专题4.5小题易丢分必做填空30题（提升版）-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车（北师大版）
专题4.5小题易丢分必做填空30题（提升版）
一．填空题（共30小题）
1．（2021秋•亭湖区期中）若∠α是等边三角形的一个内角，则∠α＝　60°　．
【分析】根据等边三角形的性质解决问题即可．
【解析】∵等边三角形的每个内角是60°，
∴∠α＝60°，
故答案为：60°
2．（2021秋•河池期中）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是　22.5°　．
【分析】设两个锐角度数为x°，3x°，根据直角三角形的性质可得方程，再解即可．
【解析】设两个锐角度数为x°，3x°，
由题意得：x+3x＝90，
解得：x＝22.5，
∴较小的锐角是22.5°．
故答案为：22.5°．
3．（2021秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD与BC的垂直平分线交于点D．连接BD，若∠A＝65°，∠ABD＝16°，则∠BDC的度数为　114　°．

【分析】由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠BCD＝∠ACD，由三角形内角和定理可求解．
【解析】∵∠ACB的平分线CD与BC的垂直平分线交于点D，
∴BD＝CD，∠ACD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠BCD＝∠ACD，
∵∠A＝65°，∠ABD＝16°，
∴∠ACD+∠BCD+∠DBC＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝99°，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠DBC＝33°，
∴∠BDC＝114°，
故答案为114．
4．（2021秋•临河区校级期中）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝130°，则∠DAE＝　80　°．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
【解析】∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝80°，
故答案为：80．
5．（2021秋•朝阳区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若AC＝9，BC＝5，则△BDC的周长是　14　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝14，
故答案为：14．
6．（2021秋•宝应县期中）如图，已知OC是∠AOB的角平分线，点D、F分别是射线OC、OA的动点，DE⊥OB于E且DE＝3cm，则线段DF的最小值是　3　cm．

【分析】利用角平分线的性质和垂线段的性质进行解答．
【解析】当DF⊥OA时，DF的值最小，
∵OC是∠AOB的角平分线，DF⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DF＝3cm，
故答案为：3．
7．（2021秋•东莞市校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝OM＝4，则OP＝　12　．

【分析】本题入手点为等腰三角形的性质以及含特殊角的直角三角形，因此做PH⊥MN是解题的关键．
【解析】作PH⊥MN于H，

∵PM＝PN，PH⊥MN，
∴MH＝HN=12MN＝2，
又∵OM＝4，
∴OH＝OM+MH＝4+2＝6，
在Rt△OHP中，∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OP＝2OH＝2×6＝12，
故答案为：12．
8．（2021秋•确山县期中）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝　1411或47　．
【分析】分∠A为顶角及∠A为底角两种情况考虑，当∠A为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值；当∠A为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值．
【解析】当∠A为顶角时，∠B＝∠C=12（180°﹣∠A）＝55°，
∴它的特征值k=70°55°=1411；
当∠A为底角时，顶角＝180°﹣2∠A＝40°，
∴它的特征值k=40°70°=47．
故答案为：1411或47．
9．（2021秋•巴南区期中）如图，∠ABC＝58°，AD垂直平分BC，垂足为D，BE平分∠ABD交AD于E，连接CE，若∠AEC＝m°，则m＝　119　．

【分析】根据角平分线的定义得到∠EBC=12∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，进而得到∠C＝∠EBC＝29°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解析】∵BE平分∠ABD，∠ABC＝58°，
∴∠EBC=12∠ABC＝29°，
∵AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，∠ADC＝90°，
∴∠C＝∠EBC＝29°，
∴∠AEC＝∠ADC+∠C＝119°，即m＝119，
故答案为：119．
10．（2021秋•海宁市期中）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O．若∠B＝35°，则∠AOC＝　70　°．

【分析】连接BO并延长，点D在BO的延长线上，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OC＝OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解析】连接BO并延长，点D在BO的延长线上
∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOD＝2∠ABO，∠COD＝2∠CBO，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝2（∠ABO+∠CBO）＝70°，
故答案为：70．

11．（2021秋•乐清市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为　2　．

【分析】根据直角三角形的性质得到∠B＝60°，BC=12AB＝2，根据已知条件得到△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质即可得到结论．
【解析】连接CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴∠B＝60°，BC=12AB＝2，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BC＝2，
故答案为：2．

12．（2021秋•姜堰区期末）如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝　120°　．

【分析】利用等边三角形的性质得到BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，然后利用四边形的内角和可计算出∠EFD的度数．
【解析】∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，
∴∠AEF＝∠ADF＝90°，
∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A
＝180°﹣60°
＝120°．
故答案为120°．
13．（2021秋•绿园区期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是　80°　．

【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．
【解析】∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝3∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案为：80°．
14．（2021秋•萧山区期中）疫情期间全国“停课不停学”初中生来清网上听课每节课a分钟，每天六节课，每天上网课总时长小于240分钟，可列不等式　6a＜240　．
【分析】根据6节课的总时长小于240分钟，即可得出关于a的一元一次不等式，此题得解．
【解析】依题意，得6a＜240．
故答案为：6a＜240．
15．（2021春•张家港市校级期中）若（m﹣2）x2m+1﹣1＜5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为　x＞﹣3　．
【分析】先根据一元一次不等式的概念得出m的值，从而得出不等式，再进一步求解可得．
【解析】根据题意知2m+1＝1，且m﹣2≠0，
解得m＝0，
则不等式为﹣2x﹣1＜5，
解得x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
16．（2021春•天心区期中）若12x2m﹣1﹣3＞5是一元一次不等式，则m＝　1　．
【分析】利用一元一次不等式定义进行解答即可．
【解析】由题意得：2m﹣1＝1，
解得：m＝1，
故答案为：1．
17．（2021春•通州区期中）如果关于x的不等式x≥a-12的解集在数轴上表示如图所示，那么a的值为　﹣3　．

【分析】根据不等式的解集及其在数轴上的表示得出关于a的方程，解之可得答案．
【解析】根据题意知a-12=-2，
∴a﹣1＝﹣4，
则a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
18．（2021春•如东县期中）去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加　74　天．
【分析】设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%且明年（365天）这样的比值要超过80%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，
依题意，得：365×60%+x＞365×80%，
解得：x＞73．
∵x为整数，
∴x的最小值为74．
故答案为：74．
19．（2021春•龙泉驿区期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax和y＝kx+7的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式ax＞kx+7的解集是　x＞2　．

【分析】利用函数图象，写出直线y＝ax在直线y＝kx+7的上面所对应的自变量的范围即可．
【解析】因为当x＞2时，ax＞kx+7，
所以关于x的一元一次不等式ax＞kx+7的解集为x＞2．
故答案为x＞2．
20．（2021春•太原期中）某种品牌自行车的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打　8.4　折．

【分析】设打x折销售，根据利润＝销售价格﹣进价结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】设打x折销售，
依题意，得：500×x10-400≥400×5%，
解得：x≥8.4．
故答案为：8.4．
21．（2021春•南岗区校级期中）不等式组x-32+3＞x+11-3(x-1)≤8-x所有整数解的和是　﹣3　．
【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
【解析】x-32+3＞x+1①1-3(x-1)≤8-x②，
解①得：x＜1，
解②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
故所有整数解为：﹣2，﹣1，0，
则所有整数解的和是：﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
22．（2021秋•市中区校级期中）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4，（10]＝9．如果|（x]|＝3，则x的取值范围为　3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2　．
【分析】根据题意，可以对x进行分类讨论，然后求出x的取值范围即可．
【解析】由题意可得，
当x＞0时，|（x]|＝（x]＝3，则3＜x≤4，
当x＜0时，|（x]|＝﹣（x]＝3，则﹣3＜x≤﹣2，
故答案为：3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2．
23．（2021秋•大同区校级期中）若关于x的不等式组12x-a＞04-2x＞0无解，则a的取值范围为　a≥1　．
【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【解析】12x-a＞0①4-2x＞0②，
由①得，x＞2a，
由②得，x＜2，
∵不等式组无解，
∴2a≥2，即a≥1．
故答案为：a≥1．
24．（2021秋•吴兴区校级期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝27°，将△ABC绕点C逆时针旋转α到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数是　54°　．

【分析】由余角的性质可求∠ABC＝63°，由旋转的性质可得∠B1＝∠ABC＝63°，∠B1CA1＝∠ACB＝90°，CB＝CB1，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解析】∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝27°，
∴∠ABC＝63°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，
∴∠B1＝∠ABC＝63°，∠B1CA1＝∠ACB＝90°，CB＝CB1，
∴∠CB1B＝∠CBB1＝63°，
∴∠BCB1＝∠α=180°-63°2=54°．
故答案为：54°．
25．（2021秋•斗门区校级期中）如图，在△ABC纸片中，∠BAC＝50°，将△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，此时AD边经过点C，连接BD，若∠DBC的度数为40°，则∠E的度数为　105°　．

【分析】由旋转的性质可得AD＝AB，∠E＝∠ACB，由等腰三角形的性质可得∠ADB＝∠ABD＝65°，由三角形的外角性质可求解．
【解析】∵将△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，
∴AD＝AB，∠E＝∠ACB，
又∵∠BAC＝50°，
∴∠ADB＝∠ABD＝65°，
∴∠ACB＝∠ADB+∠DBC＝65°+40°＝105°，
∴∠E＝105°，
故答案为：105°．
26．（2021秋•台江区期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转78°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数是　51　°．

【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝78°，由等腰三角形的性质可求解．
【解析】∵将△ABC绕点A逆时针旋转78°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝78°，
∴∠B＝∠ADB＝51°，
故答案为：51．
27．（2021秋•白云区期中）若点（﹣m，n+3）与点（2，﹣2m）关于原点对称，则m+n＝　3　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解析】∵点（﹣m，n+3）与点（2，﹣2m）关于原点对称，
∴﹣m＝﹣2，n+3＝2m，
解得：m＝2，n＝1．
∴m+n＝2+1＝3．
故答案为：3．
28．（2021秋•袁州区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5.8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　1.8　．

【分析】根据旋转变换的性质得到AD＝AB，根据等边三角形的性质解答即可．
【解析】由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝4，
∴CD＝CB﹣BD＝5.8﹣4＝1.8，
故答案为：1.8．
29．（2021秋•思明区校级期中）如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°到Rt△ODC，连接BC，AC．作OP⊥AC，垂足为P，则OP的长度为　2721　．

【分析】由直角三角形的性质可求OA=12OB=2，AB=3OA=23，由旋转的性质可得OB＝OC，∠BOC＝60°，可证△OBC是等边三角形，可得∠OBC＝60°，由勾股定理可求AC的长，由三角形面积公式可求解．
【解析】由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝4，∠ABO＝30°，∠OAB＝90°，
∴OA=12OB=2，AB=3OA=23，
又∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=(23)2+42=27，
∵S△AOC=12OA×AB=12AC×OP，
∴12×2×23=12×27×OP，
∴OP=2721，
故答案为：2721．
30．（2021春•青羊区校级期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的有　①③④　（写出序号）．

【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积=13S△ABC=433，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE=34OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长＝BC+DE＝4+DE＝4+3OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
【解析】连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中
∠BOD=∠COEBO=CO∠OBD=∠OCE
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═13S△ABC=13×34×42=433，所以③正确；
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH=12OE，HE=3OH=32OE，
∴DE=3OE，
∴S△ODE=12•12OE•3OE=34OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+3OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=233，
∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确．
故答案为①③④．