湖北省武汉市武昌区2022届高三下学期3月模拟数学试题

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湖北省武汉市武昌区2022届高三数学模拟试题一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 已知全集，集合，，则为（    ）A.  B.  C.  D. 【1题答案】【答案】C【解析】【分析】利用集合的补集与并集运算求解.【详解】因为全集，集合，，所以，．故选：C．2. 已知复数，是z的共轭复数，则（    ）A. 0 B.  C. 1 D. 2【2题答案】【答案】B【解析】【分析】利用周期性可求，再利用复数的除法可求，求出的模后可求.【详解】因为（），，所以， 所以，而，故选B．【点睛】本题考查复数的除法、乘方和复数的模，注意计算复数和的时候需利用的周期性，该问题属于中档题.3. 从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是．A. 1/54 B. 1/27 C. 1/18 D. 2/27【3题答案】【答案】D【解析】【分析】先求出所有的基本事件的个数为54，再求出从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的基本事件的个数为4，再利用古典概型的概率公式求解.【详解】由题得所有的基本事件的个数为54，从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的基本事件的个数为4，由古典概型的概率公式得.故答案为D【点睛】(1)本题主要考查古典概型概率，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.4. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）A. 图象关于点对称 B. 图象关于点对称C. 图象关于直线对称 D. 图象关于直线对称【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的性质求出函数的对称轴与对称中心，再对比选项即可判断；【详解】解：由题可得，设，，解得，，所以可知函数的对称中心为.设，解得，所以可知函数的对称轴为，通过对比选项可知，图象关于直线对称成立.故选：C5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为（　　）A.  B.  C.  D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体的体积取最大值，由此能求出四面体A﹣BCD的体积的最大值．【详解】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体的体积取最大值，此时点B到平面ACD的距离，所以，∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为：,故选C.【点睛】本题主要考查了三棱锥的体积的最值问题，其中解答中根据题意，把矩形折叠成一个三棱锥，求解点B到平面ACD的距离是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.6. 已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【6题答案】【答案】A【解析】【分析】首先判断，再化简，利用基本不等式求解.【详解】解：设方程的两个异号的实根分别为，，则，．又，，，则（当且仅当，时取“”），由不等式恒成立，得，解得．实数的取值范围是．故选：A．7. 等差数列中，若则公差=A. 3 B. 6 C. 7 D. 10【7题答案】【答案】A【解析】【详解】试题分析：考点：等差数列定义8. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【8题答案】【答案】A【解析】【分析】利用导数可判断A，根据初等函数的性质可判断BC，将改写成分段函数易知该函数的单调性，可判断D.【详解】对于A，函数的定义域是R，且，是R上的增函数，满足题意；对于B，函数是R上的减函数，不满足题意；对于C，函数的定义域是，不满足题意；对于D，函数在定义域R上不是单调函数，不满足题意．故选：A．二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 已知双曲线：的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，若点，则下列说法中正确的有（    ）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的实轴长为C. 点的横坐标的取值范围为D. 点的横坐标的取值范围为【9题答案】【答案】AD【解析】【分析】AB. 根据双曲线的一条渐近线的方程为，和过点求解判断；CD.易知椭圆焦点，，不妨设，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.【详解】双曲线：的一条渐近线的方程为，则可设双曲线的方程为，过点，，解得，双曲线的方程为，即，可知双曲线的离心率，实轴的长为，故选项A正确，选项B错误；由，可知椭圆：的焦点，，不妨设，代入，得，，直线的方程为，联立，消去并整理得，根据韦达定理可得，可得，又，，，，故选项C错误，选项D正确，故选：AD．10. 甲､乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示，以下说法正确的是（    ）A. 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；B. 甲同学的平均分比乙同学的平均分高；C. 甲同学的平均分比乙同学的平均分低；D. 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.【10题答案】【答案】CD【解析】【分析】由茎叶图的数据，求出甲乙同学成绩的中位数、平均数，方差等数据，比较即可得到答案．【详解】根据给定的茎叶图中的数据可知：选项A.甲同学成绩的中位数是81，乙同学的中位数是87.5，所以甲同学的中位数小于乙同学的中位数，所以A不正确；甲同学的平均数为 ，乙同学的平均数为，所以乙的平均数高于甲的平均数，所以B不正确；选项C正确选项D，又由甲同学的成绩数据比较集中，方差小，乙同学的数据比较分散，方差大，所以甲同学的方差小于乙同学的方差，选项D正确故选：CD．11. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ）A. 若，则的面积为B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为C. 若直线过点，则的最小值为1D. 若，则直线恒过定点【11题答案】【答案】ACD【解析】【分析】利用抛物线焦点弦的性质，可判定A，C正确；利用拋物线的定义，数形结合求解四边形的周长，可判定判断B不正确；设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得的值，可判定D正确．【详解】对于选项A中，设，由焦半径公式得，解得，所以，所以，所以A正确；对于选项B中，由题意知，根据抛物线的定义可知，设与轴的交点为，易知，，故，所以四边形的周长为，所以B错误；对于选项C中，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为1，所以C正确；对于选项D，设直线，，，联立直线与抛物线方程得，则，所以，由可得，即，解得，故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确．故选ACD．【点睛】对于抛物线的焦点弦的性质的结论拓展：若是一条过抛物线焦点的弦，当所在直线的倾斜角为，设，，可得，则，弦长；同时通径是指过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦，弦长等于，且通径是过焦点的最短的弦．12. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ）A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据圆柱侧面积公式即可求解；对B，根据圆锥的侧面积公式即可求解；对C，根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式即可判断；对D，根据球的体积和圆锥的体积公式即可判断.【详解】解：对于A，圆柱的底面直径和高都等于，圆柱的侧面积故 A正确；对于B，圆锥的底面直径和高等于，圆锥的侧面积为，故B错误；对于C，圆柱的侧面积为，球的表面积，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，球的体积为，圆锥的体积为，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确．故选：ACD．三、单空题（本大题共4小题，共20分）13. 写出一个最小正周期为1的偶函数______．【13题答案】【答案】【解析】【分析】常见的周期函数是三角函数，可以利用余弦型函数周期公式进行构造.【详解】因为函数的周期为，所以函数的周期为1.故答案为：.（答案不唯一）14. (1)若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为__________．(2)若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．(3)如图所示的数阵中，用表示第m行的第n个数，则以此规律为__________． (4)的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，且，有下列结论：①；②；③，时，的面积为；④当时，为钝角三角形．其中正确的是__________填写所有正确结论的编号【14题答案】【答案】    ①. ##    ②. 2    ③.     ④. ①②④【解析】【分析】(1)令，求导判断单调性，根据f(x)单调性即可求单调性和最小项的值；(2)求的通项，令其通项x的次数为0或－3，求出对应的n的最小值，比较即可得出n的最小值；(3)规律：①设第n行第1个分数的分母为，则有，；②从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和﹒根据这两个规律即可求出；(4)①根据即可求出t的范围；②结合余弦定理和即可求出m的范围；③求出b、c，根据三角形面积公式即可求面积；④利用余弦定理判断cosC的正负即可判断三角形为钝角三角形.【详解】(1)令，则，令，解得，单调递减，单调递增，∴数列在1≤n≤12时递减，在n≥13时递增，∵n＝12离更近，故当时，数列取得最小值；(2)的展开式的通项为，由题意，令得，则r＝4时，n取最小值5；令得n＝，则r＝2时，n取最小值2.综上，n的最小值为2.(3)由题可知，设第n行第1个分数分母为，则有，，累加可得，故第6、7行第一个分数分母分别为28、36.观察数阵，不难发现，从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和，据此可求出第6行第二个分数分母为21＋37＝58，第7行第2个分数分母为28＋58＝86，第8行第2个分数分母为36＋86＝122，如图所示.故为：.(4)对于①，根据题意，若，则，故可设.则有，则，变形可得，故①正确；对于②，，又，∴，，∴，∴，故②正确；对于③，当时，，则有，则a边上的高为，∴，故③错误；对于④，当时，，则，则，故C为钝角，为钝角三角形，故④正确.故正确的有：①②④.故答案为：；2；；①②④.15. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_______．【15题答案】【答案】【解析】【详解】试题分析：由题可知，函数，则，若存在，使得成立，即若存在，使得成立，在时，，即；考点：求导法则16. 在中，，点P在上，且，则______.【16题答案】【答案】【解析】【分析】根据知道点M为边的中点，,再根据比例计算即可。【详解】由可知，点M为边的中点，所以.由及，可得，所以.故填。【点睛】本题考查斜边中点的向量表示，属于基础题四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 某学校共有名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集名学生每周上网时间的样本数据单位：小时根据这个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，．（1）估计该校学生每周平均使用手机上网时间每组数据以组中值为代表；（2）估计该校学生每周使用手机上网时间超过个小时的概率；（3）将每周使用手机上网时间在内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在内的定义为“不长时间使用手机上网”在样本数据中，有名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”． 近视不近视合计长时间使用手机   不长时间使用手机  合计  附：．
 【17~19题答案】【答案】（1）小时    （2）0.75    （3）列联表见解析，有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关【解析】【分析】（1）利用平均数公式求解；（2）利用频率分布直方图求解；（3）根据列联表已有的数据和频率分布直方图求解；【小问1详解】解：根据频率分布直方图得：；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为小时；【小问2详解】由频率分布直方图得，估计该校学生每周使用手机上网时间超过个小时的概率为；【小问3详解】根据题意填写列联表如下， 近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机合计由表中数据，计算，有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．18. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．（1）求；（2）若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．【18~19题答案】【答案】（1）    （2）时，S最大值为【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和差公式进行化简即可.（2）将四边形面积分成两个三角形面积和来解决，设，则利用x分别表示的面积，然后在中，利用余弦定理找到x与∠D的关系，最后构造函数利用函数值域来求最值.【小问1详解】在中，内角所对的边分别是，已知．由正弦定理得：，又，，，，，，．【小问2详解】，，是等边三角形，设，，，，，，由余弦定理得，， ，，当，即时，平面四边形的面积取最大值．19. 已知是各项均为正数的等比数列，是等比数列吗？为什么？【19题答案】【答案】是等比数列，理由见解析【解析】【分析】根据等比数列的定义证明等于非0常数即可.【详解】是各项均为正数的等比数列，公比．，是等比数列，首项为，公比为．20. 如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．（1）求 与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【20题答案】【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式即可；（2）利用坐标，求两个半平面所在平面的法向量，根据公式求解即可.试题解析：(1)如图，过点 作的垂线交于，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.∵，∴，又，则点到轴的距离为1，到轴的距离为则有，，，，.（1）设平面的法向量为，∵，则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故 与平面所成角的正弦值为.（2）设平面的法向量为，∵，，则有，取，得，∴，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.点睛：本题考查线面角的求法，以及二面角的余弦的求法，属于中档题.对于能够建立空间直角坐标系的问题，要优先考虑坐标法来处理，对于第一问，要先求面的一个法向量，然后利用两个向量的夹角公式处理，利用求得的法向量来求二面角的余弦值后，要注意角是锐角还是钝角.21. 已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【21题答案】【答案】(1) (2) 的面积为定值【解析】【详解】（1）设，，则 ， ，即，①，，即，②由①②得，又，， 椭圆的方程为． （2）设直线方程为：，由得，为重心，， 点在椭圆上，故有，可得， 而，点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），， 当直线斜率不存在时，，，，的面积为定值．22. 已知函数f(x)=-x3+ax2-4.(1)若f(x)在x=2处取得极值,且关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;(2)若存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立,求实数a的取值范围.【22题答案】【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，f（x）在x=2处取得极值，求出a，然后求解函数的极值，通过关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求解实数m的取值范围；
（2）求出函数的最大值，利用最大值大于0，即可满足条件，利用函数的导数判断函数的单调性，结合a的取值讨论，求解即可．【详解】(1)f'(x)=-3x2+2ax,由题意得f'(2)=0,即-12+4a=0,解得a=3,经检验a=3满足条件,则f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x在[-1,1]内变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x) -0+ f(x)0↘-4↗-2 ∵关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,∴-4<m≤-2.(2)由题意得,f(x)max>0,x∈(0,+∞)即可,f'(x)=-3x2+2ax=-3x,①若a≤0,则当x>0时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(0)=-4<0,∴当x>0时,f(x)<-4<0,∴当a≤0时,不存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0.②当a>0时,f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:xaa,+∞f'(x)+0-f(x)↗-4↘ ∴当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f=-4,由-4>0,得a>3.综上,a>3.【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大．