北京市第四中学2022届高三下学期阶段性测试一数学试题

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（试卷满分150分，考试时间为120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列满足：，，，那么使成立的的最大值为
A 4B. 5C. 24D. 25
4. 若函数f（x）是奇函数，当时，，则（ ）
A. 2B. -2C. D.
5. 如图，在复平面内，复数，对应向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6. 下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A B.
C. D.
7. 在中，是中点，则的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知，，点在圆上运动，则面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
9. 设，则“是第一象限角”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（ ）
A. 4B. 6C. 32D. 128
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 命题“,”的否定是__________.
12. 若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为_________.
13. 已知双曲线，则W实轴长为___________；若W的上顶点恰好是抛物线V的焦点，则V的标准方程是___________.
14. 能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
15. 在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点的轨迹为.给出下面四个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③点在曲线上；④在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于.其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本大题共6小题，共85分
16. 已知满足___________，且，，求的值及的面积.
从这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.
条件①；条件②；条件③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
（1）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值：
（2）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用.若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.
18. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，F是PB中点，E为BC上一点.
（1）求证：AF⊥平面PBC；
（2）当BE为何值时，二面角为;
（3）求三棱锥P—ACF的体积.
19. 已知a为实数，函数
（1）当时，求曲线在点（1，f（1））处的切线的方程：
（2）当时，求函数f（x）的极小值点；
（3）当时，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由.
20. 设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点
（1）求椭圆的方程：
（2）是否存在实数，使直线平行于直线？证明你的结论.
21. 对于项数为的有穷正整数数列，记，即为，，……中的最大值，称数列{}为数列{}的“创新数列”.比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5.
（1）若数列的“创新数列”{}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列；
（2）设数列{}为数列的“创新数列”，满足，求证：
（3）设数列{}为数列的“创新数列”，数列{bn}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.
寿命（天）
频数
频率
[100，200）
20
0.10
[200，300）
30
a
[300，400）
70
0.35
[400，500）
b
0.15
[500，600）
50
0.25
合计
200