数学五年级下册七 解决问题的策略课后作业题

五年级思维训练7   枚举法

1. 今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2000年～2999年之间共有          个“对称年”。

2. 在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有         个。

3. 下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428）        个。

                  428

                 +396

                  824

4. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有        种不同选法。

5. 一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有        种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。

6. 小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只存最后的9张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请问邮局的职员有多少种不同的撕邮票的办法？

7. 给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg、11kg、17kg，将它们组合凑成100kg有            种不同的方案（每种砝码至少有一块）。

8. 将下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，使两张牌上的数的乘积除以10的余数是1？（将A看成1）

9. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有         种不同价格。

10. 在3×3的方格纸上（如图a）），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和没竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图b）和图c）是相同类型的涂法。问最多有多少种不同类型的涂法，说明理由。

11. 有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份。问：一共有多少种不同的订法？

12. 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列。2008排在第          个。

13. 将日期作为数考虑。比如，1月1日是101,10月12日是1012.

   如果□月△日的○日后的数，正好是□月△日的数的2倍。请问：满足条件的数○有几种可能？（注意：2月份定为28天来考虑，○是不超过365的整数。）

14. 节日期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有2个红灯，4个绿灯，如果两个红灯不相邻，则不同的排法有           种（其中“红绿红绿绿绿”与“绿绿绿绿红绿红”类型算作一种）。

15. 如果三位数m同时满足如下条件：(1)m的各位数字之和为7；（2）2m还是三位数，且各位数字之和为5.那么这样的三位数m共有           个.

A.2    B.3     C.4      D.5       E.6

16． 如果一个三位数从左到右的数码按严格递增的次序出现，则称为上升数。例如128、245、389都是上升数，而255、558、798则不是。请问在三位数中共有多少个上升数？

17. 长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是11厘米，你能围成多少个不同的三角形？

18. 将分母为60的最简假分数按从小到大的顺序排列，第2011个分数是            。

19. 小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数。问一共有多少种不同的分法？

20. 9个大小相等的小正方形拼成了下图。现从点A走到点B，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）。那么从点A走到点B共有          种不同的走法。

21. 满足的整数a、b、c可组成不同的有序数组（a，b，c）共有          个。

五年级思维训练7   枚举法

参考答案

1. 今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2000年～2999年之间共有          个“对称年”。

【答案】10   

【分析】 2000年到2999年之间的“对称年”个位为2，十位和百位数字相同，可以是0、1、2···、9，共10个，所以从2000年到2999年之间共有10个“对称年”。

2. 在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有         个。

【答案】66     

【分析】方法一；按照百位数字进行分类

百位数字为1时，这样的三位数有；129,138,147，···，192共8个数；

百位数字为2时，这样的三位数有；219,228，···，291共9个数；

依次类推，可知当百位数字依次为3~9时，这样的三位数分别有10,9,8,7,6,5,4个，所有这样的三位数共有8+9+10+9+8+7+6+5+4=66个。

方法二：插板法，至少每位数字都是1的情况有 ==55个，其中包括10,1,1，的三种情况不符合要求，55-3=52；包含0的情况又有：309、390、408、480、507、570、606、660、705、750、804、840、903、930共14种，52+14=66（个）。

3. 下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428）        个。

                  428

                 +396

                  824

【答案】49     

【分析】设这样的三位数为，则有，有99（c-a)=396，则c-a=4，有9-5=8-4=7-3=6-2=5-1=4，而十位数字可以从0~9中任意取，所以三位数共有5×10=50个，除去428还有49个。

4. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有        种不同选法。

【答案】12   

【分析】 因为1+2+3+···+9=（1+9）÷2×9=45，所有这9个数的和是3的倍数，因此，只需要剩下2个数之和是3的倍数即可。

从3、6、9中任选2个有3种不同选法。

从1、2、4、5、7、8中选2个，其和为3的倍数的有(1,2)、（1,5）、（1，8）、（2，4）、（2,7）、（4,5）、（4,8）、（5，7）、（7，8），即有9种不同选法。因此，共有3+9=12种不同选法。

5. 一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有        种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。

【答案】12        

【分析】用一个四位数表示田忌的马的出场顺序，按照顺序枚举出所有方法：1423、2143、2413、3124、3142、3412、3421、4123、4132、4213、4312、4321，所有共有12种方法。

6. 小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只存最后的9张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请问邮局的职员有多少种不同的撕邮票的办法？

                                                                                   【答案】15       

【分析】根据题意我们可以把邮票从上到下分成三层考虑，并标上相应数字如下图，按第一层所含邮票个数由多到少分类枚举。

第一层4张邮票的

第一层3张邮票的；

第一层2张邮票的；

第一层1张邮票的；

共有3+6+4+2=15（种）。

7. 给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg、11kg、17kg，将它们组合凑成100kg有            种不同的方案（每种砝码至少有一块）。

【答案】6   

【分析】 枚举：100=17×1+11×1+3×24,100=17×1+11×4+3×13,100=17×1+11×7+3×2,

100=17×4+11×1+3×7,100=17×2+11×3＋3×11,100=17×3+11×2+3×9，一共有6种方法。

8. 将下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，使两张牌上的数的乘积除以10的余数是1？（将A看成1）

【答案】4       

【分析】本题实际上是求1到10这些数中，取出2个数（可以重复）相乘，能组成几个乘积个位是1的数，显然，偶数不成，所以只能是1×1,3×7,7×3和9×9，共4对。

9. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有         种不同价格。

【答案】19       

【分析】方法一：有序枚举，枚举与筛选；

从小到大去掉重复的和，共19种。

方法二：排除法，搭配的最小值是3，最大值是23,23-3+1=21（种）价格，其中无法搭配出4和22这两种价格，所以共有21-2=19（种）不同的价格。

10. 在3×3的方格纸上（如图a）），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和没竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图b）和图c）是相同类型的涂法。问最多有多少种不同类型的涂法，说明理由。

【答案】3     

【分析】不同类型的涂法有3种，如下图所示。

所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格。同样，仅有一列涂有3个阴影方格。

所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”。“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法。“特征阴影方格”在方格纸的角上（上左图）、外边中间的方格（上中图）和中心的方格（上右图）三个位置确定了只有3种类型的涂法。

11. 有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份。问：一共有多少种不同的订法？

【答案】7       

【分析】第一类情况：一个工厂订了99份，一个工厂订了100份，一个工厂订了101份，共有3！=6种订法，第二类情况：每个工厂订100份，共有1种订法，综上，共有7种订法。

12. 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列。2008排在第          个。

【答案】29     

【分析】从小到大，一位数有2个，两位数有6个，三位数有2×3×3=18个，接着是2000，2002、2008···，因此2008排在第2+6+18+3=29个。

13. 将日期作为数考虑。比如，1月1日是101,10月12日是1012.

   如果□月△日的○日后的数，正好是□月△日的数的2倍。请问：满足条件的数○有几种可能？（注意：2月份定为28天来考虑，○是不超过365的整数。）

【答案】89        

【分析】除了1月15日对应的数没有办法变成2月30日对应的数（由于2月只有28天），从1月到6月每个月前15天的日期数都可以作相应操作，所有满足条件的○有15×6-1=89种可能。

14. 节日期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有2个红灯，4个绿灯，如果两个红灯不相邻，则不同的排法有           种（其中“红绿红绿绿绿”与“绿绿绿绿红绿红”类型算作一种）。【答案】6       

【分析】红灯看做“1”，绿灯看做“0”则有：000101、001001、001010、010001、010010、100001这六种。

15. 如果三位数m同时满足如下条件：(1)m的各位数字之和为7；（2）2m还是三位数，且各位数字之和为5.那么这样的三位数m共有           个.

A.2    B.3     C.4      D.5       E.6

【答案】D      

【分析】如果三位数乘以2的运算中没有进位，那么它的数字和应该是7×2=14.而实际上数字和是5，比14少了9，说明在运算过程中恰有一次进位，那么原先三位数中一定有一个数字不小于5。

又因为乘以2之后还是三位数，说明不小于5的那个数字不在首位，那么这样的三位数有205、250、115、151、106、160，共6个。

16． 如果一个三位数从左到右的数码按严格递增的次序出现，则称为上升数。例如128、245、389都是上升数，而255、558、798则不是。请问在三位数中共有多少个上升数？

【答案】84     

【分析】方法一：可知百位数为1的上升数有7+6+5+4+3+2+1=28个，百位数为2的上升数有6+5+4+3+2+1=21个，百位数为3的上升数有5+4+3+2+1=15个，百位数为4的上升数有4+3+2+1=10个，百位数为5的上升数有3+2+1=6个，百位数为6的上升数有2+1=3个，百位数为7的上升数有1个，因此共有28+21+15+10+6+3+1=84个。

方法二：只需要从1~9选择3个数字，它们的大小顺序就随之确定了，所有方法数为

。

17. 长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是11厘米，你能围成多少个不同的三角形？

【答案】36        

【分析】一个三角形，任何两条边的长度之和，比余下的一条边长。在本题中，设底边是11厘米的三角形其余二边分别是a及b，则必有11<a+b，此外，为确切起见，可设a<b，于是（a，b）的可能的值有（11,11）；（10,10）；（10,11）；（9,9）；（9,10）；（9,11）；（8,8）；（8,9）；（8,10）；（811）；（7,7）；（7,8）；（7,9）；（7,10）；（7,11）；（6,6）；（6,7）；（6,8）；（6,9）；（6,10）；（6,11）；（5,7）；（5,8）；（5,9）；（5,10）；（5,11）；（4,8）；（4,9）；（4,10）；（4,11）；（3,9）；（3,10）；（3,11）；（2,10）；（2,11）；（1,11）共36种。

18. 将分母为60的最简假分数按从小到大的顺序排列，第2011个分数是            。

【答案】         

【分析】将假分数化成带分数，求出第2011个分数，再把这个带分数化成假分数就可以了，分母是60的最简真分数共有16个，把它们从小到大排列起来。

依次是：

由此可知，分母为60的最简假分数化成带分数后，由小到大依次排列，整数部分分别为1,2，3,4，···也是各有16个，即

因此2011÷16=125······11，

所有第2011个带分数的整数部分是125+1=126，分数部分是第11个，就是，那么第2011个带分数是126，化成假分数是。

19. 小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数。问一共有多少种不同的分法？

【答案】6        

【分析】由题目的条件可知，每对数必须由一个奇数和一个偶数组成，为了不遗漏，我们从小到大选取2,3，···，9中的数进行配对。

能够和2配对的数有3，5，9。下面分情况讨论；

（a）2和3配成一对。则剩下最小的数为4。在剩下的数中，能够和4配对的数有7,9；

4和7配成一对，则5只能和6配对，8和9配对，

4和9配成一对，则5只能和8配对，6和7配对。

所有这种情况一共有2种分法。

（b）2和5配成一对，则剩下最小的数为3.在剩下的数中，能够和3配对的数有4、8.

3和4配成一对，则6只能和7配对，8和9配对。

3和8配成一对，则4只能和9配对，6和7配对。

所有这种情况一共有2种分法。

（c）2和9配成一对，则剩下最小的数为3.在剩下的数中，能够和3配对的倍数有4,8.

3和4配成一对，则5只能和8配对，6和7配对。

3和8配成一对，则4只能和7配对，5和6配对。

所有这种情况一共有2种分法。

综上所述，一共有2+2+2=6种不同的分法。

20. 9个大小相等的小正方形拼成了下图。现从点A走到点B，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）。那么从点A走到点B共有          种不同的走法。

【答案】9      

【分析】如右图所示，将相应顶点标上字母，那么走法有：

A→G→L→B，

A→G→J→O→L→B，

A→G→D→I→L→B，

A→G→J→O→L→I→D→G→L→B，

A→G→D→I→L→O→J→G→L→B，

A→G→L→O→J→G→D→I→L→B，

A→G→L→I→D→G→J→O→L→B，

A→G→J→O→L→G→D→I→L→B，

A→G→D→I→L→G→J→O→L→B，共有9种不同的走法。

21. 满足的整数a、b、c可组成不同的有序数组（a，b，c）共有          个。

【答案】25      

【分析】，a、b、c为整数

不妨设a≤b≤c，则，∴a≤4

当a=4时，b=c=4

当a=3时，

则，b≤4

b=4时，c=6

b=3时，c=12

当a=2时，

则，4<b≤8

有b=8时，c=8

b=7时，c无解

b=6时，c=12

B=5时，c=20

即a、b、c都取4时，有序数组有1个；

a、b、c取3、4、5时，有序数组有6个；

a、b、c取3、3、12时，有序数组有3个；

a、b、c取2、8、8时，有序数组有3个；

a、b、c取2、6、12时，有序数组有6个；

a、b、c取2、5、20时，有序数组有6个；

得不同有序数组共有1+6+3+3+6+6=25个。