（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型四 材料阅读型（原卷版+解析版）

类型四材料阅读型

1.平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量可以用点P的坐标表示为＝（m，n），已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），若x1·x2＋y1·y2＝0，则与互相垂直．

下列四组向量：①＝（3，－9），＝（1，－）；

②＝（2，π°），＝（，－1）；

③＝（cos30°，tan45°），＝（sin30°，tan45°）；

④＝（＋2，），＝（―2，）．

其中互相垂直的组有（     ）．

A．1组    B．2组    C．3组    D．4组

2.一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是(   )

A.原数与对应新数的差不可能等于零．

B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C.当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大

3.定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。

如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．

若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……

△An-1B n-1C n-1经γ（n，180°）变换后得△AnBnC，则点A1的坐标是________，点A2018的坐标是________。

4.对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：．若，则的值是           ．

5.阅读材料：若ab=n，则b=,称b为以a为底N的对数.例如23=8，则.根据材料填空：________.

6.对于任意大于0的实数x、y，满足：log2(x·y)= log2x+ log2y，若log22=1，则log216=          ．

7.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下:

对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}=，min{1，2，-3}=-3，

min(3，1，1}=1.请结合上述材料，解决下列问题:

 (1)①M{(-2)2，22，-22}=          ，

②min{sin30°，cos60°，tan45°}=           ；

（2）若min{3-2x，1+3x，-5}=-5，则x的取值范围为             ；

（3）若M{-2x，x2，3}=2，求x的值；

（4）如果M{2，1+x，2x}=min{2，1+x，2x}，求x的值.

8.阅读下面材料：

我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d计算．

例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．

解：∵y＝﹣2x+5

∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5

∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：

d

根据以上材料解答下列问题：

（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；

（2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．

9.阅读下面的材料:

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为,排在第二位的数称为第二项, 记为,依次类推，排在第位的数称为第项，记为.所以,数列的一般形式可以写成: ,,,…, ,….

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示. 如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中，,公差为.

根据以上材料，解答下列问题:

(1) 等差数列5，10，15，…的公差为             ，第5项是                ．

(2) 如果一个数列，，，…, …,是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：

 ,,,…,,….

所以

,

,

 ……

由此,请你填空完成等差数列的通项公式:(       ).

(3) 是不是等差数列…的项?如果是,是第几项?

10.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数

时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．

例如：426是“好数”，因为4,2,6都不为0，且4+2=6，6能被6整除;

    643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．

（1）判断312，675是否是“好数”?并说明理由；

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

11.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值.

【问题】解方程：

【提示】可以用“换元法”解方程.

解：设（t≥0），则有，

原方程可化为：

【续解】

12.阅读下面材料：

对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．

根据上面的材料回答下列问题：

（1）______；

（2）当时，求x的取值范围．

（1）﹣1 ；（2）x≥

13.知识背景

当a＞0且x＞0时，因为(-)2≥0，所以x-2＋≥0，从而x＋≥2（当x=时取等号）.

设函数y=x＋（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2.

应用举例

已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x==2时，y1+y2=x+有最小值为2=4.

解决问题

（1）已知函数y1=x＋3（x＞-3）与函数y2=（x＋3）2+9（x＞-3），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？

（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分，一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？

14.再读教材:

宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示：)

第一步,在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.

第三步,折出内侧矩形的对角线,并把折到图③中所示的处.

第四步,展平纸片,按照所得的点折出,使,则图④中就会出现黄金矩形.

问题解决:

  (1)图③中=__________(保留根号);

  (2)如图③,判断四边形的形状,并说明理由;

  (3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.

 实际操作: 

  (4)结合图④.请在矩形中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.

15.问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB.

      图1

（1）由CE=AB，BE=AB，可得BE=CE；

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为         .

(2)如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE，试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明.

             图2  

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论        .

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC.当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标.

         图3

16.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点，求△OBC与△ABC的面积．

（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．

①若正方形的边长为4，求的长度；

②若，求正方形的面积．

17.阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．

（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．

（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．