考点05 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向-2022年新高考数学方法研究（人教A版2019）练习题

专题二  函数

考点5  函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向

【方法点拨】

一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法

1. 函数奇偶性的判断方法

(1)                                                                    定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)；

(2)                                                                    性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x奇=偶，偶x偶=偶，奇x偶=奇”.

(3)                                                                    图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.

2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向

（1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).

(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组).

【高考模拟】

1．已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

2．设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

3．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

4．已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；③当时，.若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

5．已知是奇函数，那么实数（    ）

A．0 B．-1 C．2 D．1

6．定义在R上的偶函数满足,，则（    ）

A． B． C．2 D．4

7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，且f(5)=7，则f(－5)的值是（）

A．－5 B．－7 C．5 D．7

9．若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（    ）

A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3

10．偶函数在内是增函数，下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

11．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且最小值是1，则f(x)在[-b，-a]上是（    ）

A．增函数且最小值是-1 B．增函数且最大值是-1

C．减函数且最小值是-1 D．减函数且最大值是-1

12．已知函数，且是偶函数，则的大小关系是（    ）

A． B．)

C． D．

13．已知函数则不等式的解集为（    ）

A．(-3，0) B． C．(0，3) D．

14．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（    ）

A． B． C． D．

15．已知为奇函数，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

16．已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒成立，当时，f(x)=2x，则f(2021)=_____________.

17．已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则__________．

18．已知为奇函数，且当时单调递增，，则不等式的解集__________．

19．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，又当时，，则的值等于__________．

20．已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为___________

21．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0，2]时，

（1）求证：f(x)是周期函数；

（2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；

（3）计算.

22．函数对于任意实数满足条件，若，求.

23．已知函数．

（I）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅱ）当时，证明：函数在上单调递减．

24．（1）是上的奇函数，当时，，求时的解析式；

（2）设为奇函数，为偶函数，且，求和的解析式．

25．设函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，有f()= . 求证：是奇函数.

26．为奇函数，则的取值范围

27．已知函数的定义域都是，而是奇函数，是偶函数.

①判断的奇偶性；

②如果，求函数的表达式.

28．为奇函数，则的值

29．已知是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）求函数在上的解析式.

（2）若对所有，恒成立，求实数m的取值范围.

30．已知函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明函数在上的单调性；

（3）若成立，求实数的取值范围.