专题18.25 矩形-动点问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题18.25 矩形-动点问题（专项练习）
一、填空题
1．（2018·四川成都外国语学校九年级期中）如图，、、、是矩形的四个顶点，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，当时间为__时，点和点之间的距离是．

2．（2019·上海市嘉定区怀少学校九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=9，点P在BC边上，CP=3，点Q为线段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，则=____________．

3．（2019·合肥寿春中学八年级期末）如图，在矩形中，，，是边的中点，点是边上的一动点，将沿折叠，使得点落在处，连接，，当点落在矩形的对称轴上，则的值为______．

4．（2019·安徽九年级月考）如图，在矩形中，点是上的一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰好落在的平分线上时，的长为________________．

5．（2019·江苏八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边一条动直线分别与将于点，且将矩形分为面积相等的两部分，则点到动直线的距离的最大值为__________.

6．（2018·陕西西北工业大学附属中学九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则△PAB周长的最小值_____

7．（2019·浙江八年级期末）图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为_____．

8．（2020·南通崇川学校八年级期中）如图，矩形ABCD中，AD=3，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____．

9．如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点；把沿折叠，点A落在处，如果恰在矩形的对称轴上，则的长为______．

10．（2019·全国九年级单元测试）如图，在矩形中，点是线段上一动点，且，，，，则的值为_________．

11．（2020·武汉市光谷实验中学九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝9，点P时矩形ABCD内一动点，且＝，则PC＋PD的最小值是_________．

12．（2020·苏州市平江中学校九年级期中）如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连结．的面积最大为__________．

13．（2021·江苏九年级期末）如图，在矩形中，，，点是上的动点（不与端点重合），在矩形内找点，使得，且满足，则线段的最小值是__________．

14．（2020·安徽九年级学业考试）如图，在矩形中，，，点为的中点，动点从点出发沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点落在点处，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点运动的距离为__________.

15．（2020·陕西九年级期中）如图，矩形中，，，点是边上动点，则的最小值为______．

16．（2019·山东九年级期中）在矩形中，，，是上的动点，于点，于点， 则____________.

17．（2020·山东九年级）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

18．（2018·河南九年级）如图，矩形ABCD中，，，点E为DC上一动点，沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点处，若为等腰三角形，则DE的长为______．

19．（2020·广西九年级）如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，__________．

20．如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，当________时，平分；连结，则的最小值为_______．

21．（2019·重庆西南大学附中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝S矩形ABCD，则点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．

22．（2020·山东周村二中九年级月考）如图，在矩形ABCD中，，，点P是矩形ABCD内的一个动点，且，连接PC，则线段PC的最小值________．

23．（2018·河南九年级期中）如图，在矩形中，，矩形内有一动点，过点作于，连接，则的最小值为_____．


二、解答题
24．（2018·全国九年级单元测试）如图，在矩形中，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动，点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为，则当为何值时，四边形时矩形？

25．（2020·辽宁九年级）如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，求的长．

26．（2019·湖北八年级期末）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接.
（1）求证：矩形是正方形；
（2）判断与之间的数量关系，并给出证明.

27．（2018·成都双流中学实验学校九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠CQP的度数；
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；
（3）①求y与x之间的函数关系式；
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的．

28．（2019·北京市第十一中学八年级月考）如图1，矩形ABCD中，点E是边AD上动点，点F是边BC上动点，连接EF，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，记为点G；如图2，把矩形展开铺平，连接BE，FG.
（1）判断四边形BEGF的形状一定是　 　，请证明你的结论；
（2）若矩形边AB＝4，BC＝8，直接写出四边形BEGF面积的最大值为　 　．

29．（2019·全国九年级期中）如图，在矩形中，是的中点，连接、，点是边上的动点，作于点，于点，当矩形的长与宽是什么关系时，四边形是矩形？并证明．

30．（2019·全国九年级课时练习）如图，是矩形的边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为．
（1）当矩形的边与满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明；
（2）在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形为正方形？为什么？

31．（2020·江苏九年级期末）附加题,已知：矩形，，动点从点开始向点运动，动点速度为每秒1个单位，以为对称轴，把折叠，所得与矩形重叠部分面积为，运动时间为秒.
（1）当运动到第几秒时点恰好落在上；
（2）求关于的关系式，以及的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形面积的；
（4）连接，以为对称轴，将作轴对称变换，得到，当为何值时，点在同一直线上？

32．如图，在矩形ABCD中，AB=3厘米，BC=7厘米．动点E从点D出发向点A运动，速度为每秒1厘米，同时动点F从点B出发向点C运动，速度为每秒2厘米．当点F到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，连接EF，将矩形沿EF对折．
（1）当t=1时，求EF的长；
（2）当t为何值时，矩形ABCD左边无重叠部分（阴影部分）为矩形？

33．（2020·江苏九年级）如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD=6，DE=，则OF的最小值为___________．


参考答案
1．或
【分析】
过点作于点，设当t秒时PQ=10cm，利用勾股定理得出即可．
解：设当时间为时，点和点之间的距离是，
过点作于点，如图：

则，，
故，
解得：，，
即当时间为或时，点和点之间的距离是，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了勾股定理和矩形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键，用了方程思想．
2．1或．
【详解】
解： 有两种情况：①若R在线段AD上，
∵ABCD为矩形，∴∠RAB=∠ABP=90°，
∵AB=AB，AP=BR，∴△RAB≌△PBA，
∴AR=BP，∵AD∥BC，∴∠ARQ=∠QBP，∠RAQ=∠QPB，
∴△ARQ≌△PBQ，
∴QR=BQ，
∴=1；

②若R在线段DC上，如图，延长AP与DC的延长线交于点E，
∵CP∥DA，∴CE：DE=CP：DA，∴CE：(CE+8)=3：9，∴CE=4，
∵PB=9-3=6，AB=8，∴AP=10，
∴BR=AP=10，∴RC=，
∴RE=，∵DC∥AB，
∴
故答案为1或．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例定理；矩形的性质．
3．2
【分析】根据旋转的性质在三角形EHG中,利用30°角的特殊性得到∠EGH=30°,再利用对称性进行解题即可.
解：如下图过点E作EH垂直对称轴与H，连接BG，
∵，，
∴BE=EG=1,EH=,
∴∠EGH=30°,
∴∠BEG=30°,
由旋转可知∠BEF=15°,BG⊥EF,
∴∠EBG=75°,∠GBF=∠BCG=15°,即
∴m=2
故答案是:2

【点拨】本题考查了图形旋转的性质,中垂线的性质,直角三角形中30°的特殊性,熟悉30°角的特殊性是解题关键.
4．或
【分析】
过点A1作A1F⊥BC于F，根据等腰直角三角形的判定可得△为等腰直角三角形，设CF==x，从而得出BF= 7－x，CA1=，然后根据折叠的性质可得AB==5，再利用勾股定理求出x，即可求出结论．
解：过点A1作A1F⊥BC于F

∵四边形ABCD为矩形，平分
∴
∴△为等腰直角三角形，设CF==x
则BF=BC－CF=7－x，CA1==
由折叠的性质可得AB==5
在Rt△中，
即
解得：x1=3，x2=4
∴CA1=或
故答案为：或．
【点拨】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．
5．
【解析】
【分析】设M,N为CO,EF中点, 点到动直线的距离为ON,求解即可.
【详解】
∵
∴SOABC=12
∵将矩形分为面积相等的两部分
∴SCEOF=×（CE+OF）×2=6
∴CE+OF=6
设M,N为CO,EF中点，

∴MN=3
点到动直线的距离的最大值为ON=
故答案.
【点拨】本题考查的是的动点问题，熟练掌握最大距离的算法是解题的关键
6．10+2．
【分析】首先由S△PAB＝S矩形ABCD，得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的值，继而求得答案.
【详解】
设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝4，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，
∴BE＝，
即PA+PB的最小值为．
∴△PAB周长的最小值＝10+，
故答案为：10+．
【点拨】本题考查了轴对称－最短路线问题，还考查了三角形的面积、矩形的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的性质，得出动点P所在的位置是解题的关键.
7．
【解析】
【分析】过作，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出，进而利用勾股定理解答即可．
解：过作，

正方形，
，，
，
，
，且，，
，
，，

当时，的最小值为
故答案为：
【点拨】本题考查正方形的性质，关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出．
8．3
【分析】作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q，此时QA+QP最短，由QA+QP=QE+PQ=PE可知，求出PE即可解决问题．
解：作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴DQ⊥AE，∵DE=AD，
∴QE=QA，
∴QA+QP=QE+QP=EP，
∴此时QA+QP最短（垂线段最短），
∵∠CAB=30°，
∴∠DAC=60°，
在RT△APE中，∵∠APE=90°，AE=2AD=6，
∴EP=AE•sin60°=6×=3．
故答案为：3

【点拨】本题考查矩形的性质、最短问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是利用对称以及垂线段最短找到点P、Q的位置，属于中考常考题型．
9．2或
【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E即可；②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E，即可得出结果．
解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM=BN=AD=2，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=2，
∴A′N==0，即A′与N重合，
∴A′M=2= A′E，
∴AE=2；

②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，
设A′E=x，则BE=2x，
在△A′EB中，，
解得：x=，
∴AE=A′E=；

综上所述：AE的长为2或，
故答案为：2或．
【点拨】本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．
10．
【分析】
先根据矩形的性质和勾股定理得到各边边长,再利用S△BOP+S△COP= S△BOC进行求解即可解题.
解：如下图,连接OP,
在矩形中，∵，，
∴AC=10（勾股定理）
∴BD=10,
∴OA=OB=OC=OD=5,
∴S△BOC=
S△BOP+S△COP= S△BOC

∴PE+PF=

故答案为
【点拨】本题考查了矩形的性质,勾股定理,三角形的面积,属于简单题,熟悉面积的表示形式和矩形的性质是解题关键.
11．2
【分析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．由PM垂直平分线段DE，推出PD＝PE，推出PC＋PD＝PC＋PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．

∵四边形ABC都是矩形，
∴ABCD，AB＝CD＝2，BC＝AD＝9，
∵＝，
∴×2×x＝××2×（9－x），
∴x＝3，
∴AM＝3，DM＝EM＝6，
在RtECD中，EC＝＝2，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，
∴PD＋PC≥2，
∴PD＋PC的最小值为2．
【点拨】本题考查轴对称－最短问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．2
【分析】作FH⊥AD于点H，证明△FEH≌△ECD得到FH=ED，设AE=x，则FH=ED=4-x，建立的面积关于x的函数表达式，运用二次函数的性质求解即可．
【详解】
如图所示，作FH⊥AD于点H，
∵四边形为正方形，
∴FE=EC，∠FEH+∠DEC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠FEH=∠ECD，
在△FEH和△ECD中，

∴△FEH≌△ECD（AAS），
∴FH=ED，
设AE=x，则FH=ED=4-x，
∴，
则当x=2时，取最大值，最大值为2，
故答案为：2．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及函数法求解几何图形的面积最值问题，熟练运用二次函数的性质是解题关键．
13．2
【分析】连结FD，由可证△FAE∽△DAF，可得∠DFA=90°，可知点F在以AD中点为圆心，3为半径的半圆上运动，由B、F、O三点共线时，利用两点之间线段最短知BF最短,在Rt△ABO中，由勾股定理得BO=，可求BF=5-3=2．
【详解】
连结FD，
∵，
∴，
∵∠FAE=∠DAF，
∴△FAE∽△DAF，
∴∠FEA=∠DFA，
∵，即∠FEA=90°，
∴∠DFA=90°，
∴点F在以AD中点为圆心，3为半径的半圆上运动，
当B、F、O三点共线时，BF最短,
在Rt△ABO中，由勾股定理得，
BO=，
BF=5-3=2，
BF的最小值为2，
故答案为：2．

【点拨】本题考查三角形相似判定与性质，圆周角性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握三角形相似的判定方法和性质的应用，会根据直角确定点F在圆周上运动，利用两点之间线段最短解决问题是关键．
14．1或
【分析】分点D′落在对角线AC上和点D′落在对角线BD上两种情况分别进行讨论求解即可得出点F运动的距离．
【详解】
解：第一种情况，如图当点D′落在对角线AC上时，连接DD′，

∵将矩形沿EF折叠，点D的对应点为点D′，且点D'恰好落在矩形的对角线上，
∴DD′⊥EF，
∵点E为线段AD的中点，
∴AE=ED=ED′，
∴∠AD′D=90°，即DD′⊥AC，
∴EF∥AC，
∴点F是CD的中点，
∵在矩形ABCD中，AB=2，
∴CD=AB=2，
∴DF=1，
∴点F运动的距离为1．
第二种情况，如图当点D′落在对角线BD上时，作FH⊥AD于H，

在矩形ABCD中，AB=2，，∠C=∠ADC=90°，
∴∠ADB=30°，
∵EF⊥BD，
∴∠FEH=60°，
∵四边形CFHD为矩形，
∴HF=CD=2，
∴，
∵，
∴，
∴点F运动的距离为．
故答案为：1或．
【点拨】此题考查图形的折叠问题，解题的关键是掌握折叠图形的性质：对称点连接的线段被对称轴垂直平分．
15．3
【分析】根据矩形的性质可推出OD=OC，由∠BOC=120°可得∠DOC=60°，进而可得△DOC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和角的和差可得∠ADB=30°，由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，BO=DO=，AC=BD，∠ADC=90°，
∴OD=OC，
∵∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADB=30°，
由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，此时．
故答案为：3．

【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短以及30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
16．
【分析】连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．
【详解】连接，过作于，

∵四边形是矩形，
∴，，，，，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，解题关键是求出DM长和得出PE+PF=DM．
17．
【分析】
由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
【详解】
为矩形，

又

点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为
【点拨】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
18．或
【分析】
连接，利用折叠得出，利用矩形的性质，以及为等腰三角形，需要分类讨论；进一步求得结论即可．
【详解】
①当时，如图连接，

由折叠性质，得，，
四边形ABCD是矩形，
，，
为等腰三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
即；
②当时，如图连接AC，

又题意可知，，
而；
故这种情况不存在；
③当时，如图过作AB的垂线，垂足为F，延长交CD于G，

∵，，
∴，
从而由勾股定理求得，
又易证，设，，
∴，即；
解得；
综上，故答案为或．
【点拨】此题考查翻折变换，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质，证得三角形全等是解决问题的关键．
19．或
【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理可求出AE的长，设＝PD＝x，则AP＝12﹣x，当△是直角三角形时，分两种情况：①当∠＝90°，②当∠＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果．
【详解】
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，
∴AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝6，
∴AE＝，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，
∴＝PD，
设＝PD＝x，则AP＝12﹣x，
当△A是直角三角形时，
①当∠＝90°时，
∴∠＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠＝∠AEB，
∴△ABE∽△，
∴，∴，
解得：x＝，即PD＝；

②当∠＝90°时，
∴∠＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△∽△EBA，
∴，
∴，
解得：x＝，即PD＝；
综上所述，当△是直角三角形时，PD＝或．
故答案为：或．
【点拨】题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键．
20．2
【分析】答题空1：ED平分∠FEC时，证出CDE是等腰直角三角形，得出DE=CD=2，求出AE=AD-DE=2即可；
答题空2：过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出EFH≌EDC，进而利用勾股定理解答即可．
解：答题空1
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，
∵四边形CEFG是正方形，
∴∠FEC=90°，
∵ED平分∠FEC，
∴∠CED=45°，
∴CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CD=2，
∴AE=AD-DE=2，
即当AE=2时，ED平分∠FEC；
故答案为：2；
答题空2
过F作FH⊥ED垂足为H，如图所示：

∵四边形CEFG是正方形，
∴EF=EC，∠FEC=∠FED+∠DEC=90°，
∵FH⊥ED，
∴∠FHE=∠D=90°，∠FED+∠EFH=90°，
∴∠DEC=∠EFH，且EF=EC，
在EFH和EDC中，

∴EFH≌EDC（AAS），
∴EH=DC=2，FH=ED，
∴由勾股定理得：AF=
=
= ，
∴当AE=1时，AF的最小值为；
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理解三角形等知识；关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC．
21．8
【分析】根据S△PAD＝S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．
【详解】
设△PAD中AD边上的高是h．
∵S△PAD＝S矩形ABCD，
∴ AD•h＝AD•AB，
∴h＝AB＝4，
∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．

在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，
DE＝ ,
即PA+PD的最小值为8 ．
故答案8．
【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
22．
【分析】
以AB为直径在矩形作圆O，证出点P在圆O上，连接OC，由矩形的性质得出，，由勾股定理求出，当P在OC与圆O的交点时，PC最小=；当PC与OP垂直时，PC是圆O的切线，PC=BC=3，由勾股定理求出AC=5，得出，即可得出答案．
解：以AB为直径作圆O，

，
点P在圆O上，
连接OC，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
当P为OC与圆O的交点时，PC最小=；
当PC与OP垂直时，PC是圆O的切线，PC=BC=3，
，而，
线段PC的最小值为．
【点拨】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、切线长定理等知识，熟练掌握矩形的性质，求出PC的取值范围是解题的关键．
23．
【分析】将绕点B顺时针旋转得到,连接，从而将转化到，当点在同一条直线上时，取得最小值.
【详解】
如图，将绕点B顺时针旋转得到,连接

则都是等边三角形
∴
∴
作,交BC与点M，如图所示;


当点在同一条直线上时，取得最小值


∵是等边三角形



∴的最小值是
故答案为：
【点拨】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解.
24．当时，四边形是矩形
【分析】根据题意表示出AP=4t, DQ=20-t; 根据菱形的对边相等, 求出的值, 即可解决问题.
【详解】

由题意得：，；
∵四边形是矩形，
∴，即，
解得：．
即当时，四边形是矩形．
【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质.
25．或
【分析】
过点作，交于点，交于点，连接，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
解：如图，过点作，交于点，交于点，连接．
∵点的对应点恰落在的平分线上，∴，设，则．由折叠知，．
在中，，
∴，
∴或，即或．
设，则，分两种情况讨论：
（1）当时，，，．
在中，，
∴，即．
（2）当时，，，，
在中，，
∴，即．
综上，的长为或．

【点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论.
26．（1）详见解析；（2），理由详见解析.
【解析】
【分析】作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE=EF即可；
根据四边形的性质即全等三角形的性质即可证明，即可得在中，则
【详解】
证明：（1）过作于点，过作于点，如图所示：
正方形，，
，且，
四边形为正方形
四边形是矩形，，.，

又，
在和中，
，，
矩形为正方形，

（2）矩形为正方形，，
四边形是正方形，，，
，
在和中，，
，，
在中，，

【点拨】本题考查正方形的判定与性质，解题关键在于证明.
27．（1）∠CQP＝30°；（2）x＝2；（3）①，②
【分析】
（1）由于PQ与BD平行，∠CQP＝∠CDB，因此只需求出∠CDB的度数即可．可在直角三角形ABD中，根据AB，AD的长求出∠ABD的度数，由∠CQP＝∠CDB＝∠ABD即可得出∠CQP的度数；
（2）当R在AB上时，三角形PBR为直角三角形，且∠BPR＝60°（可由（1）的结论得出），根据折叠的性质PR＝CP＝x，然后用x表示出BP的长，在直角三角形可根据∠RPB的余弦值得出关于x的方程即可求出x的值；
（3）①要分两种情况进行讨论：
一、当R在AB或矩形ABCD的内部时，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面积可通过求三角形CQP的面积来得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度数，可用CP即x的值表示出CQ的长，然后根据三角形的面积计算公式可得出y，x的函数关系式；
二、当R在矩形ABCD的外部时，重合部分是个四边形的面积，如果设RQ，RP与AB的交点分别为E、F，那么重合部分就是四边形EFPQ，它的面积＝△CQR的面积﹣△REF的面积．△CQR的面积在一已经得出，关键是求△REF的面积，首先要求出的是两条直角边RE，RF的表达式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的长，即可通过RP﹣PF得出RF的长；在直角三角形REF中，∠RFE＝∠PFB＝30°，可用其正切值表示出RE的长，然后可通过三角形的面积计算公式得出三角形REF的面积．进而得出S与x的函数关系式；
②可将矩形的面积代入①的函数式中，求出x的值，然后根据自变量的取值范围来判定求出的x的值是否符合题意．
【详解】
解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
又AB＝9，AD＝3，∠C＝90°，
∴CD＝9，BC＝3．
∴tan∠CDB＝，
∴∠CDB＝30°．
∵PQ∥BD，
∴∠CQP＝∠CDB＝30°；
（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ＝∠CPQ，RP＝CP．
由（1）知∠CQP＝30°，
∴∠RPQ＝∠CPQ＝60°，
∴∠RPB＝60°，
∴RP＝2BP．
∵CP＝x，
∴PR＝x，PB＝3﹣x．
在△RPB中，根据题意得：2（3﹣x）＝x，
解这个方程得：x＝2；
（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，
，，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴当时，
当R在矩形ABCD的外部时（如图2），，
在Rt△PFB中，
∵∠RPB＝60°，
∴PF＝2BP＝2（﹣x），
又∵RP＝CP＝x，
∴RF＝RP﹣PF＝3x﹣6，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR＝∠PFB＝30°，
∴ER＝x﹣6．
∴S△ERF＝ER×FR＝x2﹣18x+18，
∵y＝S△RPQ﹣S△ERF，
∴当时，y＝-x2+18x﹣18．
综上所述，y与x之间的函数解析式是：．
②矩形面积＝，
当时，函数随自变量的增大而增大，
所以y的最大值是6，而矩形面积的的值＝，
而，所以，当时，y的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：，
解这个方程，得，
因为，
所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的．



【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质和二次函数的综合应用，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质和二次函数的综合应用，注意的是（3）中要根据R点的不同位置进行分类讨论，不要漏解．
28．（1）四边形BEGF是菱形，证明见解析；（2）四边形BEGF面积的最大值为20.
【分析】
（1）由折叠的性质可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行线的性质可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可证四边形BEGF是菱形；
（2）当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，由勾股定理可求EG的长，即可求解．
【详解】
（1）四边形BEGF是菱形，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
∵把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，
∴∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，
∴∠DEF＝∠GFE，
∴EG＝FG，
∴EG＝BF，且AD∥BC，
∴四边形BEGF是平行四边形，且BF＝FG，
∴四边形BEGF是菱形，
（2）∵四边形BEGF是菱形，
∴BE＝EG，
∵S四边形BEGF＝EG×AB＝4EG，
∴当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，
当AE+EG＝AD时，EG最大，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴，
∴，
∴BE＝5＝EG，
∴四边形BEGF面积的最大值＝4×5＝20.
【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，由勾股定理求EG的长是正确解答本题的关键.
29．证明见解析
【分析】
当长=宽的2倍的时候，根据4个角为直角即可证明四边形PEMF是矩形．
【详解】
∵是的中点，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴
∴四边形是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的判定与性质.
30．（1）当时，四边形是矩形；（2）点运动到的中点时，矩形为正方形．理由见解析.
【分析】（1）当四边形PFEH是矩形时，∠FEH=90°；易证得△ABE≌△DCE，则∠AEB=∠DEC=45°；那么△ABE、△DCE是等腰直角三角形，此时AB=BE=EC=CD，故矩形ABCD满足长是宽的2倍时，四边形PFEH是矩形；
（2）若矩形PHEF是正方形，则PF=PH，此时可证得△PAF≌△PDH，则AP=PD，所以当P为AD中点时，矩形PHEF变为正方形．
【详解】
（1）当时，四边形是矩形．证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，．
∵是的中点，，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，．
在四边形中，
∵，
∵四边形是矩形．
（2）点运动到的中点时，矩形为正方形．理由如下：
由（1）可得，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
【点拨】此题考查矩形的判定与性质，正方形的判定，解题关键在于证明△ABE、△DCE是等腰直角三角形.
31．（1）第2秒时；（2）；（3）第4秒时；（4）=1或4
【分析】
（1）先画出符合题意的图形如图1，根据题意和轴对称的性质可判定四边形为正方形，可得BP的长，进而可得答案；
（2）分两种情况：①当时，如图2，根据折叠的性质可得：，进而可得y与t的关系式；②当时，如图3，由折叠的性质和矩形的性质可推出，设，然后在直角△中利用勾股定理即可求得x与t的关系，进一步利用三角形的面积公式即可求出y与t的关系式；
（3）在（2）题的基础上，分两种情况列出方程，解方程即得结果；
（4）如图4，当点在同一直线上，根据折叠的性质可得，进一步可得，进而可推出，然后利用相似三角形的性质可得关于t的方程，解方程即可求出结果.
解：（1）当点恰好落在上时，如图1，由折叠的性质可得：，
∵四边形为矩形，∴，
∴四边形为正方形，∴，
∵动点速度为每秒1个单位，∴，
即当运动到第2秒时点恰好落在上；

（2）分两种情况：
①当时，如图2，，由折叠得：，
∴；

②当时，如图3，由折叠得：，
∵，∴，∴，∴，
设，则，
在直角△中，由勾股定理得：，解得：，
∴，
综上所述：；

（3）①当时，，则（舍去），
②当时，，解得：（舍去），，
综上所述：在第4秒时，重叠部分面积是矩形面积的；
（4）如图4，点在同一直线上，由折叠得：，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，解得：，
∴当=1或4时，点在同一直线上.

【点拨】本题是矩形综合题，主要考查了矩形与折叠问题、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，考查的知识点多、综合性强，属于试卷的压轴题，正确画出图形、灵活应用数形结合和分类思想、熟练掌握上述知识是解答的关键.
32．（1）EF=5；（2）当t=时，矩形ABCD左边无重叠部分为矩形．
【分析】
（1）作辅助线EH⊥BC于H，证明四边形DEHC是矩形，得EH=CD=3，
当t=1时，HC=DE=1，BF=2，利用勾股定理得EF=5即可；（2）由折叠的性质得NF=NE,建立等量关系即可解题.
【详解】
（1）如图1，作EH⊥BC于H，则四边形DEHC是矩形，
∴EH=CD=3，
当t=1时，HC=DE=1，BF=2，
则FH=7–2–1=4，
由勾股定理得，EF==5．

（2）如图2，当ABFN是矩形时，∠NFC=90°，NF=AB=3，
由折叠的性质可知，∠NFE=∠CFE=45°，
∴NF=NE，即7–t–2t=3，
解得t=，
则当t=时，矩形ABCD左边无重叠部分为矩形．
【点拨】本题考查了折叠的性质,中等难度,熟悉折叠性质,设出边长,建立等量关系式是解题关键.
33．
【分析】
由已知可知∠COD=120°，CD=6，根据定弦定角是圆，找到 △COD的外接圆圆心G位于EF的中点，即可利用点到圆上的距离最小值解决题．
解：取EF的中点G，连接DG、CD、OG，并以DG为半径以G为圆心作圆，

∵在矩形CDEF中，CD=6，DE=，
∴EG=FG=3，
∴tan∠EGD=
∴∠EGD=30°，DG=CG=,
∴∠CGD=120°，
∵在等边△AOB中∠AOB=60°，
∴∠AOD=120°，
∴，
∴C、D、O和圆G上任意一点共圆，即点O在上，
∴DG=OG=，
在△FGO中，，
∴，
∴OF的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了线段的最值，涉及了四点共圆、点的轨迹、勾股定理、三角函数的知识，综合性较强，解题关键是由定角定弦发现圆并找到圆心在EF的中点上．