北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数3 弧度制3.2 弧度与角度的换算习题

1.3.1  弧度概念

1.3.2 弧度与角度的换算

1.-220°角化为弧度是(　　)

A.- B.- 

C.- D.-

【解析】-220°=-220× rad=- rad.

【答案】D

2.弧度化为角度是(　　)

A.278° B.280° C.288° D.318°

【解析】1 rad=°，

所以°=°=288°.故选C.

【答案】C

3.(多选)下列表示中正确的是(　　)

A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}

B.终边在y轴上的角的集合是αα=+kπ，k∈Z

C.终边在坐标轴上的角的集合是αα=，k∈Z

D.终边在直线y=x上的角的集合是αα=+2kπ，k∈Z

【解析】终边在直线y=x上的角的集合应是αα=+kπ，k∈Z.故D错误.

【答案】ABC

4.(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】由于扇形周长为6，所以l+2r=6， ①

又由于面积为2，所以lr=2， ②

由①②解得

所以扇形的圆心角的弧度数α==1，或=4.

【答案】AD

5.在半径为3 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　)

A. cm B. cm C. cm D. cm

【解析】由题意可得圆心角α=，半径r=3 cm，弧长l=αr=×3=(cm).故选A.

【答案】A

6.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的　　　　倍. 

【解析】设圆的半径为r，弧长为l，其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为=3·，即弧度数变为原来的3倍.

【答案】3

7.若1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为　　　米;若1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为　　　　米. 

【解析】因为1°= rad，

所以l=·r.所以r=(米).

因为l=|α|·r，所以1=1·r.所以r=1(米).

【答案】　1

8.设角α1=-570°，α2=750°，β1=，β2=-.

(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限;

(2)将β1，β2用角度制表示出来.

解(1)因为180°=π，

所以-570°=-570×=-.

所以α1=-=-2×2π+.

因为750°=750×，

所以α2==2×2π+.

所以α1是第二象限角，α2是第一象限角.

(2)β1=°=108°.

β2=-°=-420°.

1.若集合P={α|2kπ≤α≤(2k+1)π，k∈Z}，Q={α|-4≤α≤4}，则P∩Q=(　　)

A.⌀

B.{α|-4≤α≤-π，或0≤α≤π}

C.{α|-4≤α≤4}

D.{α|0≤α≤π}

【解析】当k=-1，0时，集合P和Q的公共元素满足-4≤α≤-π，或0≤α≤π，当k取其他值时，集合P和Q无公共元素，故P∩Q={α|-4≤α≤-π，或0≤α≤π}.

【答案】B

2.(多选)若角α的终边与角的终边相同，则下列角度中终边与角的终边相同的是(　　)

A. B. C. D.

【解析】由题意，得α=+2kπ，所以(k∈Z).令k=0，1，2，3，得.

【答案】ABC

3.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C>0)，该扇形的最大面积为(　　)

A. B. C. D.

【解析】设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C-2R，则S=(C-2R)R=-R2+R=-R-2+2<R<，当R=，即α==2时，扇形的面积最大，最大面积为.故选C.

【答案】C

4.扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(　　)

A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9

【解析】设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，

则R=r+=r+2r=3r.

所以S内切圆=πr2.

S扇形=αR2=×R2=×9r2=πr2.

所以S内切圆∶S扇形=2∶3.

【答案】B

5.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在圆的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是　　　　弧度，扇形面积是　　　　. 

【解析】设扇形的弧长为l，圆心角为α，

故由题得2α+2×2=2π，所以α=π-2，

由公式S扇=l·r=·(2π-4)·2=2(π-2).

【答案】π-2　2(π-2)

6.如图所示，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).

解(1)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为-+2kπ(k∈Z)，所以终边落在阴影部分内的角的集合是.

(2)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).设y轴右边阴影部分表示的角的集合为M1，y轴左边阴影部分表示的角的集合为M2，

则M1=，M2=α+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z Ω.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2=α+2kπ或+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z.

7.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;

(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

解(1)由圆O的半径r=10=AB，知△AOB是等边三角形，所以α=∠AOB=60°= rad.

(2)由(1)可知α= rad，r=10，

所以弧长l=α·r=×10=，

所以S扇形=lr=×10=，

而S△AOB=·AB·×10×，

所以S=S扇形-S△AOB=50.