方法技巧专题21 排列组合与二项式定理-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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 方法技巧专题 21 排列组合与二项式定理学生篇              一、 排列组合与                     与排列相关的常见问题                 【一】特殊元素、特殊位置的排列问题1.例题【例1】有名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾。【例2】毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）、两人不排在一起，有几种排法？（2）、两人必须排在一起，有几种排法？（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？2.巩固提升综合练习【练习1】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；【练习2】7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？其中甲不站排头，乙不站排尾；其中甲、乙、丙3人两两不相邻；其中甲、乙中间有且只有1人；其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列 【二】相邻元素的排列问题 1.例题【例1】7人排成一排（1）甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？（2）甲、乙相邻，丙、丁相邻，共有多少种排法？（3）甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，共有多少种排法？（4）甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，共有多少种排法？（5）甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？（6）甲、乙之间是丙，共有多少种排法？ 2.巩固提升综合练习【练习1】有本互不相同的书，其中数学书本，英语书本，语文书本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起的排法共有______种.（用数值回答）【练习2】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ）A．60种 B．48种 C．30种 D．24种【练习3】“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为（    ）A． B． C． D．【练习4】某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为_______（结果用最简分数表示）.【三】不相邻元素的排列问题1.例题【例1】】7人排成一排（1）甲、乙、丙互不相邻，共有多少种排法？（2）甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有多少种排法？（3）甲、乙不相邻，丙、乙不相邻，共有多少种排法？【例2】老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？2.巩固提升综合练习【练习1】某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（    ）A．720 B．520 C．600 D．264【练习2】有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（    ）种A．48 B．72 C．78 D．84【练习3】2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.【练习4】现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是______. 【四】含定序元素的排列问题1.例题【例1】4男3女排成一排，且4男不等高，4男自左向右从高到矮的顺序排列，有多少种排法？【例2】某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进行那么安排这5项工程的不同排法种数是_____________.（用数字作答） 2.巩固提升综合练习【练习1】用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．【练习2】7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法．                    与组合相关的常见问题                  【一】有限制条件的抽(选)取问题 1.例题【例1】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【例2】10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果．（1）4只袜子没有成双；（2）4只袜子恰好成双；（3）4只袜子2只成双，另两只不成双．2.巩固提升综合练习【练习1】男运动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.（1）任选人（2）男运动员名,女运动员名（3）至少有名女运动员（4）队长至少有一人参加（5）既要有队长,又要有女运动员【练习2】从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 【二】分组分配问题 1.例题【例1】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;【例2】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子． 2.巩固提升综合练习【练习1】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【练习2】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)A．4种          B．10种          C．18种            D．20种【练习3】（2018·黑龙江鹤岗一中高二月考（理））按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)(1) 个不同的小球放入个不同的盒子；(2) 个不同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(3) 个相同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(4) 个不同的小球放入个不同的盒子,恰有个空盒.                    排列与组合综合问题                  1.例题【例1】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.【例2】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个? 2.巩固提升综合练习【练习1】（1）五人站一排，必须站右边，则不同的排法有多少种；（2）晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2 个节目插入原节目单中，则不同的插法有多少种．（3）有四个编有1、2、3、4的四个不同的盒子，有编有1、2、3、4的四个不同的小球，现把小球放入盒子里．①小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；②恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；③恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法．【练习2】有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内．(1)共有几种放法？(2)恰有一个盒不放球，共有几种放法？                     二项式定理                 【一】通项及二项式系数1.例题【例1】在二项式的展开式中，含的项的系数是          。（2）二项式的展开式的常数项是___________．（3）在二项式的展开式中，的系数为        。【例2】（1）的展开式中项的系数为（    ）A．                B．             C．             D．（2）（2019·重庆八中高三月考（理））的展开式中的系数为（　  　）A． B． C．、 D． 2.巩固提升综合练习【练习1】展开式中的常数项为______．【练习2】展开式中含的项的系数为（    ）A．              B．           C．         D．【练习3】二项式的二项展开式中第3项的二项式系数为________.【练习4】的展开式中的系数是（   ）A．58 B．62 C．52 D．42【练习5】的展开式中的系数为_____.测                【二】二项式系数和问题1.例题【例1】若.求：（1）；（2）；（3）.【例2】在二项式的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．2.巩固提升综合练习【练习1】设.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【练习2】我设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 【三】系数的最值问题1.例题【例1】已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求正整数的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项.2.巩固提升综合练习【练习1】（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）在的展开式中，[来源:学|科|网Z|X|X|K]（1）求展开式中所有的有理项；（2）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项【练习2】我已知的展开式前三项的三项式系数的和等于37 ，求：（1）展开式中二项式系数最大的项的系数．（2）展开式中系数最大的项．                      六、课后自我检测                 1.一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？2.把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．3.一次游戏有10个人参加，现将这10人分为5组，每组两人。 （1）若任意两人可分为一组，求这样的分组方式有多少种？（2）若这10人中有5名男生和5名女生，要求各组人员不能为同性，求这样的分组方式有多少种？（3）若这10人恰为5对夫妻，任意两人均可分为一组，问分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少？4.从8名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒.5.有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，乙不在排尾；（4）甲、乙两人之间有且只有1人.6.在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？[来源:学+科+网Z+X+X+K]（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？7.现有5名男生和3名女生站成一排照相，（1）3名女生站在一起，有多少种不同的站法？（2）3名女生次序一定，但不一定相邻，有多少种不同的站法？（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻，有多少种不同的站法？（4）3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻，有多少种不同的站法？8．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）9．现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）共有多少种不同的方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？（4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？10.展开式中含x的项的系数为（    ）A．-112 B．112 C．-513 D．51311.展开式中的系数为（    ）A．15 B．20 C．30 D．3512.，求 （    ）A．1024 B．243 C．32 D．2413.二项式的展开式中常数项为60，则（    ）A． B． C．2 D．314.的展开式中，系数最小的项为（    ）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项15.设，那么的值为（    ）A． B． C． D．-116.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（  ）A．110 B．114 C．124 D．12517.设，若，则实数________. 被7除后的余数为_____．19.若展开式中前三项系数成等差数列，求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项；（3）展开式中系数最大的项．