专题18—解三角形（5）—实际应用问题-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题18—解三角形（5）—实际应用问题

考试说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角

形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题

高频考点：1、边角的求解；

2、判断三角形的形状；

3、求与面积、范围有关的问题；

4、解决平面几何图形问题；

5、解决实际问题。

高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。

一、典例分析

题型五：利用正余弦定理解决实际应用问题

1．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高　　

A．表高 B．表高 

C．表距 D．表距

2．（2014•四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于　　

A． B． C． D．

3．（2014•上海）某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为　　海里．

4．（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高　　．

5．（2014•四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于　　．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，

6．（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　

A．346 B．373 C．446 D．473

二、真题集训

1．（2015•上海）如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时．乙到达地后原地等待．设时乙到达地．

（1）求与的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由．

2．（2014•上海）如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．

（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长（结果精确到0.01米）．

3．（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，．

（1）求索道的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

典例分析答案

题型五：利用正余弦定理解决实际应用问题

1．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高　　

A．表高 B．表高 

C．表距 D．表距

分析:根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．

解答:解：，，故，即，

解得，，

故表高．

故选：．

点评:本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．（2014•四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于　　

A． B． C． D．

分析:由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度，作差后可得答案．

解答:解：如图，，

．

在中，又，

．

在中，，，

．

．

河流的宽度等于．

故选：．

点评:本题给出实际应用问题，求河流在、两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．

3．（2014•上海）某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为　　海里．

分析:由题意利用方位角的定义画出示意图，再利用三角形，解出的长度．

解答:解：由题意画出图形为：

因为，，所以，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到，所以（海里）．

在中，利用正弦定理得：，所以；

故答案为：．

【点评:此题考查了学生对于题意的正确理解，还考查了利用正弦定理求解三角形及学生的计算能力．

4．（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高　　．

分析:中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得；中，由条件利用正弦定理求得；中，根据，计算求得结果．

解答:解：中，，，，

．

中，，，

，由正弦定理可得，解得．

中，，

故答案为：150．

点评:本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．

5．（2014•四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于　　．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，

分析:过点作垂直于的延长线，垂足为，分别在、中利用三角函数的定义，算出、的长，从而可得，即为河流在、两地的宽度．

解答:解：过点作垂直于的延长线，垂足为，

则中，，，

，根据正弦定理，，

得．

故答案为：．

点评:本题给出实际应用问题，求河流在、两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．

6．（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　

A．346 B．373 C．446 D．473

分析:本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找到高度差．

解答:解：过作于，过作于，

则，，，，，，

，

则在中，，

在△中，由正弦定理知，，，

，

故选：．

点评:理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键．

真题集训答案

1．（2015•上海）如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时．乙到达地后原地等待．设时乙到达地．

（1）求与的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由．

解：（1）由题意可得，

设此时甲运动到点，则千米，

千米；

（2）当时，乙在上的点，设甲在点，

，，

，

当时，乙在点不动，设此时甲在点，

当时，，，

故的最大值没有超过3千米．

2．（2014•上海）如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．

（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长（结果精确到0.01米）．

解：（1）设的长为米，则，，

，

，

，

即，

解得，

即的长至多为28.28米．

（2）设，，，

则，

由正弦定理得，

即，

，

答：的长为26.93米．

3．（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，．

（1）求索道的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解：（1）在中，因为，，所以，，

从而

由正弦定理，得．

答：索道的长为．

（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得

，

因，即，答：当时，甲、乙两游客距离最短．

（3）由正弦定理，得，

乙从出发时，甲已经走了，还需走才能到达．

设乙步行的速度为，由题意得，解得，

答：为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内．