（2）根据题中的新定义列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
（3）根据题中的新定义列出关系式，把M代入表示出N，根据N的值与m无关，确定出n的值，进而求出N．
【详解】
解：（1）∵3与是关于5的关联数
∴
∴；
（2）∵与是关于4的关联数
∴2x-1-（3x-5）=4，
解得：x=0 ；
（3）∵与是关于的关联数
∴M-N=m
∴N=M-m
∵
∴
∵的值与无关
∴
∴，
∴．
变式拓展
1．（2018·湖北中考模拟）解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
【答案】（1）x=3；（2）x=﹣11；（3）x=．
【解析】
试题分析：按照解一元一次方程的步骤解方程即可.
试题解析：（1）去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（2）去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（3）方程可化为
去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
点睛：解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.
2．（2020·浙江七年级其他模拟）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“合并式方程”，例如：的解为，且，则该方程是合并式方程．
（1）判断是否是合并式方程并说明理由；
（2）若关于的一元一次方程是合并式方程，求的值．
【答案】（1）不是；理由见解析；（2）
【分析】
（1）根据合并式方程的定义验证即可；
（2）根据合并式方程的定义列出关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】
（1）解方程，得：x=2
而+1=
因为≠2
所以不是合并式方程.
（2）解方程5x=m+1，得：
则有5+m+1=
解得：
【点睛】
本题考查解一元一次方程．能理解合并式方程的定义，并能依此验证（或列出方程）是解题关键．
3．（2019·甘州中学七年级期末）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=a﹣2b，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．
（1）求（﹣3）⊕2的值；
（2）若（x﹣3）⊕（x+1）=1，求x的值．
【答案】（1）-7；（2）：x=-6.
【解析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义计算，求出解即可得到x的值.
解：（1）根据题中的新定义得：原式=-3-4=-7；
（2）已知等式变形得：x-3-2（x+1）=1，
去括号得：x-3-2x-2=1，移项合并得：
-x=6，解得：x=-6.
4．（2019·河北七年级月考）解下列方程：
（1）﹣2（x﹣2）=12
（2）．
【答案】（1）x=﹣4；（2）x=1.
【解析】
试题分析：（1）按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可；
（2）按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可.
试题解析：（1）去括号得：﹣2x+4=12，
移项得：﹣2x=12﹣4，
合并同类项得：﹣2x=8，
系数化为1得：x=﹣4；
（2）去分母得：2（x﹣1）=4﹣（x+3），
去括号得：2x﹣2=4﹣x﹣3，
移项得：2x+x=4﹣3+2，
合并同类项得：3x=3，
系数化为1得：x=1．
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，整式的加减混合运算，以及新定义的运算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考向二 一次方程应用
典例引领
1．（2020·内蒙古九年级二模）某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面。
（1）求每个房间需要粉刷的面积；
（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？
（3）若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟，每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元，该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成，问人工费最低是多少？
【答案】（1）50 m2；（2）6天；（3）3840元.
【分析】
（1）可利用“每个房间需要粉刷的墙面面积”作为相等关系列方程求出徒弟和师傅的工作效率，再代入求每个房间需要粉刷的墙面面积；
（2）直接利用工作总量除以工作效率可求出工作时间；
（3）根据师傅与徒弟的工资以及工作效率分别分析得出即可．
【详解】
(1)设每名徒弟一天粉刷的面积为xm2,师傅为(x+30)m2，
解得：x=90,所以每个房间需要粉刷的墙面面积为平方米.
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为50平方米.
（2）由(1)可知每名徒弟一天粉刷的面积为90m2,师傅为120m2,则天.
答：若请1名师傅带2名徒弟去，需要6天完成.
(3)一个师傅每天刷120㎡，需要240元钱，所以师傅每刷1平方米需要2元钱，
徒弟每天刷90㎡，需要200元钱，所以徒弟每刷1平方米需要元钱，
所以刷同样的面积师傅的工费较低，
故先请3名师傅干两天，可刷墙3×2×120=720㎡，人工3×2×240=1440元，
剩下的36×50-720=1080㎡，需要徒弟完成，需要徒弟人次为1080÷90=12，故雇佣6名徒弟干两天，需要花费6×2×200=2400元，所以总花费1440+2400=3840元.
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题关键是理解题意找出等量关系式，根据等量关系式列出方程，在本题第（3）问中能分析出师傅和徒弟分别刷1平方米的费用，从而得出尽量雇佣师傅比较划算是解决本题的关键.
2．（2019·安徽中考模拟）某超市用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
【答案】(1) 该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．(2) 1950元．
【分析】
（1）设第一次购进甲种商品x件，则乙种商品的件数是（x+15），根据题意列出方程求出其解就可以；
（2）由利润=售价-进价作答即可．
【详解】
解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+15）件，
根据题意得：22x+30（x+15）＝6000，
解得：x＝150，
∴x+15＝90．
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．
（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
【点睛】
本题考查的知识点是利润=售价-进价的运用和列一元一次方程解实际问题的运用及一元一次方程的解法的运用，解题关键是解答时根据题意建立方程．
3．（2020·全国七年级单元测试）某同学在，两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是元，且随身听的单价比书包的单价的倍少元．
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市所有商品打八五折销售，超市全场购物每满元返购物券元销售（不足元不返券，购物券全场通用），但他只带了元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样商品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
【答案】（1）随身听和书包的单价各是360元，92元（2）见解析
【分析】
(1)设书包的单价为x元，则随身听的单价为(4x-8)，根据随身听和书包单价之和是452元，列方程求解即可；
(2)根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱．
【详解】
(1)设书包的单价为x元，则随身听的单价为(4x-8)元，
根据题意，得4x-8+x=452，
解得：x=92，
4x-8=4×92-8=360，
答：随身听和书包的单价各是360元，92元；
(2)在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×85%=384.2(元)，
因为384.2＜400，所以可以选择超市A购买；
在超市B可花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计花费现金：360+2=362(元)，
因为362＜400，所以也可以选择在B超市购买，
因为3622160时，根据题意得：
（2160−2060）×0.6+m−2160×0.65=177,
解得m=2340
小明家11月的用电量是2340-2060=280度；
（2）小明家12月的电费与年累计电量x度的关系式是：
当21604200时，y=0.9x−2571.
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一次函数的应用，理解阶梯电价收费标准是解题的关键．
5．（2020·陕西九年级二模）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水8吨以内（包括8吨）和用水8吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图所示．
（1）求出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；
（2）若芳芳家6月份共交水费28.1元，请写出用水量超过8吨时应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系，并求出芳芳家6月份的用水量．
【答案】（1）2.2，3.5（2）11
【解析】
【分析】
（1）根据在不同范围内的函数的解析式可知，在0﹣8吨范围内，每吨2.2元，当x＞8时，每吨水3.5元；
（2）根据已知条件可知：该用户的交水费范围属于x＞8的范围，代入解析式即可得到答案．
【详解】
解：（1）8吨以内收费标准：17.6÷8＝2.2元，
8吨以上收费标准：（31.6﹣17.6）÷（12﹣8）＝3.5元；
（2）由题意可知：
y＝3.5（x﹣8）+2.2×8
即：y＝3.5x﹣10.4
当y＝28.1时，有：3.5x﹣10.4＝28.1
∴x＝11
答：芳芳家6月份用水量为11吨．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
6．（2019·山西七年级一模）综合与实践
如图，根据给出的数轴，解答下面的问题：
（1）已知点表示的数分别为6，-4，观察数轴，与点距离为5的点所表示的数是 ，两点之间的距离为 ；
（2）若点到点，点的距离相等，观察数轴并结合所学知识求点表示的数；
（3）在（2）的条件下，若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．则点表示的数是多少（用含字母的式子表示）；当等于多少秒时，之间的距离为3个单位长度．
【答案】（1）1或-9，10；（2）点表示的数为1；（3）1或4
【分析】
（1）分在点B左边和右边两种情况考虑；两点之间的距离为点A表示的数-点B表示的数；
（2）分别表示出B、C两点之间的距离和C、A两点之间的距离，据此列出方程求解；
（3）先表示出点P运动的路程为2t，于是可以表示点表示的数；分“点在点的左边和点在点的右边”两种情况列方程求解.
【详解】
解：（1）与点距离为5的点所表示的数是-4+5=1或-4-5=-9．
两点之间的距离为6-(-4)=10；
故答案是：1或-9，10；
（2）观察数轴，可知点一定在点与点之间，设点表示的数为，
则有
解方程，得
即点表示的数为1．
（3）点表示的数是．
依题意得：当点在点的左边时，，即，则；
当点在点的右边时，，即，则．
综上所述，当等于1或4秒时，之间的距离为3个单位长度．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离表示方法是解题的关键，体现了数形结合的数学思想．
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
月份
用水量（立方米）
水费（元）
1
15
31.50
2
24
56.40
档次
第一档
第二档
第三档
每月用电量（度）
车型
起步公里数
起步价格
超出起步公里数后的单价
普通燃油型
3
13元
2.3元/公里
纯电动型
3
8元
2元/公里
打折前一次性购物总额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按总售价打九折
超过600元
其中600元部分八折优惠，超过600元部分打七折优惠