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所属成套资源：2022年新高考数学重难点汇编（含试卷原题及解析）
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2022年新高考重难点汇编 重难点06 函数与导数练习题
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这是一份2022年新高考重难点汇编 重难点06 函数与导数练习题
重难点06 函数与导数从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论．(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类．(3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．3、求与函数零点有关的参数范围的方法：方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法.4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max． (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min (2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。A卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·江苏连云港·高三期中）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是（ ）A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9）2．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ）A．4 B．2 C．-2 D．-43．（2021·江苏常州·高三期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A． B． C． D．4．（2021·山东临沂·高三期中）设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．15．（2021·四川遂宁·模拟预测）设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（ ）A． B． C． D．6．（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．7．（2021·江苏海安·高三期中）已知设其中为自然对数的底数，则（ ）A． B． C． D．8．（2021·陕西·长安一中高三阶段练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ）A．3 B．4 C．9 D．16二、多选题9．（2021·江苏南京·高三阶段练习）已知函数满足，当时，，则（ ）A． B．对任意的正实数，都有C．为偶函数 D．不等式的解集为10．（2021·山东省胶州市第一中学高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．只有一个极值点 B．设，则与的单调性相同C．在上单调递增 D．有且只有两个零点11．（2021·辽宁大连·高三期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象关于轴对称，且在区间上单调递增B．函数的图象不关于轴对称，且在区间上不单调C．函数在区间内存在零点D．函数在区间内存在零点12．（2021·广东化州·高三阶段练习）设函数，则下列四个结论中正确的是（ ）A．函数的单调递减区间是 B．函数的值域是C．函数有且仅有两个零点 D．对任意两个不相等的正实数，，若，则三、填空题13．（2021·江苏南通·高三期中）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.14．（2021·重庆市实验中学高三阶段练习）已知函数，，且，，，恒成立，则实数的取值范围是______．15．（2021·江苏·灌云县第一中学高三阶段练习）已知函数，则当时的极大值为__________，若在（，为自然对数的底）的最大值为，则实数的值为__________.16．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是__________．四、解答题17．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）已知函数.（1）当时，求的导函数在上的零点个数；（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围.18．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）函数.（1）求函数在的值域；（2）设，已知，求证：.19．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，.（1）若在处的切线也是的切线，求的值；（2）若，恒成立，求的最小整数值.20．（2021·广东江门·高三阶段练习）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，且，证明.21．（2021·江苏盐城·高三期中）设函数.（1）求证：当时，在上总成立；（2）求证：不论m为何值，函数总存在零点.22．（2021·全国·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．B卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A． B． C． D．2．（2021·河南·高三阶段练习）函数的减区间是（ ）A． B． C． D．3．（2021·四川攀枝花·高三阶段练习）方程的实数根叫做函数的“新驻点”.如果函数的“新驻点”为，那么的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．（2021·江苏·高三期中）设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（ ）A．e B．eln3 C．log3e D．35．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ）A． B． C．或 D．或6．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．7．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）A． B． C． D．8．（2021·黑龙江·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．当时，在单调递减 B．当时，在处的切线为轴C．当时，在存在唯一极小值点，且D．对任意，在一定存在零点二、多选题9．（2021·山东临沂·高三阶段练习）若函数在上有最大值，则a的取值可能为（ ）A．－6 B．－5 C．－3 D．－210．（2021·重庆九龙坡·高三期中）已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）A．点是函数的零点 B．，，使C．是的极大值点 D．的取值范围是11．（2021·湖北·高三期中）已知函数，下列结论成立的是（ ）A．函数在定义域内无极值 B．函数在点处的切线方程为C．函数在定义域内有且仅有一个零点 D．函数在定义域内有两个零点，，且12．（2021·福建省福州外国语学校高三阶段练习）已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ）A．点（0，0）是函数f（x）的零点B．∈（1，3），使f（）>f（）C．函数f（x）的值域为[D．若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）三、填空题13．（2021·山东师范大学附中高三期中）已知函数，若，则实数的取值范围为______.14．（2021·山东泰安·高三期中）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为_______.15．（2021·广东·高三阶段练习）若对任意的，，且当时，都有，则的最小值是________.16．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________.四、解答题17．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．18．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.19．（2021·湖北·高三期中）函数．（1）若存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）若有两个不同极值点，，求证：．20．（2021·山东文登·高三期中）已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的值，并求此切线方程；（2）证明：．21．（2021·山东文登·高三期中）已知函数．（1）求函数的极值；（2）设，若对都有成立，求a的最大值．22．（2021·天津一中高三阶段练习）已知函数有两个不同的零点，，且.（1）求实数的取值范围；（2）求证：当时，；（3）求证：.
重难点06 函数与导数从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论．(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类．(3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．3、求与函数零点有关的参数范围的方法：方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法.4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max． (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min (2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。A卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·江苏连云港·高三期中）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是（ ）A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9）2．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ）A．4 B．2 C．-2 D．-43．（2021·江苏常州·高三期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A． B． C． D．4．（2021·山东临沂·高三期中）设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．15．（2021·四川遂宁·模拟预测）设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（ ）A． B． C． D．6．（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．7．（2021·江苏海安·高三期中）已知设其中为自然对数的底数，则（ ）A． B． C． D．8．（2021·陕西·长安一中高三阶段练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ）A．3 B．4 C．9 D．16二、多选题9．（2021·江苏南京·高三阶段练习）已知函数满足，当时，，则（ ）A． B．对任意的正实数，都有C．为偶函数 D．不等式的解集为10．（2021·山东省胶州市第一中学高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．只有一个极值点 B．设，则与的单调性相同C．在上单调递增 D．有且只有两个零点11．（2021·辽宁大连·高三期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象关于轴对称，且在区间上单调递增B．函数的图象不关于轴对称，且在区间上不单调C．函数在区间内存在零点D．函数在区间内存在零点12．（2021·广东化州·高三阶段练习）设函数，则下列四个结论中正确的是（ ）A．函数的单调递减区间是 B．函数的值域是C．函数有且仅有两个零点 D．对任意两个不相等的正实数，，若，则三、填空题13．（2021·江苏南通·高三期中）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.14．（2021·重庆市实验中学高三阶段练习）已知函数，，且，，，恒成立，则实数的取值范围是______．15．（2021·江苏·灌云县第一中学高三阶段练习）已知函数，则当时的极大值为__________，若在（，为自然对数的底）的最大值为，则实数的值为__________.16．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是__________．四、解答题17．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）已知函数.（1）当时，求的导函数在上的零点个数；（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围.18．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）函数.（1）求函数在的值域；（2）设，已知，求证：.19．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，.（1）若在处的切线也是的切线，求的值；（2）若，恒成立，求的最小整数值.20．（2021·广东江门·高三阶段练习）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，且，证明.21．（2021·江苏盐城·高三期中）设函数.（1）求证：当时，在上总成立；（2）求证：不论m为何值，函数总存在零点.22．（2021·全国·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．B卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A． B． C． D．2．（2021·河南·高三阶段练习）函数的减区间是（ ）A． B． C． D．3．（2021·四川攀枝花·高三阶段练习）方程的实数根叫做函数的“新驻点”.如果函数的“新驻点”为，那么的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．（2021·江苏·高三期中）设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（ ）A．e B．eln3 C．log3e D．35．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ）A． B． C．或 D．或6．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．7．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）A． B． C． D．8．（2021·黑龙江·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．当时，在单调递减 B．当时，在处的切线为轴C．当时，在存在唯一极小值点，且D．对任意，在一定存在零点二、多选题9．（2021·山东临沂·高三阶段练习）若函数在上有最大值，则a的取值可能为（ ）A．－6 B．－5 C．－3 D．－210．（2021·重庆九龙坡·高三期中）已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）A．点是函数的零点 B．，，使C．是的极大值点 D．的取值范围是11．（2021·湖北·高三期中）已知函数，下列结论成立的是（ ）A．函数在定义域内无极值 B．函数在点处的切线方程为C．函数在定义域内有且仅有一个零点 D．函数在定义域内有两个零点，，且12．（2021·福建省福州外国语学校高三阶段练习）已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ）A．点（0，0）是函数f（x）的零点B．∈（1，3），使f（）>f（）C．函数f（x）的值域为[D．若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）三、填空题13．（2021·山东师范大学附中高三期中）已知函数，若，则实数的取值范围为______.14．（2021·山东泰安·高三期中）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为_______.15．（2021·广东·高三阶段练习）若对任意的，，且当时，都有，则的最小值是________.16．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________.四、解答题17．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．18．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.19．（2021·湖北·高三期中）函数．（1）若存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）若有两个不同极值点，，求证：．20．（2021·山东文登·高三期中）已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的值，并求此切线方程；（2）证明：．21．（2021·山东文登·高三期中）已知函数．（1）求函数的极值；（2）设，若对都有成立，求a的最大值．22．（2021·天津一中高三阶段练习）已知函数有两个不同的零点，，且.（1）求实数的取值范围；（2）求证：当时，；（3）求证：.
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