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专题18.2 平行四边形的性质(专项练习)-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
展开1.如图,已知在中,,则( )
A.18°B.36°C.45°D.72°
2.下面关于平行四边形的说法不正确的是( )
A.对边平行且相等B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分D.每条对角线平分一组对角
3.如图,在□ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则□ABCD的周长是( )
A.16B.14C.20D.24
4.如图,中,AC.BD为对角线,BC=3,BC边上的高为2,则阴影部分的面积为( )
A.3B.6C.12D.24
5.如图,在▱ABCD中,AC、BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( )
A.3B.6C.12D.24
6.在▱ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为( )
A.3B.5C.2或3D.3或5
7.如图,在平行四边形ABCD中,AB=a,BC=b,AB边上的高为c,BC边上的高为d,则下列式子成立的是( )
A.a:c=b:dB.a:b=c:dC.ab=cdD.ac=bd
8.如图,平行四边形中,已知,,,则的长为( )
A.B.C.D.
9.已知四边形是平行四边形,则下列各图中与一定不相等的是( )
A.B.C.D.
10.已知平行四边形,对角线、,则该平行四边形四条边中最长边a的取值范围是( )
A.B.C.D.
11.如图,在中,,,按以下步骤作图:①以点为圆心,以长为半径作弧,交于点;②分别以点,为圆心,以长为半径作弧,两弧相交于点,作射线交于点,则的长为( )
A.3B.C.4D.
12.如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是( )
A.8B.9C.10D.11
13.在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,∠B=60°,AC=2cm,则平行四边形ABCD的周长是( )
A.10cmB.11cmC.12cmD.13cm
14.如图,在平行四边形中,点是对角线的中点,过点作线段,使点,点分别在边,上(不与四边形顶点重合),连结,.设,下列结论:①若,则;②若,则与面积相等;③若,则.其中正确的是( )
A.①B.②C.③D.②③
15.如图,在中,,,,依据尺规作图的痕迹,则的面积为( )
A.12 B. C. D.
二、填空题
16.在中,,它的周长是32,则______.
17.已知平行四边形的面积是,其中一边的长是,则这边上的高是_____cm.
18.如图,平行四边形ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在边CD上的点F处,若△DEF的周长为8,△CBF的周长为18,则FC的长为_____.
19.如图,已知四边形平行四边形,通过测量、计算得四边形 的面积约为__________(结果保留一位小数)
20.如图,平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,且 AB≠AD,过 O 作 OE⊥BD 交 BC 于点 E.若△CDE 的周长为 10,则平行四边形 ABCD 的周长为__________.
21.如图,在平行四边形ABCD中,,CE平分交AD边于点E,且,则BC的长为__________.
22.如图,将沿着对角线折叠,使得点落在点处,若,则__________.
23.如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,AC⊥BC,且AB=10cm,AD=6cm,则AO= ________ cm.
24.平行四边形的两条对角线长分别是6cm和10cm,若平行四边形的一边长为x.则x的取值范围是___.
25.如图,平行四边形中,点在边上,以为折痕,将向上翻折,点正好落在上的点,若的周长为10,的周长为22,则的长为_________.
三、解答题
26.如图,在▱ABCD中,CF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,且CF=DE.
求证:BF=CE.
27.在数学拓展课上,小聪发现:若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形,P是其中4个小正方形的公共顶点,请你在小聪的启发下,经过点P画一条直线,把图分成面积相等的两部分.画出直线,保留画图痕迹
28.如图,在平行四边形中,是对角线的中点,过点作交于点,过点作交、于点、.
(1)如图1,若,,求平行四边形的面积:
(2)如图2,若,求证:.
参考答案
1.B
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠A=∠C,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠B=4∠A,
∴∠C=∠A=×180°=36°.
故选:B.
2.D
解:由平行四边形的性质可知:
①边:平行四边形的对边相等.
②角:平行四边形的对角相等.
③对角线:平行四边形的对角线互相平分,
所以选项中的D是错误的.
故选:D.
3.C
【解析】 根据角平分线的定义以及两直线平行,内错角相等求出∠CDE=∠CED,再根据等角对等边的性质可得CE=CD,然后利用平行四边形对边相等求出CE=4的长度,再求出ABCD的周长=2×(AB+AD)=20.
故选C
4.A
解:如图,标注字母,
∵中,AC.BD为对角线,BC=3,BC边上的高为2,
∴,AD∥BC, OA=OC,
∠OAE=∠OCF,
在和中,
,
∴(ASA),
∴,
同理:
故选:A.
5.B
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∴,
故选:B.
6.D
解:
①如图1在▱ABCD中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,
∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,
∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,
∴AB=BE,CF=CD,
∵EF=2,
∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8,
∴AB=5;
②如图2在▱ABCD中,
∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,
∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,
∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,
∴AB=BE,CF=CD,
∵EF=2,
∴BC=BE+CF=2AB+EF=8,
∴AB=3;
综上所述:AB的长为3或5.
7.D
解:因为平行四边形a边上的高为b,c边上的高为d,所以ac=bd,
A、由a:c=b:d,得bc=ad,
与题意ac=bd不符,此选项错误;
B、由a: b=c: d ,得bc=ad,
与题意ac=bd不符,此选项错误;
C、ab=cd,与题意ac=bd不符,此选项错误;
D、ac=bd,符合题意,
故选:D.
8.C
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,
∵∠AOB=90°,
∴∠AOD=180°-∠AOB=90°,
∵
∴
∴BD=2OD=6cm.
故选:C.
9.C
解:A正确;
∵∠1和∠2是对顶角,
∴∠1=∠2;
B、D正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,AB∥CD,
∴∠1=∠2;
C不正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠1=∠BCE,
∵∠2=∠CBE+∠BCE,
∴∠2=∠CBE+∠1,
∴∠2>∠1,即一定不相等;
故选:C.
10.B
解:如图所示:四边形ABCD是平行四边形,AD>AB,
,,
在△AOD中,由三角形的三边关系得:4-3<AD<4+3,
∴1<AD<7,
当四边相等时易得边长为5,
∴5≤AD<7.
故选:B.
11.D
【详解】
根据题意描述,CG垂直平分线段DF,即∠BEC=90°,
∵,四边形为平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC=6
∴∠EBC=30°,
∴在Rt△BEC中,,
∴,
故选:D.
12.C
【详解】
∵四边形是平行四边形,
∴,
又∵,
∴,
又∵,,
在中,根据勾股定理可得,
∴.
故选:C.
13.C
【详解】
如图:
设,则
在中,由勾股定理可得:
平行四边形ABCD周长为:
故选:C.
14.B
解:∵四边形是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO,
∵点是对角线的中点,
∴BO=DO,
∴△DEO≌△BFO(AAS),
∴DE=BF,
∵,
∴,分别是,的中点,
∴,故①错;
连接EC,如图所示:
∵,
∴的面积=,
∵点O是EF的中点,
∴的面积=,所以与面积相等,故②对;
若⊥成立,则必须,因为前提≌,,得不到,故③错;
故选B.
15.C
【详解】
设尺规作图所得直线与AB交于F点,根据题意可得EF为AB的中垂线,
∴AE=BE,
又∵,
∴△ABE为等边三角形,边长AB=CD=4,
∴BF=2,BE=4,,
∴在BC边上的高为,
又∵,BE=4,
∴EC=2,BC=2+4=6,
∴=×6=,
故选:C.
16.10
解:设
由题意得, 解得
所以BC=10.
故答案为10.
17.
【详解】
设这条边上的高是h,
由题意知,,
解得:,
故填:.
18.5
解:根据题意得△FBE≌△ABE,
∴EF=AE,BF=AB.
∵平行四边形ABCD,
∴AD=BC,AB=DC.
∵△FDE的周长为8,即DF+DE+EF=8,
∴DF+DE+AE=8,即DF+AD=8.
∵△FCB的周长为18,即FC+BC+BF=18,
∴FC+AD+DC=18,即2FC+AD+DF=18.
∴2FC+8=18,
∴FC=5.
故答案为5.
19.
解:如图所示,过点A作AE⊥DC,交CD的延长线于点E,
经测量AE≈1.7cm,DC≈1.8cm,
S▱ABCD=AE•DC=1.7×1.8≈3.1(cm2),
故答案为:3.1.
20.20
【详解】
∵平行四边形ABCD,∴ ;
又∵ ∴OE垂直平分BD,则(垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
∵ 的周长为 10,
∴
则平行四边形 ABCD 的周长=.
21.7
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD=5,AD∥BC,AD=BC,
∴∠DEC=∠BCE,
∵CE平分∠BCD,
∴∠DCE=∠BCE,
∴∠DEC=∠DCE,
∴DE=DC=5,
∵AE=2,
∴AD=BC=2+5=7,
故答案为:7.
22.105°
解:∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBG,
由折叠可得∠ADB=∠BDG,
∴∠DBG=∠BDG,
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°,
∴∠ADB=∠BDG=25°,
又∵∠2=50°,
∴△ABD中,∠A=105°,
∴∠A'=∠A=105°,
故答案为:105°.
23.4
解:在中
,,
,
,
,
;
故答案为:4.
24.<<.
解:如图,平行四边形中,设
设
在中有:
<<,
<<,
故答案为:<<.
25.6
【详解】由折叠的性质知,,,∵的周长为10,∴,∵的周长为22,∴,∵,,∴解得.
故答案为:6.
26.见解析
【详解】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠B=∠DCE,
又∵CF⊥AB,DE⊥BC,
∴∠BFC=∠E=90°,
在△BCF和△CDE中,
,
∴△BCF≌△CDE(AAS),
∴BF=CE.
27.图见解析
【详解】如图所示:
.
沿着经过P、Q的直线把图形剪成面积相等的两部分.
【点拨】本题考查了作图,平行四边形的性质:若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积,正确理解性质并应用是解题的关键.
28.(1)30;(2)见解析.
解:(1)连接BD,
∵平行四边形ABCD,
∴BD过点O,
∴S△OBC=BC•OE=×5×3=,
∴平行四边形ABCD的面积=4S△OBC=30;
(2)过点E作EH⊥EG,与GC的延长线交于点H,如图2,
∵OE⊥BC,
∴∠OEG+∠OEC=∠GEC+∠CEH=90°,
∴∠OEG=∠CEH,
∵∠ACB=45°,
∴∠COE=45°,
∴OE=CE,
∵平行四边形ABCD中,AB∥CD,
又FG⊥AB,
∴FG⊥CD,
∴∠EOG+∠ECG=360°-90°-90°=180°,
∵∠ECH+∠ECG=180°,
∴∠EOG=∠ECH,
∴△OEG≌△CEH(ASA),
∴OG=CH,EG=EH,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠OAF=∠OCG,
∵∠AOF=∠COG,
∴△OAF≌△OCG(ASA),
∴AF=CG,OF=OG,
∵CG+CH=GH,
∴AF+OF=GH,
∵∠GEH=90°,EG=EH,
∴GH=EG,
∴AF+OF=EG.
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