（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十八讲 等腰三角形（讲义）学案

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第十八讲  等腰三角形

一、三大必备知识点

考点一  等腰三角形的判定与性质

考点二  等边三角形的判定与性质

考点三  角平分线的判定与性质

一、三大必备知识点

一、等腰三角形

1．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．

2．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、等边三角形

1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．

2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

三、角平分线与垂直平分线

1．性质：角平分线上的点到角两边的距离相等

2．性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

考点一  等腰三角形的判定与性质

1．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且3BC＝2AD．点E、F是AD的三等分点，则∠BEC+∠BFC+∠BAC＝　180°　．

【解答】解：∵3BC＝2AD，且E，F为AD三等分点，D为BC中点．

∴AD＝BC，即BD＝DE；

∴∠BED＝45°；

∴BE2＝2DE2＝EF•AE；

∵∠AEB＝∠BEF，

∴△BEF∽△AEB，

∴∠BFD＝∠ABE；

即∠ABE+∠BAD＝45°；

∴∠ABE+∠EBD+∠BAD＝90°，

∴∠BEC+∠BFC+∠BAC＝180°．

故答案为：180°．

2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P在△ABC内，∠PBC＝10°，∠PCB＝30°，则∠PAB＝　70°　．

【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC

∴AD＝AB＝AC，

∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，

∴∠ACD＝∠ADC＝80°，

∵AB＝AC，∠BAC＝80°，

∴∠ABC＝∠ACB＝50°，

∴∠CDB＝140°＝∠BPC，

又∠DCB＝30°＝∠PCB，BC＝CB，

∴△BDC≌△BPC，

∴PC＝DC，

又∠PCD＝60°，

∴△DPC是等边三角形，

∴△APD≌△APC，

∴∠DAP＝∠CAP＝∠DAC＝20＝10°，

∴∠PAB＝∠DAP+∠DAB＝10°+60°＝70°．

或由△BDC≌△BPC，

∴BP＝BD＝BA

∴∠BAP＝∠BPA

又∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝40°

∴∠BAP＝（180﹣40）/2＝70°

故答案为：70°．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，若S△ABC＝12，则FE+FD＝　4　．

【解答】解：过C作CG⊥AB于G，连接AF，

∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，

∴AB×CG÷2＝AB×DF÷2+AC×FE÷2，

∵AB＝AC，

∴FD+FE＝CG＝＝4，

故答案为：4．

4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE＝2，则BN的长为 　　．

【解答】解：连接AM，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠ABC＝∠C＝30°，

∵M为BC的中点，

∴AM⊥BC，

∴AB＝2AM，

∵BE⊥BC，

∴∠AMD＝∠EBD＝90°，

∵D为BM的中点，

∴DM＝DB，

在△AMD和△EBD中，

∠AMD＝∠EBD，DM＝DB，∠ADM＝∠EDB，

∴△AMD≌△EBD（ASA），

∴AM＝BE＝，

∴AB＝，

∴BM＝，

∵MN⊥AB，∠B＝30°，

∴MN＝BM＝，

∴BN＝．

故答案为：．

考点二  等边三角形的判定与性质

5．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE＝CD；②∠AFC＝120°；③△ADF是正三角形；④．其中正确的结论是　①②④　（填所有正确答案的序号）．

【解答】解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°，

∵在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴AE＝CD，故①正确；

∵∠ACD＝∠BAE，

∴∠CAF+∠ACD＝∠CAF+∠BCE＝∠BAC＝60°，

在△ACF中，∠AFC＝180°﹣（∠CAF+∠ACD）＝180°﹣60°＝120°，故②正确；

∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC＝60°，

∴∠FAD≠60°，

∴△ADF不是正三角形，故③错误；

∵∠AFG＝180°﹣∠AFC＝180°﹣120°＝60°，AG⊥CD，

∴∠FAG＝90°﹣60°＝30°，

∴FG＝AF，

∴＝，故④正确，

综上所述，正确的有①②④．

故答案为：①②④．

6．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　　．

【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP＝PF＝AF，

∵PE⊥AC，

∴AE＝EF，

∵AP＝PF，AP＝CQ，

∴PF＝CQ．

∵在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD＝CD，

∵AE＝EF，

∴EF+FD＝AE+CD，

∴AE+CD＝DE＝AC，

∵AC＝1，

∴DE＝．

故答案为：．

7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 　6　．

【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°

∴∠BCD＝∠DBC＝30°

∵△ABC是边长为3的等边三角形

∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°

∴∠DBA＝∠DCA＝90°

延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，

在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC

∴△BDF≌△CDN，

∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN

∵∠MDN＝60°

∴∠BDM+∠CDN＝60°

∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边

∴△DMN≌△DMF，

∴MN＝MF

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．

8．如图，△ABC是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作FN⊥AC于点N，DB＝CN，EF＝FD，若FB＝17，则AN的长为 　22　．

【解答】解：延长BC到G，连接EG，使三角形CEG为等边三角形，设BD＝5x，则CN＝7x，

∵∠G＝∠B，∠BFD＝∠GFE，DF＝EF，

∴△BFD≌△GFE，

∴BD＝EG＝CE＝CG，BF＝GF＝17，

设BD＝7x，则CN＝5x，CG＝7x，

∴CF＝17﹣7x，

又∵FN⊥AC，

∴三角形CFN为直角三角形，

∵∠ACF＝60°，

∴2CN＝CF，

∴2×5x＝17﹣7x，

解得x＝1，

∴BD＝7，CN＝5，CF＝10，

∴三角形ABC的边长为17+10＝27，

∴AN＝27﹣5＝22，

故答案为：22．

考点三  角平分线的判定与性质

9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则△BDC的面积为 　8　．

【解答】解：延长CD，AB相交于点E，

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠EAD＝∠CAD，

∵CD⊥AD，

∴∠ADC＝∠ADE＝90°，

∵AD＝AD，

∴△ADE≌△ADC，

∴AE＝AC，DE＝DC，

∵∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6，

∴AC＝＝10，

∴AE＝AC＝10，

∴BE＝AE﹣AB＝4，

∴△BEC的面积＝BC•BE＝×8×4＝16，

∴△BDC的面积＝8，

故答案为：8．

10．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝　　．

【解答】解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：

∵CE⊥AD，

∴∠AEF＝∠AEC＝90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，

在△AEF与△AEC中，，

∴△AEF≌△AEC（ASA），

∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，

∵∠AFC＝∠B+∠ECD，

∴∠ACF＝∠B+∠ECD，

∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，

∵∠ACB＝3∠B，

∴2∠ECD+∠B＝3∠B，

∴∠B＝∠ECD，

∴CF＝BF，

∵BC＝BD，

∴＝，

S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，

∴＝，

即＝＝，

∴AB＝AC＝，

∴CF＝BF＝﹣8＝，

∴CE＝CF＝，

故答案为：．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝3，BC＝4，则△ADB的面积为　　．

【解答】解：解法一：延长BD交AC于点E，

在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝＝5，

∵CD平分∠ACB，且BD⊥CD，

∴BC＝CE＝4，AE＝AC﹣CE＝1，BD＝ED，

∴，

∴S△ABE＝S△ABC＝＝，

∴S△ABD＝S△ABE＝＝，

故答案为：．

解法二：过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，作DG⊥AB于点G，

∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝＝5，

∵DE⊥AC，DF⊥BC，DG⊥AB，CD平分∠ACB，

∴四边形BFDG为矩形，DE＝DF，

∴设DF＝DE＝x，BF＝DG＝y，

∵∠DBF＝∠DBC，∠DFB＝∠BDC＝90°，

∴△BFD∽△BDC，

∴，即，

解得：y1＝2﹣，y2＝2+（舍去），

∴S△ABD＝•AB•DG＝•3•（2﹣），

∵S△ABC＝S△DAB+S△DBC+S△DAC，

∴•3•4＝•3•（2﹣）+•4•x+•5•x，

解得：x1＝，x2＝0（舍去），

当x＝时，y＝2﹣＝，

∴S△DAB＝•AB•DG＝•3•＝，

故答案为：．

12．如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过A分别作AF⊥BD、AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，若AB＝6，AC＝5，BC＝4，则FG的长度为 　　．

【解答】解：延长AF交BC于H，延长AG交BC于Q，如图，

∵BD平分∠ABC，

∴∠HBF＝∠ABF，

∵AF⊥BD，

∴∠AFB＝∠HFB＝90°，

∴∠BHA＝∠BAH，

∴AB＝BH＝6，AF＝FH，

同理，AC＝CQ＝5，AG＝QG，

∴CH＝BH﹣BC＝6﹣4＝2，

∴HQ＝CQ﹣CH＝5﹣2＝3，

∵AF＝FH，AG＝QG，

∴FG是△AHQ的中位线，

∴FG＝HQ＝，

故答案为：．

13．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是 　9　．

【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，

∴∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，

∵DE∥BC，

∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，

∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，

∴OD＝BD，OE＝CE，

∵AB＝5，AC＝4，

∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DO+EO+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．

故答案为：9．

14．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于　2　．

【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，

∵PC∥OA，

∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，

∴∠BCP＝30°，

∴PM＝PC＝2，

∵PD＝PM，

∴PD＝2．

故答案为：2．