专题18.18 平行四边形-折叠问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题18.18 平行四边形-折叠问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若，，则为　　

A． B． C． D．
2．如图，已知平行四边形，，将平行四边形沿直线折叠，点A落在点E处，连结，，若.则的值为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ）

A．沿所在直线折叠后，和重合
B．沿所在直线折叠后，和重合
C．以为旋转中心，把逆时针旋转后与重合
D．以为旋转中心，把逆时针旋转后与重合
4．有一张平行四边形纸片，已知，按如图所示的方法折叠两次，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
7．在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD的面积等于（　　）
A．48 B．10 C．12 D．24
8．有一张平行四边形纸片ABCD，已知，按如图所示的方法折叠两次，则的度数等于（ ）

A．60° B．55° C．50° D．45°
9．如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（ ）

A．27° B．32° C．36° D．40°
10．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
11．如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点恰好落在边上的点处，折痕为，那么对于结论：①，②.下列说法正确的是( )

A．①②都错 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都对
12．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么下列说法不正确的是（　　）

A．MN∥BC B．MN＝AM C．AN＝BC D．BM＝CN


二、填空题
13．如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是___________________．
①；②；③；④

14．如图，平行四边形纸片ABCD中，AC=，∠CAB=30°，将平行四边形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕MN=_____．

15．如图，在中，，点的坐标为，，、分别是射线、线段上的点，且，以、为邻边构造平行四边形，①若线段与交于点，当时，则_______；②把沿着进行折叠，当折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的时，则_______．

16．如图，平行四边形ABCD，将四边形CDMN沿线段MN折叠，得到四边形QPMN，已知，则_______．

17．如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=__度．

18．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，，则的度数为_______．

19．如图，把平行四边形 折叠，使点 与点 重合，这时点 落在 ，折痕为 ，若 ，则 _______________．

20．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点处．若，则为_________．

21．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A＇处． 若∠1 = 50°，则∠BDA = ________．

22．如图，在平行四边形中，为边上点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的度数为_________．

23．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿折叠得到，点落在对角线上．若，，，则的周长为________．

24．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF．若∠A＝45°，AD＝，AB＝8，则AE的长为_____．

25．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_____度．


三、解答题
26．如图(1) ，折叠平行四边形，使得分别落在边上的点，为折痕

(1)若，证明:平行四边形是菱形;
(2)若 ，求的大小;
(3)如图(2) ，以为邻边作平行四边形，若，求的大小
27．如图，在平行四边形中，， ，，， 垂足为，在平行四边形的边上有一点，且.将平行四边形折叠，使点与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点、．

（1）求的长；
（2）请补全图形并求折痕的长．
28．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．
（1）求∠D′EF的度数；
（2）求线段AE的长．

29．如图，为长方形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处.将边沿折叠，使点落在上的点处。

求证：四边形是平行四边形；
若，求四边形的面积。
30．如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
31．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点.

（1）求证：；
（2）连接，求证：.
32．如图，在平行四边形中，，垂足为点，将平行四边形折叠，使点落在点的位置，点落在点的位置，折痕为.
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）连接，求证：四边形是矩形.

33．已知：将▱ABCD纸片折叠，使得点C落在点A的位置，折痕为EF，连接CE．求证：四边形AFCE为平行四边形．

34．如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处;再将矩形沿折叠,使点落在点处且过点．

（1）求证:四边形是平行四边形;
（2）当是多少度时,四边形为菱形?试说明理由．
35．如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若求四边形的面积及与之间的距离．
36．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证：；
（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．
37．如图，将平行四边形沿折叠，恰好使点与点重合，点落在点处，连接、．

求证：．
判断四边形的形状，说明理由．
38．如图，在平行四边形中，，，，是射线上一点，连接，沿将三角形折叠，得三角形．

（1）当时，=_______度；
（2）如图，当时，求线段的长度；

（3）当点落在平行四边形的边上时，直接写出线段的长度．
39．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：
（1）；
（2）．

40．如图，将▱ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE．
求证：四边形是平行四边形；
若BE平分：
则四边形是______；填哪一种特殊的平行四边形
求证：．

41．如图，将沿过点的直线折叠，使点落到边上的处，折痕交边于点，连接.

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求证：.
参考答案
1．B
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果．
【详解】
，
，
由折叠可得，
，
又，
，
又，
中，，
，
故选B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．
2．A
【分析】
延长DE，BC相交于点F，由平行四边形性质，以及，得到∠EFC=90°，则EF是△BCE的高，则，由∠EDB=45°，则DF=BF，又DE=AD=BC，则EF=CF，设EF=CF=x，由∠FDC=30°，则CD=2x，由勾股定理，求得DF=，得到DE=，即可得到答案.
解：延长DE，BC相交于点F，如图，

∵AD∥BC，，∠ABC=∠ADC=60°
∴∠EFC=90°，∠EDC=90°-60°=30°，
由折叠性质，得到DE=AD=BC，∠EDB=∠ADB=45°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF=BF，
∴DF-DE=BF-BC，
即EF=CF，
在直角三角形DCF中，∠EDC=30°，
设EF=CF=x，则CD=2x，
∴，
∴，
∵；
故选择：A.
【点拨】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，30°角所对直角边等于斜边的一半，以及勾股定理，解题的关键是根据题意找出边的关系，以及角的关系，掌握底边相等的三角形，面积比等于高之比.
3．D
【解析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．
解： A、根据题意可知∠EAC=135°，∠EAD=360°-∠EAC-∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，正确；
B、根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°-∠BAD-∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，正确．
C、根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，正确；
D、因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，错误；
故选D．
此题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
4．D
【分析】由折叠可得∠CGD=90°=∠BCG，即可得到∠DCG=25°，由折叠可得∠GCF=2×25°=50°，即可得到∠BCF=40°．
【详解】
解：如图：

由折叠可得，∠CGD=90°=∠BCG，
又∵∠D=∠B=65°，
∴∠DCG=90°∠D=25°，
由折叠可得，∠GCF=2×25°=50°，
∴∠BCF=90°∠GCF=40°，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．B
【分析】先根据平行四边形的性质求出∠D的度数，再根据三角形的内角和定理和平角定义求出∠AED和∠AEF的度数，再由折叠性质得∠=∠AED，进一步计算即可解答．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=55°，
∵∠DAE=20°，
∴∠AED=180°﹣∠DAE﹣∠D=180°﹣20°﹣55°=105°，
∠AEF=180°﹣∠AED=180°-105°=75°，
由折叠性质得：∠=∠AED=105°，
∴=∠﹣∠AEF=105°﹣75°=30°，
故选：B．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的内角和定理、平角定义、折叠性质，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解答的关键．
6．B
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，
∴∠FED′=108°-72°=36°；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
7．C
【解析】设AE与BC交于O点，O点是BC的中点．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．AB∥CD，
又由折叠的性质推知∠D=∠E，CE=CD
∴∠B=∠E．CE=AB
∴△ABO和△ECO中
，
所以△ABO≌△CEO（AAS），所以AO=CO=4，OE=OB=4．
∴AE=AD=8．
∴△AED为等腰三角形，又C为底边中点，故三线合一可知∠ACE=90°，
从而由勾股定理求得AC=．
平行四边形ABCD的面积=AC×CD=12．
故选：C．

8．A
【分析】如图，由折叠可得∠CED=90°=∠BCE，即可得到∠DCE=15°，由折叠可得∠DCF=2×15°=30°，即可得到∠BCF=60°．
【详解】
如图，

解：由折叠可得，∠CED=90°=∠BCE，
又∵∠D=∠B=75°，
∴∠DCE=15°，
由折叠可得，∠DCF=2×15°=30°，
∴∠BCF=60°．
故选A．
【点拨】本题考查折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9．B
【分析】根据平行四边形以及折叠的性质即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
又∠DAE=20°
∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=106°
根据折叠可得：
又∠AEF=180°-∠AED=74°
∴
故答案选择B．
【点拨】本题考查的是平行四边形的综合，涉及到了折叠的性质、三角形的内角和以及平角的性质，难度适中．
10．B
【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
解：四边形ABCD是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED'是解决问题的关键．
11．D
【解析】
【分析】根据折叠重合图形全等，已经平行四边形的性质，可以求证①②均正确.
解：折叠后点落在边上的点处
，
又平行四边形 中，
，
又平行四边形 中，
， 是平行四边形，.故选D.
【点拨】本题综合考查全等三角形的性质、平行四边形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定.
12．C
【解析】
【分析】根据平行四边形ABCD，可得∠B=∠D，再根据折叠可得∠D=∠NMA，再利用等量代换可得∠B=∠NMA，然后根据平行线的判定方法可得MN∥BC；首先证明四边形AMND是平行四边形，则BM=CN，AD=BC，再根据折叠可得AM=DA，则四边形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM．由以上可做出选择．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵根据折叠可得∠D=∠NMA，
∴∠B=∠NMA，
∴MN∥BC；故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DN∥AM，AD∥BC，
∵MN∥BC，
∴AD∥MN，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴BM=CN，AD=BC，
根据折叠可得AM=DA，
∴四边形AMND为菱形，
∴MN=AM；故B、D正确；
故选C．
【点拨】本题考查翻折变换，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是找准折叠以后哪些线段是对应相等的，哪些角是对应相等的．
13．②④
【分析】根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解．
解：∵将平行四边形纸片折叠，使点与点重合
∴根据翻折的性质可知，
∴，，
∴在和中，
∴，
∴
∴（故②正确）
∴（故③错误）
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵，
∴
∴（故④正确）
∵折痕与对角线没有重合，
∴对角线和不垂直
∴不是菱形
∴
∴
∴（故①错误）．
故答案是：②④
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
14．2
【解析】
【分析】根据翻折变换，可知△ONC≌△AOM，且是Rt△，在△ONC中解得NO即可得
【详解】
根据翻折变换，可知△ONC≌△AOM，且是Rt△，
∵AC= ，∠CAB=30°，
∴在Rt△ONC，
解得ON=1，
∴M N=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，解题的关键是要注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.
15． 或
【分析】①根据，点的坐标为，，四边形平行四边形，得到，，设，则由得，，则利用，， 即可得，即可得出结果；
②分两种情况讨论（1）当点在线段之间时，（2）当点在射线上时，分别进行求解即可．
解：①∵，点的坐标为，，
∴，，
又∵四边形平行四边形，
∴，
∴
设，则由，
∴，
∴在中，，
则有：①，
②，
即可得：，
∴，
∴；
②把沿着进行折叠，折叠后得图形是
（1）如图示，当点在线段之间时，交于点，

∵折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的，
即，
∴
即把分成了面积相等得两部分，
∴是的中线，
∴
又∵四边形平行四边形，，
∴，
∵折叠得到 ，
∴，
∴
∴是等腰三角形，
∴
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
即有，
∴，
∴；
（2）如图示，当点在射线上时，交于点，

∵折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的，
即，
∴
即把分成了面积相等得两部分，
∴是的中线，
∴，
又∵四边形平行四边形，，
∴，
∵折叠得到 ，
∴，，
∴
∴是等腰三角形，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
即有，
∴
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，中线的性质，等腰三角形，等边三角形的判定等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
16．
【分析】根据平行四边形的性质得，得，根据折叠的性质得，根据平角的性质即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵将四边形CDMN沿线段MN折叠，得到四边形QPMN
∴
∴
故答案为．
【点拨】本题考察了平行四边形的性质，平行线的性质，和利用平角求解未知角的度数；其中两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
17．45.
【解析】
试题分析：利用翻折和平角定义易得组成∠AEF的两个角的和等于平角的一半，得出∠AEF=90°，再利用将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，得出∠AEG=∠GEA′进而得出答案．
试题解析：根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，
∴∠AEB=∠AEB′，∠CEF=∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°，
∴∠AEB′+∠C′EF=90°，
∵点E，B′，C′在同一直线上，
∴∠AEF=90°，
∵将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，
∴∠AEG=∠GEA′=∠AEF=45°
考点：翻折变换（折叠问题）．
18．108°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG= ∠1=24°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBG，
由折叠可得∠ADB＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠BDG，
又∵∠1＝∠BDG+∠DBG＝48°，
∴∠ADB＝∠BDG＝24°，
又∵∠2＝48°，
∴△ABD中，∠A＝108°，
∴∠A'＝∠A＝108°，
故答案为108°
【点拨】此题考查平行四边形的性质和折叠问题，解题关键在于利用折叠性质进行解答
19．
解： 四边形 是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，
，
．
20．105°.
【详解】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG=∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBG，
由折叠可得∠ADB=∠BDG，∴∠DBG=∠BDG，
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，∴∠ADB=∠BDG=25°，
又∵∠2=50°，∴△ABD中，∠A=105°，∴∠A'=∠A=105°，
故答案为105°．
考点：平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理.
21．25º
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质可得AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，即可求解．
解：∵将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，
∴AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，
∴∠1＝∠ADG＝50°，且∠ADG＝∠BDA+∠BDG，
∴∠BDA＝25°，
故答案为：25°．
【点拨】本题考查了翻折变换，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．
22．66°
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=42°，又由折叠的性质得：∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°，再由三角形的外角性质得∠AEF=∠D+∠DAE =57°，然后由三角形内角和定理可得∠AED'=108°，最后由角的和差即可解答．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=42°，
又∵∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°(折叠的性质)
∴∠AEF=∠D+∠DAE=42°+15°=57°，
∴∠AED'=180°-∠EAD'-∠D'=123°，
∴∠FED'=123°-57°=66°．
故答案为66°．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
23．6.
【分析】先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得AF=AB=3，EF=BE，从而可求出的周长.
解：∵四边形是平行四边形，
∴BC=AD=5,
∵，
∴AC= ==4
∵沿折叠得到，
∴AF=AB=3，EF=BE，
∴的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF
=BC+AC-AF
=5+4-3=6
故答案为6.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，运用转化思想是解题的关键.
24．
【分析】作CM⊥AB于M，由平行四边形的性质得出BC=AD=，BC∥AD，得出∠CBM=∠A=45°，利用勾股定理求出BM、CM，设AE=CE=，则BE=，EM=，根据勾股定理得出方程，解方程即可求出AE的长．
解：作CM⊥AB于M，如图所示：

则∠M=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=，BC∥AD，
∴∠CBM=∠A=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得：，即，
∴BM=CM=4，
由折叠的性质得：AE=CE，
设AE=CE=，则BE=，EM=BE+BM=，
∵，即，
解得：．
即AE．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25．114
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B，再根据平行四边形的性质求出∠D即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°，
∴∠D＝∠B＝114°.
故答案为：114.
【点拨】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，题中由折叠得到∠BAC＝∠B′AC，从而得到∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC是解题的关键.
26．（1）详见解析；（2）30°；（3）45°.
【分析】（1）利用面积法解决问题即可．
（2）分别求出∠BAD，∠BAB′，∠DAD′即可解决问题．
（3）如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，AC．想办法证明E，H，G，C四点共圆，可得∠EGC＝∠EHC＝45°．
【详解】
（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠BAD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝∠D＝70°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD．
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF＝20°，
由翻折变换的性质可知：∠BAB′＝2∠BAE＝40°，∠DAD′＝2∠DAF＝40°，
∴∠B′AD′＝110°﹣80°＝30°．
（3）解：如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，AC．

∵EA＝EC，∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠AEC+∠AFC＝180°，
∴A，B，C，F四点共圆，
∴∠AFE＝∠ACE＝45°，
∵四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG，AE＝FG，
∴∠AFE＝∠FEG＝45°，
∴EH＝AE＝FG，EH∥FG，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∴EF∥HG，
∴∠FEG＝∠EGH＝45°
∵EC＝AE＝EH，∠CEH＝90°，
∴∠ECH＝∠EHC＝45°，
∴∠ECH＝∠EGH，
∴E，H，G，C四点共圆，∠EGC＝∠EHC＝45°．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，翻折变换，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题．
27．（1）；（2）补全图形见解析；折痕的长为5或．
【分析】
（1）在Rt△ADE中，，，求得，再根据勾股定理即可求解；
（2）分点O在AB和AD两类讨论，当点在上时，可得是等边三角形.求得；点点O在AD上时，过点、分别作， ，
垂足分别为、， 连接，.求出，，，根据折叠性质，结合勾股定理，求出，进而求出，利用面积法即可求得．
解：(1)∵，， ，
∴.
∴.
∴.
（2）如图1所示，当点在上时，

∵， ，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴，， .
∴.
∵将平行四边形折叠，使点与点重合，
∴折痕垂直平分，即，
.
∵折痕与平行四边形的边交于点，
∴点与点重合.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴是等边三角形.
∴.
如图2所示，当点在上时，

过点、分别作， ，
垂足分别为、， 连接，.
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵， ，
∴.
∵在中， ，
∴.
∴，
.
∴在中，，
由折叠可知，，.
∴在中，，
即.
∴.
∴，，
∴.
∴四边形为矩形.
∴，
∵，
∴
∴.
综上所述，折痕的长为5或.
【点拨】
（1）见60°角一般转化为直角三角形或等边三角形解决问题；
（2）点在平行四边形的边上，要根据题意进行分类讨论求解．
28．（1）∠D'EF＝76°；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质可得：∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，根据平行线的性质有∠DEF＝∠EFB.等量代换得到∠D'EF＝∠EFB，在四边形中，根据四边形的内角和即可求解.
（2）过点E作EH⊥AB于点H，设AE＝x，根据平行线的性质有∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB，求出 根据中点的性质有根据勾股定理即可求解.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB.
∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，
∴∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，
∴∠D'EF＝∠EFB，
∵∠BGD′＝32°
∴∠D'GF＝148°
∵∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G＝360°，
，
∴∠D'EF＝76°；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，

设AE＝x，
∵AD∥BC，
∴∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB，
∴
∵点D'是AB中点，
∴
∵HE2+D'H2＝D'E2，
∴
∴x＝，
∴.
【点拨】考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等，综合性比较强，注意题目中辅助线是作法.
29．（1）证明过程见解析；（2）四边形的面积为30.
【分析】
（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；
（2）由可得BC=8，由折叠性质可设BE=EM=x，根据，可以求出x的值，进而求出四边形的面积.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，AD∥CB，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA
由翻折性质可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA
∴∠EAB=∠DCF
在△ABE和△CDF中

∴△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∴AF=CE
又AF∥CE
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）解：∵
∴BC=8
由翻折性质可知：BE=EM
可设BE=EM=x



且
即：
解得x=3
∴CE=BC-BE=8-3=5
∴
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行四边形以及直角三角形，是一个比较综合性的题目.
30．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据四边形是矩形，得；再根据折叠的性质，得到，，从而推导得，即可完成证明；
（2）根据勾股定理，计算得；设，则，，再根据勾股定理计算，即可得到答案．
（1）∵四边形是矩形
∴，
∴
由折叠的性质可得：，
又∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
（2）∵，，，
∴
由图形折叠可得：
∴
设，则，
∵
∴，即是直角三角形
∴由勾股定理得：
解得：
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形、矩形、轴对称、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、轴对称、勾股定理的性质，从而完成求解．
31．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠CBD，进而得出BE=DE．
（2）先用平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，进而得出∠ADB=∠CBD，再由折叠得出∠C'BD=∠CBD，进而得出∠C'BD=∠ADB，得出BE=DE，进而得出AE=CE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出AC'∥BD；
证明：（1）由折叠可知：
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴
（2）如图，

由（1）知BE=DE，
∴AE=C'E，
∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，
同理：∠ADB=90°-∠BED，
∵∠AEC'=∠BED，
∴∠DAC'=∠ADB，
∴AC'∥BD.
【点拨】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
32．（1）见解析（2）60°（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质，得到∠A=∠G，AD=DG，再根据轴对称的性质即可得到AE=FG，进而运用SAS判定△ADE≌△GDF；
（2）根据BD=AB，可得sinA=，进而得到∠A=30°，再根据DF=CF=FG，即可得到∠FDG=∠DGF=∠A=30°，即可得出∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；
（3）连接CG，根据BC=DG，BC∥DG，可得四边形BCGD是平行四边形，再根据∠CBD=90°，即可得到四边形BCGD是矩形．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，
由折叠可知，BC=DG，CF=FG，∠G=∠C，EF垂直平分BD，
∴∠A=∠G，AD=DG，
又∵AD⊥BD，
∴EF∥AD∥BC，
∴点E、F分别平分AB、CD，
∴AE=BE=AB=CD=CF=DF，
∴AE=FG，
∴△ADE≌△GDF；
（2）∵AE=BD，AE=BE=AB，
∴BD=AB，
∴sinA=，
∴∠A=30°，
∵DF=CF=FG，
∴∠FDG=∠DGF=∠A=30°，
∴∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°； 
（3）如图，连接CG．

由折叠可知，BC=DG，BC∥DG，
∴四边形BCGD是平行四边形，
∵AD⊥BD，AD∥BC，
∴BC⊥BD，
∴∠CBD=90°，
∴四边形BCGD是矩形．
【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定以及矩形的判定，解题时注意：有一个角为直角的平行四边形是矩形．
33．见解析
【分析】由折叠的性质得到∠1＝∠2，AF＝EFC．根据平行四边形的性质得到AD∥BC．由平行线的性质得到∠3＝∠2．根据等腰三角形的性质得到AE＝FC．即可得到结论
证明：如图，∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠1＝∠2，AF＝FC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝∠3．
∴AE＝AF．
∴AE＝FC．
又∵AE∥FC，
∴四边形AFCE是平行四边形．

【点拨】
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
34．（1）证明见解析;（2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形,理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）由题意,∠B1FE=∠FEB,结合∠B1FE=∠BFE,得BE=BF,同理可得FG=BF,即BE=FG,结合BE∥FG,得到四边形BEFG是平行四边形;
（2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形,由∠B1FE=60°,得∠BFE=∠BEF=60°,得到△BEF为等边三角形,即BE=EF,结合四边形BEFG是平行四边形,即可证得．
试题解析：（1）∵A1D1∥B1C1,
∴∠B1FE=∠FEB．
又∵∠B1FE=∠BFE,
∴∠FEB=∠BFE．
∴BE=BF．
同理可得：FG=BF．
∴BE=FG,
又∵BE∥FG,
∴四边形BEFG是平行四边形;
（2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形．
理由如下：
∵∠B1FE=60°,
∴∠BFE=∠BEF=60°,
∴△BEF为等边三角形,即BE=EF．
∵四边形BEFG是平行四边形,BE=EF．
∴四边形BEFG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
考点：1.翻折变换（折叠问题）,2.平行四边形的判定,3.菱形的判定,4.矩形的性质．
35．（1）证明见解析；（2）面积为30，距离为．
【分析】
（1）根据矩形的性质可得从而得出，然后根据折叠的性质可得，从而证出然后根据平行四边形的定义即可证出结论；
（2）根据勾股定理即可求出BC，从而求出CM，设，然后利用勾股定理列出方程即可求出CE和BE，然后根据平行四边形的面积公式即可求出面积，然后根据勾股定理求出AE，再根据平行四边形的面积公式即可求出与之间的距离．
证明：四边形是矩形


由折叠的性质可得，
又


四边形是平行四边形．
在中，
则根据勾股定理得：．

．
设，则
在中，利用勾股定理可得
即，
解得
∴CE=5，BE=3
故四边形的面积．
在中，由勾股定理得，
设与之间的距离为
则，
即，

【点拨】此题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定及性质和勾股定理，掌握矩形的性质、平行四边形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
36．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）根据折叠的性质可证∠CDB =∠EDB，由平行四边形的性质，可证∠CDB =∠EBD，等量代换可证得结论；
（2）根据（1）结论可知DE=BE，然后由平行四边形的对边相等和等量代换，可知AE=EF，从而根据等边对等角可得∠EAF=∠EFA，再由三角形的内角和得出∠EDB= ∠EFA，因此可证得AF∥BD（或由AB与BD互相平分证得四边形ADBF是平行四边形）.
【详解】（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB
∴∠CDB =∠EBD
∴∠EDB=∠EBD
（2）∵∠EDB=∠EBD
∴DE=BE
由折叠可知：DC=DF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB
∴AE=EF
∴∠EAF=∠EFA
△BED中,∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°
即2∠EDB+∠DEB=180°
同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°
∵∠DEB=∠AEF
∴∠EDB= ∠EFA
∴AF∥BD
考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和

37．（1）详见解析；（2）四边形是菱形，理由详见解析.
【分析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形与折叠性质，易得AB=AG，∠BAE=∠GAF，∠BEA=∠EAF=∠GFA，则可利用AAS判定：△ABE≌△AGF；（2）由（1）易证得EC=AE=AF，又由AF∥EC，即可判定四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠的性质得：，，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
在和中，
，
∴；
四边形是菱形，
理由：由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴是菱形．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用是解题关键．
38．（1）85或95或5；（2）；（3）或9
【分析】（1）根据点P在线段AD上或AD的延长线上和点与AD的位置关系分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质即可求出结论；
（2）根据平行四边形的性质可推出，从而得出，作于，根据锐角三角函数和勾股定理求出AH和BH，利用锐角三角函数求出PH，即可求出结论；
（3）分点落在AD、BC、CD和AB上讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质、锐角三角函数和勾股定理即可分别求出结论．
解：（1）①当点P在线段AD上，且点在直线AD右侧时，如下图所示

由折叠的性质可得；
②当点P在线段AD上，且点在直线AD左侧时，如下图所示

由折叠的性质可得；
③当点P在线段AD的延长线上时，如下图所示

由折叠的性质可得
综上：=85°或95°或5°
故答案为：85或95或5；
（2）在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于，如下图，

∴，
∴设，，
∴，
∴，
∴，．
在中，，
∴，
∴．
（3）①当点在上时，如下图，

∵，
∴，
∴，且，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴；
②当在上时，如下图

由折叠可知，，，，
又∵，
∴，
∴．
∴，
∴四边形为菱形，
∴；
③当在CD上时，如下图，过点D作DM⊥AB于M，过点B作BN⊥CD于N

∴DM=BN，
∵
设，，
∴，
解得：x=1
∴BN=DM=12
∵在CD上
∴≥BN=12＞BA
∴此种情况不存在；
④当在AB上时，如下图，根据折叠的性质可得点与点A关于PB对称，即点在AB的延长线上，不符合题意．

综上：当点落在平行四边形的边上时，或9；
【点拨】此题考查的是平行四边形的性质、菱形的判定及性质、折叠的性质、锐角三角函数和勾股定理，此题难度较大，掌握平行四边形的性质、菱形的判定及性质、折叠的性质、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．
39．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到，由折叠可得，，即可得到；
(2)依据平行四边形的性质，即可得出，，由折叠可得，，，即可得到，，进而得出．
解：(1)四边形是平行四边形，
，
由折叠可得， ，
，
，
；
(2)四边形是平行四边形，
，，
由折叠可得，，，
，，
又，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.
40．见解析
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到，证明，根据平行四边形的定义证明即可；
证明，得到，根据菱形的判定定理判断即可；
根据平行线的性质得到，根据折叠的性质、角平分线的定义得到，根据勾股定理证明．
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
由折叠的性质可知，，
，
，又，
四边形是平行四边形；
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：菱形；
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的判定，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
41．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
证明 ：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴CE ∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；

（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出四边形DAD′E是平行四边形是解题关键．