考点03 充分、必要条件的2种判断方法-2022年新高考数学方法研究（人教A版2019）练习题

2021-2022学年《高考数学方法研究》（人教A版2019）            专题一  集合与常用逻辑用语

考点3  充分、必要条件的2种判断方法

【方法点拨】

1. 定义法：根据p推q，q推p是否成立进行判断。
2. 集合法：根据p，q成立与对应的集合之间的包含关系进行判断。

【高考模拟】

1．已知，则“”是“且”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】

根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可.

【解析】

，若，则的大小无法确定，不能得出且，故充分性不成立，

若且，则，故必要性成立，

“”是“且”的必要而不充分条件.

故选：B.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

先解不等式，再用集合法判断.

【解析】

由解得：

记

∵,∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；

(2)若p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集；

(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；

(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．

3．已知函数y=f(x)的定义域为A，则“，都有f(x)≥4”是“函数y=f(x)最小值为4”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

根据充分必要条件，函数最值可判断必要性，利用特殊函数形式，可判断充分性，即可得解.

【解析】

若“在上的最小值为”则“，”成立，即必要性成立；

函数恒成立，但在上的最小值不是，即充分性不成立，

“，”是“在上的最小值为”的必要不充分条件．

故选：B.

4．对于实数，“”是“”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【解析】

当时，例如当，但，故充分性不成立；反之，若，则，故必要性成立.

故选：B.

5．已知，，是实数，则下列命题是真命题的（    ）

A．“”是“”的充分条件

B．“”是“”的必要条件

C．“”是“”的充分条件

D．“”是“”的必要条件

【答案】D

【分析】

利用来判断AB；利用来判断CD.

【解析】

对于A，，故“”是“”的充分条件为假命题；

对于B ，，故“”是“”的必要条件为假命题；

对于C ，当时，,故“”是“”的充分条件为假命题；

对于D ，，故“”是“”的必要条件为真命题.

故选：D

6．已知，为实数，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】

利用为增函数，分别判断充分性和必要性.

【解析】

充分性：∵为增函数，∴时有，故充分性满足；

必要性：∵为增函数，∴时可以得到，故必要性满足；

∴“”是“”的充要条件.

故选：C

【点睛】

判断充要条件的四种方法：

（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.

7．命题：是命题：的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】

解一元二次不等式，利用充分条件、必要条件即可判断.

【解析】

，

所以，反之.

故是的必要不充分条件.

故选：B

8．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

解正弦不等式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解析】

当时，

则，

当时，，

即“”是“”的必要而不充分条件

故选：B

9．若，使成立的一个充分不必要条件是（　　）

A． B． C． D．且

【答案】C

【分析】

利用不等式的性质以及充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.

【解析】

A，，不满足 ；

B，，不满足 ；

C，由可得，反之，，得不到，如.

D，，，不满足.

故选：C

10．设，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充要条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

根据充分必要条件的定义判断．

【解析】

若，可以推出，故充分性成立，若，则，不能推出，故必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：C.

11．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案．

【解析】

若“，”为真命题，得恒成立，只需，

所以时，不能推出“，”为真命题，

“，”为真命题时推出，

故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，

故选：A．

【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

12．已知，，，则“”是“”成立的（    ）

A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

根据充分，必要条件的定义判断.

【解析】

当时，，所以“”不能推出，反过来，当，时，，能推出，所以“”是“”成立的必要不充分条件.

故选：C

13．“且”是“”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

根据充分必要条件定义判断即可得结果.

【解析】

当且时，，，所以；

反之不一定成立，

如，，，满足，但不满足且.

故选：B

14．已知命题，命题．若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先求出命题为真时，的范围，再根据充分不必要条件得出关于的不等关系，从而可得结论．

【解析】

，，，，

p是q的充分不必要条件，则，，∴或．

故选：D．

15．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义即可判断.

【解析】

解：充分性：，

，

即能推出，

即充分性成立，

必要性：，

则，

则，

故推不出，

故必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

16．a∈R，|a|<4成立的一个必要不充分条件是（    ）

A．a<4 B．|a|<3

C．a2<16 D．0<a<3

【答案】A

【分析】

利用集合法判断.

【解析】

因为|a|<4的解集是，

A. 因为，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；

B. 因为，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；

C. 因为a2<16的解集是，所以a2<16是|a|<4成立的一个充要条件；

D. 因为，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；

故选：A

17．已知是平面内的两条相交直线，且直线，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据线面垂直的判定定理和性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【解析】

当时，因为是平面内的两条相交直线，，

根据线面垂直的判定定理，可得；

当时，因为，所以，

综上，“”是“”的充要条件.

故选：A.

18．已知平面，直线且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定定理即可得出选项.

【解析】

直线且，若“”，不一定推出，

因为线面垂直的判定定理，需满足线垂直于面内的两条相交线，充分性不满足；

反之，，则直线垂直于面内的任意一条直线，由，可得，

必要性满足，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

19．设，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】

首先根据得到或，从而得到答案.

【解析】

由，解得或，

则当时，有成立.

当时，不一定成立，例如时，满足，但不成立.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

20．已知中，，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.

【解析】

充分性：若，则，即，

即，并不能得出一定成立，故充分性不成立；

必要性：若，由余弦定理得：，

因为，所以，故必要性成立，

综上，“”是“”的必要不充分条件，

故选：C.

【点睛】

方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：定义法、传递性法、集合法、等价命题法.

21．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求出“关于的不等式的解集为”成立时实数的取值范围，再结合必要不充分条件的定义可得出结论.

【解析】

由关于的不等式的解集为，

可得，解得，所以的取值范围是.

根据必要不充分条件的概念可知B项正确.

故选：B.

22．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不必要也不充分条件

【答案】A

【分析】

解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【解析】

解不等式，可得，解得，

，因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

23．“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【解析】

由，可得

由可得，所以得不出，

可得”是“”的充分不必要条件，

故选：A

24．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】

解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【解析】

解不等式，即，解得或.

或，因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

25．清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

利用充分性必要性的定义，先考虑充分性，再考虑必要性.

【解析】

先考虑充分性：

学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；

再考虑必要性：

学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件.

所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.

故选：C

【点睛】

方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断.

26．一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线是这两个平面垂直的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

利用线面垂直的判定定理来判断.

【解析】

根据线面垂直的判定定理：一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线可以推出这两个平面垂直；反过来，两个平面垂直也能够推出一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线.

故选:C

【点睛】

判断充要条件的四种方法：

（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.

27．命题 ，命题（其中），那么p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义即可判断得出正确选项.

【解析】

若，则，所以命题可以得出命题成立，

若则，即，所以所以命题可以得出命题成立，

所以p是q的充要条件，

故选：C

28．设、，则“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【解析】

充分性：若且，则，充分性成立；

必要性：若，则或，必要性不成立.

因此，“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

29．已知，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

分别把和表示的区域表示出来，利用集合法判断.

【解析】

不等式表示单位圆及其内部的区域，

表示以和为顶点的正方形及其内部的区域，

画图可知对应的区域被对应的区域包含，

所以是的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．

30．使“不等式成立”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据指数函数的性质，求得不等式的解集，再结合充分不必要条件和选项，即可求解.

【解析】

由不等式，可得，即，解得，

结合选项，可得“不等式成立”的一个充分不必要条件可以是.

故选：B.