2022届山东省菏泽市高三上学期期末考试数学试题含答案

  2021—2022 学年度第一学期期末考试

高三数学试题(B)

本试卷共 4 页， 分第 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分， 共 150 分， 考试时 间 120 分钟．
 

第 I 卷
 

注意事项：

1. 答第 卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑． 如需改动， 用橡皮 擦干净后， 再改涂在其它答案标号．

一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的．

1. 已知集合 ， 则
   A．
   B．
   C．
   D．
2. 已知 则
   A． 0
   B． 2
   C． 4
   D． 6
3. 已知 ， 则 的值等于
   A．
   B．
   C．
   D．
4. 若双曲线 的实轴长为 2 ， 则其渐近线方程为
   A．
   B．
   C．
   D．
5. 若函数 的图象在点 处的切线方程为 ， 则实数
   A．
   B． 1
   C．
   D． 2
6. 函数 是定义在 上的偶函数， 且 ， 若 ， 则
   A． 0
   B． 1
   C． 2
   D． 4
7. 设数列 的前 项和为 ， 若 为常数， 则称数列 为 “吉祥数列” ． 已知等差数列 的首项为 2 ， 且公差不为 0 ， 若数列 为 “吉祥数列”， 则数列 的通项公式为
   A．
   B．
   C．
   D．
8. 我国古代《九章算术》里记载了一个求 “羡除” 体积的例子， 羡除， 隧道也， 其所穿 地， 上平下邪． 小明仿制美除裁剪出如图所示的纸片， 在等腰梯形 中， ， ， 在等腰梯形 中， ． 将等腰梯形 沿 折起， 使平面 平面 ， 则五面体 中异面直线 与 所成角的大 小为

A．
B．
C．
D．

二、多项选择题： 本大题共 4 个小题， 每小题 5 分， 共 20 分， 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求． 全部选对的得 5 分， 选对但不全的得 2 分， 有选错的的 0 分．

9. 已知 ， 则下列各式成立的是
   A．
   B．
   C．
   D．
10. 如图， 顺次连接正五边形 的不相邻的顶点， 得到五角星形状， 则以下说法正确的是

A．
B．
C．
D．

11. 在 中， 角 所对的边分别为 ， 且 ， 将 分别绕边 ， 所在的直线旋转一周， 形成的几何体的体积分别记为，侧面积分别记为则

A．

B．

C．
D．

12. 已知函数 的图象如图所示， 令 ， 则下列说法正确的是

A．
B． 函数 图象的对称轴方程为
C． 若函数 的两个不同零点分别为 ， 则 的最小值为
D． 函数 的图象上存在点 ， 使得在 点处的切线斜率为

第II卷

本卷为必考题．第13~ 16题为填空题，第17~22题为解答题，每个试题考生都必须作答．

三、填空题： 本大题共 4 个小题， 每小题 5 分， 共 20 分．
 

13. 不等式 的解集为________．
     
14. 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题： “今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩二， 七七数之剩二． 问物几何? "这里的几何指多少的意思． 翻译成数学语言就是： 求正整数 ， 使 除以 3 余 2 ， 除以 5 余 2 ． 根据这一数学思想， 今有由小到大排 列的所有正整数数列 满足被 3 除余 满足被 5 除余 2 ， ， 把数列 与 相同的项从小到大组成一个新数列记为 ， 则 ________．
     
15. 三棱锥 的各顶点都在同一球面上， 底面 ， 若 ， 且 ， 此球的表面积等于________．
     
16. 已知抛物线 的焦点为 ， 直线 与 交于 两点， 以 为直径 的圆过焦点 ， 线段 的中点为 ， 过点 作抛物线 的准线的垂线， 垂足为 ， 则 的最大值为________．

四、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
 

17. (10 分)
    已知 的内角 的对边分别为 ．
    (1) 证明： ；
    (2) 点 在边 上， ， 求 ．
18. (12 分)
    在等差数列 中， 已知 ．
    (1) 求数列 的通项公式；
    (2) 若 ， 求数列 的前 项和 ．
19. （12 分）
    已知圆 经过两点 ， 且圆心 在 轴上．
    （1）求圆的标准方程；
    (2) 已知直线 与直线 垂直， 且与圆 相交所得弦长为 ， 求直线 的方程．
20. (12 分)
    如图， 三棱锥 中， ， ．

(1) 求证： 平面 平面 ；
(2) 若点 是 上的动点， 试求 的长， 使得二面角 的大小为 ．

21. (12 分)
    已知椭圆 的离心率为 是椭圆的右焦点， 点 ， 直线 的斜率为 为坐标原点．
    (1) 求 的方程；
    (2) 设过点 的直线 与 相交于 两点， 求 的面积的最大值．
22. （12 分）
    已知函数 ．
    （1）求函数 的单调区间；
    (2) 若对任意的 ， 都有 成立， 求 的取值范围．