山东省菏泽市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

山东省菏泽市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知复数，则复数z共轭复数的虚部为(   )

A.-1 B.1 C. D.

2、高一､1班有学生54人，高一､2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成方队，进行会操比赛，则高一､1班和高一､2班分别被抽取的人数是(   )

A.9､7 B.15､1 C.8､8 D.12､4

3、甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是(   )

A.两人都做对的概率是0.72 B.恰好有一人做对的概率是0.26

C.两人都做错的概率是0.15 D.至少有一人做对的概率是0.98

4、已知向量，，若，则(   )

A.-1 B.1 C. D.

5、紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为(   )

A. B. C. D.

6、甲，乙两个车间生产同一种产品，为保证产品质量，现从两车间抽取100件产品进行检验.采取以下方法抽取：从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，如果抽到两球颜色相同就从甲车间抽取一件产品，如果两球颜色不同就从乙车间抽取一件产品，两车间分别抽取的产品数最接近的是(   )

A.甲车间30件，乙车间70件 B.甲车间70件，乙车间30件

C.甲车间59件，乙车间41件 D.甲车间41件，乙车间59件

7、在中，角A､B､C对边分别为a､b､c，且，当，时，的面积是(   )

A. B. C. D.

8、某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，进行满意度调查，得到以下数据表格（单位：人次），则下列说法正确的是(   )

A.满意度为0.5

B.不满意度为0.1

C.三种年龄层次的人群中，青年人更倾向于选择自助餐

D.从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是0.1

二、多项选择题

9、某学校有1000名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了100名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有(   )

A.频率分布直方图中a的值为0.005

B.估计这100名学生成绩的中位数约为77

C.估计这100名学生成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在内的学生人数为160

10、已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有(   )

A.面积的最大值为

B.

C.周长的最大值为6

D.的取值范围为

11、如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则(   )

A. B.

C.  D.

12、如图1所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，E、F、M分别为BC、CD、BE的中点，分别沿AE、AF及EF所在直线把、和折起，使B、C、D三点重合于点P，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论中正确的有(   )

A.四面体PAEF中互相垂直的棱有3对

B.三棱锥体积为

C.AM与平面PEF所成角的正切值为4

D.过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为

三、填空题

13、复数在复平面内对应的点在第一､三象限的角平分线上，则实数___________.

14、中，，，则此三角形的外接圆半径是___________.

15、已知样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，则___________；若要使该样本的方差最小，则___________.

16、如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，有以下结论：

（1）直线AB与CD所成角的大小为 ；

（2）二面角的大小为 ；

（3）三棱锥的体积为；

（4）直线CD与平面所成角的正弦值为.

则正确结论的序号为___________.

四、解答题

17、如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A､B的任意一点，且.求证：

（1）平面平面PBC；

（2）当点C（不与A､B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围.

18、第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.

（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；

（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.

19、如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：

（1）；

（2）船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.

20、如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.

（1）若F为PA的中点，求证平面PCD

（2）求证平面PCD.

21、如图，在中，已知，，，且.求.

22、如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.

（1）过A､E､F三点作该正三棱柱的截面，求截面图形的周长；

（2）求与平面AEF所成角的正弦值.

参考答案

1、答案：D

解析：，则，

故复数z共轭复数的虚部为.

故选：D.

2、答案：A

解析：由题意得高一､1班被抽取的人数为人，

高一､2班被抽取的人数人，

故选：A

3、答案：C

解析：由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，

故两人都做对的概率是 ，所以A 正确；

恰好有一人做对的概率是 ，故B正确；

两人都做错的概率是，故C错误；

至少有一人做对的概率是，故D正确，

故选：C

4、答案：B

解析：因为，

所以，解得.

故选：B

5、答案：B

解析：由题意得上底面半径为4，面积，

下底面半径为6，面积，圆台高h为6，

则圆台的体积.

故选：B

6、答案：D

解析：因为从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，抽到两球颜色相同的概率为，抽到两球颜色不同的概率为，

所以从两车间抽取100件产品进行检验，甲车间抽取产品数为件，乙车间抽取产品数为件，

所以两车间分别抽取的产品数最接近的是甲车间41件，乙车间59件，

故选：D.

7、答案：C

解析：对于，用正弦定理得：.

因为，且,所以.

由余弦定理得：,

解得：（舍去）.

所以的面积是.

故选：C

8、答案：D

解析：对A：满意度为，故选项A错误；

对B：不满意度为，故选项B错误；

对C：老年人选择自助餐的频率为，中年人选择自助餐的频率为，青年人选择自助餐的频率为，由，可得中年人更倾向于选择自助餐，故选项C错误；

对D：从点餐不满意的顾客中选取2人有种选法，其中两人都是中年人有种选法，所以从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是，故选项D正确.故选：D.

9、答案： AB

解析：对于A，由频率分布直方图可得，解得，所以A正确，

对于B，由频率分布直方图可知，前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则

，解得，所以B正确，

对于C，由频率分布直方图可知成绩在70到80的最多，所以众数为75，所以C错误，

对于D，由频率分布直方图可知成绩在的频率为，所以总体中成绩落在内的学生人数约为人，所以D错误，

故选：AB

10、答案： AC

解析：对于A，由余弦定理得：，解得：，

由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，

所以，故，故A正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，由余弦定理得：，解得：，

所以，当且仅当时，等号成立，

解得，当且仅当时，等号成立，

所以，周长，所以周长的最大值为6，故C正确；

 对于D，，

因为，所以，

所以，故D错误.

故选：AC.

11、答案： BCD

解析：对于A，，故选项A不正确；

对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确；

对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以

，

所以，，故选项C正确；

对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确.

故选：BCD.

12、答案： CD

解析：对于A选项，易知，，

翻折前，，，

翻折后，则有，，，

所以平面PEF, ，

因为是非直角的等腰三角形，所以，四面体PAEF中互相垂直的棱有4对，A错；

对于B选项，因为，，，，

PE、平面PEF，平面PEF，

M为PE的中点，则，

，B错；

对于C选项，因为平面PEF，AM与平面PEF所成角为，

在中，，C对；

对于D选项，将三棱锥补成长方体，

则三棱锥的外接球球心O为体对角线PN的中点，

且，即球O的半径为，

所以，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径设为r，

设球心O到截面圆的距离为d，则，

O、M分别为PN、PE的中点，则，

则，，则，

因此，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，D对.

故选：CD.

13、答案： 答案：7

解析：由题意得，

在复平面内对应的点为

因为该点在第一､三象限的角平分线上，

所以，解得.

故答案为：7

14、答案：

解析：由余弦定理得，

因为，所以，

设外接圆半径为R，由正弦定理得，解得

故答案：

15、答案： ①.21    ②.110

解析：因为样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，

所以，即；

所以样本平均数为，

要使样本方差最小，即最小，

又因为，

因为a,，

所以当或时，取得最小值，

又，

所以,或，

所以.

故答案为：21；110.

16、答案：（1）（2）（4）

解析：如图，在 内作,,交于E点，

则即为直线AB与CD所成角或其补角，

因为，，则,

故四边形AEDB为正方形，则 ,又，则 ,

而 ,故平面ACE,平面ACE,

故,又,故,

由于，故，故（1）正确；

由于,,故为二面角的平面角，

由以上分析可知,,

故 为正三角形，则，故（2）正确；

由于平面ACE,平面AEDB,故平面平面AEDB,

且平面平面,故作 ,垂足为H,

则平面AEDB，且，

所以,故（3）错误；

连接DH,由于平面AEDB，故为直线CD与平面所成角，

在中， ,故（4）正确，

故答案为：（1）（2）（4）

17、答案： （1）证明见解析   

（2）

解析：（1）因为PA垂直于所在的平面ABC，平面ABC，

所以，，

因为AB是的直径，

所以，

因为PA,平面PAC，

所以平面PAC，

因为平面PBC，

所以平面平面PBC

（2）因为平面PAC，平面PAC，

所以，又，

所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，

设，圆O的半径为R，

则，又，

所以，

因为，所以，

所以，

因为

所以，

所以平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围为

18、答案：（1）平均年龄43.5岁，第75百分位数为52.5   

（2）0.9

解析：（1）由题意得，解得，

所以100名志愿者的平均年龄为岁，

因为，

，

所以第75百分位数位于[50,60）内，设第75百分位数为x，

则，解得，

所以第75百分位数为52.5

（2）医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取人，设为A、B、C，

5人中选取3人组成综合组，情况可能为，，，，

，，，，共10种，

至少有1人来自医疗组的情况为，，，，，，，，共9种，

所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率

19、答案：（1）   

（2）

解析：（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为，

所以船只沿AB方向的速度为.

由，，根据勾股定理可得：,所以，即

由，得：，

所以.

（2）因为，所以，

即，解得：

即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为.

20、答案： （1）证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示

因为E、F分别为PD、PA中点，

所以，且，

又因为，且，

所以且，

所以四边形EFBC为平行四边形，

所以，

因为平面PCD，平面PCD，

所以平面PCD

（2）因为，F为PA中点，

所以，则，

因为，平面PCD，

所以平面PCD.

21、答案：

解析：由题意得，，，的夹角为，

，则，

又，所以，

故，同理

于是

，

，

，

.

22、答案：（1）   

（2）

解析：（1）延长AF与延长线交于点M，连接EM，交于点P，连接FP，

因为M在AF的延长线上，平面AEF，

所以平面AEF，

因为平面平面，平面平面，

所以过点A､E､F三点的截面为四边形AEPF，

因为，

所以，

所以，解得，

取中点N，连接EN，可得，

因为，

所以,

所以，解得，则，

在中，，

在中，，

在中，，

在中，，

所以，则，

所以四边形AEPF的周长为

（2）取AC中点O，连接OB，OF，

因为正三棱柱，F为的中点，

所以OA,OB,OF两两垂直，以O为原点，OA,OB,OF为x，y，z轴正方向建系，如图所示

所以，,,

所以，,

设平面AEF的法向量，

则，即，

令，则，所以，

设与平面AEF所成角为，

则，

所以与平面AEF所成角的正弦值为