2022届吉林省实验中学高三上学期开学测试数学（文）试题含解析

2022届吉林省实验中学高三上学期开学测试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用交集的定义求解即可

【详解】，

故选：B

2．在复平面内，复数对应的点位于

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【答案】D

【解析】根据复数的乘法运算，化简得复数，即可得到答案．

【详解】由题意，复数，所以复数对应的点位于第一象限，故选D．

【点睛】本题主要考查了复数乘法运算，以及复数的表示，其中熟记复数的乘法运算，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3．函数的定义域为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.

【详解】由，解得x≥且x≠2．

∴函数的定义域为．

故选：.

【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.

4．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（       ）

A． B． C．5 D．3

【答案】D

【分析】根据数量积的定义即可求解.

【详解】.

故选：D.

5．已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数、对数函数性质与0或1比较后可得

【详解】由指数函数性质，，，所以．

故选：D．

6．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.

【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；

D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；

B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；

C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.

7．若直线平分圆，则的值为（       ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】A

【分析】将圆转化为标准形式，依据题意可知直线过圆心，代点计算即可.

【详解】圆，即，圆心坐标为

由题可知：直线过圆心，所以

故选：A

8．化简式子的值是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】逆用两角差的余弦公式后可得结果．

【详解】由题意得．

故选A．

【点睛】本题考查两角差的余弦公式的逆用，解题时要注意对给出的式子进行分析、判断，特别是要注意式子的特征、角是否统一等，运用公式时容易忽视符号而出现错误．

9．已知函数，则方程的解是

A．或 2 B．或3

C．或 4 D．或 4

【答案】C

【分析】根据函数解析式，分别求解，即可得出结果.

【详解】当时，由，解得或（舍去）；

当时，由，解得．

故选C

【点睛】本题主要考查由分段函数的值求自变量的问题，分类讨论即可，属于基础题型.

10．已知函数下列结论错误的是

A．函数的最小正周期为

B．函数是偶函数

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在区间上是增函数

【答案】C

【详解】试题分析：原函数利用诱导公式化简为：，此函数为最小正周期为的偶函数，所以A,B正确，函数的对称轴由：得到：，显然，无论取任何整数，，所以C错误，答案为C.

【解析】1.诱导公式；2.三角函数的性质.

11．若底面直径和高相等的圆柱的侧面积是，则这个圆柱的体积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出圆柱底面圆半径r并表示出其高，借助圆柱侧面积求出r即可作答.

【详解】设圆柱底面圆半径为，依题意得高，于是得圆柱侧面积，解得，，

所以圆柱的体积为.

故选：B

12．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（       ）

A．甲乙两班同学身高的极差不相等 B．甲班同学身高的平均值较大

C．甲班同学身高的中位数较大 D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多

【答案】A

【分析】根据极差、平均值、中位数的定义分析ABC，根据数据特征判断D.

【详解】甲班同学身高极差为：182-157=25，乙班同学身高极差为：182-159=23，即甲乙两班同学身高的极差不相等，故A正确；

甲班身高平均值为：

，

，

故乙班同学身高平均值较大，即B错误；

甲班同学身高从低到高排列为：，

则中位数为：，

甲班同学身高从低到高排列为：，

则中位数为：，

故乙班同学身高的中位数较大，即C错误；

甲乙两班同学身高在175cm以上的人数的数量分别为3和4，故D错误.

故选：A.

13．函数的最小值为（       ）

A．7 B．7 C．6 D．2

【答案】B

【分析】结合基本不等式求得最小值.

【详解】，

，

当且仅当时等号成立.

故选：B

14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为

A．10 B．8 C．6 D．4

【答案】B

【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式，利用题目所给已知条件，求得弦长.

【详解】根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B.

【点睛】本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，即.要注意只有过抛物线焦点的弦长才可以使用.属于基础题.

15．若等差数列中，，则关于的方程的根的情况为（       ）

A．无实根 B．有两个相等的实根

C．有两个不等的实根 D．不能确定有无实根

【答案】A

【分析】结合等差数列的性质以及判别式求得正确答案.

【详解】依题意，

所以关于的方程无实根.

故选：A

16．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得，由此求得正确答案.

【详解】依题意，解得.

由于椭圆焦点在轴上，

所以椭圆的标准方程为.

故选：B

二、填空题

17．双曲线的离心率为___________.

【答案】

【分析】依据题意可得，然后根据离心率公式可得结果.

【详解】由题可知：，由

所以离心率

故答案为：

18．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为___.

【答案】2

【分析】作出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解.

【详解】解：设变量x、y满足约束条件，

在坐标系中画出可行域△ABC，A（1，1），B（3，1），C（2，0），

目标函数z＝x+2y，可化为，

作出直线，平移直线可得直线z＝x+2y，

过可行域内的点C（2，0）时的最小值，

目标函数z＝x+2y的最小值为：2.

故答案为：2.

19．圆及围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为________．

【答案】

【分析】由圆的方程判定圆心和半径，得到阴影部分由分别以A,B为圆心，1为半径的两个四分之一弓形组成，计算其面积，然后除以整个正方形的面积即得所求概率.

【详解】圆及分别以和为圆心，半径都是1.

连接OC，可知阴影部分由分别以为圆心，1为半径的两个四分之一弓形组成，

阴影部分的面积为,

正方形的面积为，

所以质点落在阴影部分区域的概率为,

故答案为：.

【点睛】本题考查面积几何概型问题，难点是计算阴影图形的面积.

20．观察一列算式：则式子是第项.

【答案】24

【详解】11，有1个算式

12，21，有2个算式

13，22，31，有3个算式，

14，23，32，41，有4个算式，

15，24，33，42，51有5个算式，

16，25，34，43，52，61有6个算式，

17，26，35，44，53，63，71有7个算式，

则式子35是第1+2+3+4+5+6+3=24项.

点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．

三、解答题

21．设锐角的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．

(1)求B的大小；

(2)若，，求边长b及的面积．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得.

（2）利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积.

【详解】(1)由以及正弦定理，得，

因为，所以，又因为B为锐角，所以；

(2)由余弦定理，可得，解得．

.

22．等比数列中，已知．

（1）求数列的通项公式；

（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．

【答案】(1) .

(2) .

【详解】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．

（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．

试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，

设的公差为，则有解得

从而

所以数列的前项和

【解析】等差、等比数列的性质

23．某校两个班级名学生在一次考试中成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组如下表：

（1）求的值，并根据频率分布直方图，估计这名学生这次考试成绩的平均分；

（2）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取名，求其中恰有人的分数不低于分的概率．

【答案】（1）；平均分为；（2）.

【分析】（1）由频率和为可构造方程求得；由频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；

（2）根据分层抽样原则可确定各组抽取人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.

【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得：；

由频率分布直方图估计平均分为：；

（2）由频率分布直方图可得第三、四、五组的频率之比为，则第三组中抽取人，第四组中抽取人，第五组中抽取人；

记来自第三组和第四组的学生，即分数低于分的学生分别为，来自第五组的学生，即分数不低于分的学生为，

则从人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；

其中恰有人的分数不低于分的有，，，，，共个基本事件；

所求概率.

24．已知直三棱柱中，，，是中点，是的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）证明平面平面，可得平面，即可证明；

（2）取中点，连结，，证明平面平面，即可证明平面.

【详解】证明：（1），为等腰三角形

为中点，，

为直棱柱，平面平面，

平面平面，平面，

平面，

.

（2）取中点，连结，，

，，分别为，，的中点

，，

，

平面平面，

平面

平面.

25．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.

【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或

【分析】（1）求出函数导数，由题可得即可求出；

（2）求出在的最大值即可建立关系求解.

【详解】（1），，

在与时都取得极值，

，解得，

，

令可解得或；令可解得，

的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；

（2），

由（1）可得当时，为极大值，而，

所以，

要使对恒成立，则，解得或.

26．在极坐标系下，已知圆和直线的参数方程（t为参数）．

(1)求圆的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)求圆上的点到直线的最短距离．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）利用，,，将圆极坐标方程转化为直角坐标方程，

利用消元法消去参数即可求解的普通方程.

（2）首先求出圆的圆心到直线的距离，然后可以根据圆的性质求出圆上的点到直线的最短距离.

【详解】(1)圆C：，即，

圆C的直角坐标方程为：，即；

由：消去参数，得；

所以圆的直角坐标方程为；

直线的普通方程为.

(2)由圆的直角坐标方程为可知圆坐标为，半径为，

因为圆心到直线的距离为，

所以圆上的点到直线的最短距离为．

27．已知函数．

（1）求的解集；

（2）若，求的最小值．

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）由题意可得，然后去绝对值解出不等式即可；

（2）利用绝对值不等式的几何意义直接得结果．

【详解】（1）因为，，

所以，即或，

所以或，

所以不等式的解集为或．

（2）因为，所以；

因为，

所以的最小值为.

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式的几何意义，正确的理解绝对值不等式的几何意义很关键，属基础题．