安徽省六安市2022届高三下学期二模考试数学（文）试题 含解析

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2022年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题（文）

命题：安庆市高考命题研究课题组

　　本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则

　A．          B．        C．        D．  

2.的内角的对边分别为. 若则=

　A.              B.           C.           D.

3．函数的部分图象可能为

        A B C D

4. 人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的.设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB.已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则,若受血者为B型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为

　A．           B．            C．           D．

5.已知函数,且则

　A．         B．           C．          D.

6.某程序框图如图所示，当时，该程序运行后输出的结果为

　　A．1998       B．192      C．86       D．22

7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.” 诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为

　A.          B．         C．         D．

8. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为

　A．          B．         C．           D．

9.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合.斜率为

的直线经过点,且与的交点为，. 若，则直线的方程是

　A.                   B. 

C.                       D.

10.某空调制造厂用若干台效率相同的机械组装空调. 若所用机械同时开动，则需24小时完成一项任务；若一台接一台地开动，每相邻两台启动时间间隔都相同，那么到完成该项任务时，第一台的工作时间是最后一台的7倍.则最后一台工作的时间是

A．小时          B.小时           C. 小时          D.小时

11．关于函数有下述四个结论：①是偶函数; ②在区内单调递增; ③是周期函数，且最小正周期为;④恒成立的充要条件是  则其中所有正确结论的编号是                                      

    A.①②④           B.①③         C.②③          D.①④

12.如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线，于不同的两点. 若，，则

　　A．有最小值        B.有最小值             

　　C．有最大值        D.有最大值

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13. 若复数满足(是虚数单位),则的虚部是            .

14.若满足，且的最大值为14，则实数的值是    ．

15.设点是的中线上一个动点，的最小值是则中线

　 的长是           .

16.若函数在内单调递增，则实数的取值范围是

　　                   .

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

   2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，“双减”政策受到国家的高度重视和社会的广泛关注.某学校现有小学生（3-6年级）1800人，初中学生1200人. 为了解全校学生本学期开学以来30天内的课外作业时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查. 将样本中的“小学生”和“初中学生"按学生的课外作业时间(单位：小时)各分为5组：，，，，，得其频率分布直方图如图所示.

　　（Ⅰ）试估计全校学生中课外作业时间在内的总人数；

　　（Ⅱ）从课外作业时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有两个小学生的概率；

　　（Ⅲ）国家规定：小学生（3-6年级）平均每人每天课外作业时间不超过1小时.若该校小学生课外作业时间大于国家标准，则学校应适当减少课外作业时间. 试根据以上抽样调查数据，判断该校小学生（3-6年级）是否需要减少课外作业时间.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

18.（本小题满分12分）

已知数列中，. 若数列的前项的和为，令.

　（Ⅰ）求；

　（Ⅱ）求数列的前n项和.

19.（本小题满分12分）

　  如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，，AD∥BC，

　　（Ⅰ）证明：平面；

　　（Ⅱ）若直线与底面所成的角为，

求点到平面的距离．

20.（本小题满分12分）

　　已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点.

　 （Ⅰ）求椭圆的方程．

　　（Ⅱ）设椭圆的下顶点为点．若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点．若的横坐标之积是，证明：直线过定点.

21.（本小题满分12分）

　　已知函数

　 （Ⅰ）求函数的单调区间；

　 （Ⅱ）设函数是的导函数，记若存在实数使得不等式成立，求的取值范围.

（二）选考题；共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

已知直线（其中常数，为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线与曲线相切于点.

  (Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若点为曲线上一点，求的面积取最大值时点的坐标.

23. [选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数.

(Ⅰ)求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数的最小值为，正实数满足，求证：.

      2022年安庆高三模拟考试（二模）

数学试题（文科）参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一      

个选项是符合要求的

1. 解析：,选B.
2. 解析：.

  在△ABC中,，于是为锐角.故

  故选C.

3. 解析：函数的定义域为{x|x≠0}，，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C.当时，f(x)<0，排除A.D符合要求.故选D.
4.   解析：当受血者为B型血时，供血者可以为B型或O型，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为41%+24%=65%=0.65. 故选D.

5. 解析:  由

  知，. 于是.

故选A.

6. 解析：程序运行了三次，∴S=22. 故选D.
7. 解析：点关于直线的对称点是，所以最短距离 

是故选B.

8. 解析：是的外接圆半径），

故选A.

9.解析：，.设，，直线的方程为.

联立消去，化简整理得.

.

因此直线的方程是故选A.

或:设直线的倾斜角为，由已知得，故

因此直线的方程是故选A.

或：设直线的倾斜角为，由已知得

所以直线的斜率，

故直线的方程是故选A.

10.解析：设有台机械，每相邻两台启动时间间隔为d小时，最后一台工作时间为t小时，依题意得，且

化简得且解得 故选C.

11.解析: 对于①，因为定义域为, 

    且，所以为偶函数，故①正确；对于②，当时，  

，

  其中，易知在上单减，在上单增，②错误；

    或特值法：

    或换元法：，复合函数的单调性.

    对于③，由知是周期函数，但最小正周期不为，③错误；   

对于④，由②知在上的最小值为，又由③知是函数的周期，所以在定义域上的最小值为，所以对于实数，恒成立的充要条件是，④正确.  故选D.

12.解析: 连接则.

因为共线，所以，即    

    于是,当且仅当

,即时, 取到最小值.故选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

13. -2022；  14. 2；   15. 3；  16.

13.解析： ，所以虚部为.　

14.解析：如图，

联立得.当直线

经过点（5，4）时，取最大值，即

所以

15.解析：设则

　　因为为边中点，所以，即.

　　于是.

　　当,即点是中线的中点时, 取得最小值

　　即因此

16.解析：  因为函数在单调递增，

 所以,即

（1）若，则成立，

（2）若 而，因此

（3）若 而

综上可知，实数的取值范围是.

17.解析：（Ⅰ）小学生中，课外作业时间在小时内的频率为

因此所有的小学生中，课外作业时间在小时内的学生约有

人.                                   …………2分

同理，初中生中，课外作业时间在小时内的频率为

，学生人数约有人，

故该校所有学生中，课外作业时间在小时内的学生人数约有

人.                                  …………4分

（Ⅱ）记“从课外作业时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名小学生”为事件A.由分层抽样知，抽取的小学生有名，初中生有名.小学生中，课外作业时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人；初中生中，课外作业时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人.   …………5分

记这3名小学生为A､B､C，这2名初中生为d､e，则从课外作业时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种，即，，，，，，，，，.而事件A的结果有7种，它们是，，，，，，；

因此至少抽到2名小学生的概率为.               …………9分

（Ⅲ）小学生平均每人课外作业时间(小时)为，

因为，所以该校不需要减少小学生课外作业时间.    …………12分

18. 解析：（Ⅰ）由得，. 将此式除以得，                                …………2分

又因为所以是以为首项，公比为的等比数列；是以为首项，公比为的等比数列.               …………4分

   因此.              

             ……………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

       …………  ①

  ………………②

①②得：……11分

所以,.         …………………12分

19. 解析：（Ⅰ）在中，

作DE⊥BC于E，则DE=CE=    

在中，因为,所以.

∴CD⊥DB                                          …………1分

因为平面PBC⊥平面ABCD,，平面平面ABCD=BC

所以PB⊥平面ABCD.                                …………3分

又平面ABCD，所以PB⊥CD.而.

故CD⊥平面PBD.                                    …………6分

（Ⅱ）因为PB⊥平面ABCD，所以PD与底面ABCD所成的角是.

…………8分

设为点B到平面PCD的距离.

故点B到平面PCD的距离为

…………12分

20.解析：（Ⅰ）由题意知.........①

将代入椭圆的方程得，    ......... ②   ……………2分

由①②解得，. 故椭圆的方程为.          ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

设直线的方程为，，，则直线的方程为，令，得点的横坐标为. 同理可得点的横坐标为.                                              ……………7分

.

联立消去y得,.，.

由得,.      ……………9分

，即，

解得.，即直线过定点.         ……………12分

21.解析：（Ⅰ）……………………1分

  ………………3分

…………………6分

（Ⅱ），            ……………………7分

∵存在实数使不等式成立，…9分

单减，，单增.

故实数的取值范围是.                    ………………12分

22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

【解析】 (Ⅰ)由已知可得直线的普通方程为，

曲线的直角坐标方程为，

根据点到直线的距离公式可知，

解得或，

又，所以.                                   ………………5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）可知直线的方程为，而且弦的长度一定，要使的面积最大，只需点到直线的距离最大，设，则点到直线的距离为，

所以当即时，距离最大，

此时点的坐标为                            ……………10分

 23. [选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ）由条件可知原不等式可化为

①，②，③，

解①得；解②得；解③得，

所以原不等式的解集为.                   ………………5分

（Ⅱ）因，

所以当时，函数的最小值为，于是，∵a＞0, b＞0

而，于是.

∵≥

∴, 原不等式得证         ………………10分